연속성계수

수학적 분석에서 연속성의 계수는 함수 Ω : [0, ∞] → [0, ∞]로 함수의 균일한 연속성을 정량적으로 측정할 때 사용된다.따라서 f : I → R 함수는 만약의 경우에 한하여 Ω을 연속성의 계수로 인정한다.

$\displaystyle f(x)-f(y) \leq \omega(x-y ),}$

f의 영역에 있는 모든 x와 y에 대해.연속성의 모듈리는 0에서 최소가 되어야 하기 때문에, 함수는 연속성의 모듈을 허용하는 경우에만 균일하게 연속성이 있는 것으로 판명된다.더욱이, 개념과의 관련성은 동일한 연속성 계수를 공유하는 일련의 기능들이 정확히 동일한 가족이라는 사실에 의해 주어진다.예를 들어, Ω(t) :=kt는 k-립시츠 함수를, moduli Ω(t) :=kt는^α ö데르 연속성을, modulus Ω(t) :=kt(log t +1)는 거의 립시츠급에 대해 기술한다.일반적으로 Ω의 역할은 균일한 연속성의 ( (, Δ) 정의에서 Δ에 대한 on의 명시적인 기능 의존도를 어느 정도 고정시키는 것이다.동일한 개념은 미터법 공간 사이의 함수에 자연스럽게 일반화된다.더욱이 이러한 개념의 적절한 국부적 개념은 연속성의 모듈리 관점에서 한 지점에서 연속성을 정량적으로 설명할 수 있게 한다.

특히 확장 속성과 관련하여 연속성의 오목한 모듈리에 의해 특별한 역할을 수행하며, 균일하게 연속되는 기능의 근사치를 가진다.미터법 공간 사이의 함수의 경우, 오목하거나, 아첨성이거나, 균일하게 연속성이거나, (성장의 의미에서) 하선인 연속성 계수를 인정하는 것과 같다.사실, 균일하게 연속되는 기능에 대한 그러한 특별한 모듈리의 존재는 도메인이 콤팩트하거나 규범화된 공간의 볼록한 부분집합일 때마다 항상 보장된다.그러나 일반 메트릭스 공간에서 균일하게 연속되는 함수는 비율의 경우에만 오목한 연속성 계수를 허용한다.

${\dapplaystyle {d_{Y}(f(x),f(x')}{d_{X}(x,x')}}}}$

X X의 대각선으로부터 떨어져 있는 모든 쌍(x, x′)에 대해 균일하게 경계된다.후자 속성이 있는 함수는 균일하게 연속되는 함수의 특별한 하위 계급을 구성하는데, 이를 다음에서 우리는 특수 균일하게 연속되는 함수로 칭한다.미터법 공간 X에 대한 실질가치의 특수 균일 연속함수는 X를 포함하는 규범된 공간에 걸쳐 균일 연속함수의 X에 제약이 되는 모든 함수의 집합으로 특징지어질 수 있다.또한 X에 립스치츠 기능을 균일하게 클로즈업한 것이 특징이다.

형식 정의

형식적으로 연속성의 계수는 증가되는 실질 확장 가치 함수 Ω : [0, ∞] → [0, ∞], 0에서 소멸되고 0에서 연속되는 것이다.

$\displaystyle \lim _{t\to 0}\omega(t)=\omega(0)=0.}$

연속성의 모듈리는 주로 다음 정의에 따라 측정 공간 사이의 기능에 대해 한 지점의 연속성과 균일한 연속성을 모두 정량적으로 설명하는데 사용된다.

함수 f : (X_X, d) → (Y, d)는_Y 다음과 같은 경우에만 X의 점에서 (현지) 연속성 계수로 Ω을 인정한다.

${\dd_{Y}(f(x),f(x')\leq \omega(d_{X}(x,x')}$

또한 f는 다음과 같은 경우에만 Ω을 (글로벌) 연속성 계수로 인정한다.

${\displaystyle \forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x')\leq \omega(d_{X})(x,x')}$

f의 경우 Ω이 연속성(resp, x)의 계수 또는 f가 Ω-연속성(resp, x)이라고 동등하게 말한다.여기서 우리는 주로 세계적인 개념을 다룬다.

기본적인 사실들

• 만약 f가 Ω을 연속성 계수로, Ω₁ Ω을 가지고 있다면, f도 Ω을₁ 연속성 계수로 인정한다.
• f : X → Y, g : Y → Z가 각각 Ω과₁ Ω이₂ 있는 메트릭스 공간 사이의 함수라면, 구성 $맵{\displaystyle }$ g :${\displaystyle f}$ :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle$ g$\circ$ f$:X\to Z}$는 연속성 계수가 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}c $\c$\c \c \c \c \opomega_${1$
• f와 g가 각각 Ω과₁ Ω으로₂ 미터법 공간 X에서 Banach 공간 Y까지의 함수인 경우, 모든 선형 조합 af+bg는 Ω₁+bΩ의₂ 연속성 계수를 갖는다.특히 연속성 계수로 Ω을 갖는 X부터 Y까지의 모든 함수의 집합은 벡터 공간 C(X, Y)의 볼록한 부분집합으로 포인트와 같은 수렴 하에서 닫힌다.
• If f and g are bounded real-valued functions on the metric space X, with moduli respectively ω₁ and ω₂, then the pointwise product fg has modulus of continuity ${\displaystyle \ g\ _{\infty }\omega _{1}+\ f\ _{\infty }\omega _{2}}$.
• If ${\displaystyle \{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ is a family of real-valued functions on the metric space X with common modulus of continuity ω, then the inferior envelope ${\displaystyle \inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$, respectively, the superior envelope ${\displaystyle \underset{\lambda \in }{sup}}$${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\lambda }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ $\}\}\}\}\}\}\}$은 모든 점에서 유한 값을 갖는다면 연속성 계수가 Ω인 실제 값 함수다.Ω이 실제 값이라면 최소한 X의 한 지점에서 봉투가 유한할 정도로 충분하다.

언급

• 어떤 저자는 단조성을 요구하지 않으며, 어떤 저자는 연속 Ω과 같은 부가적인 속성을 요구한다.그러나, 만약 f가 약한 정의에서 연속성의 계수를 인정한다면, ]0, ∞[]에서 증가하고 무한히 다른 연속성의 계수를 인정한다.예를 들어.

${\displaystyle \omega _{1}(t):$$=\sup _{s\leq t}\omega(s)}$이(가) 증가하고 있으며$$, Ω₁ Ω;

${\displaystyle \omega _{2}(t):$$={\frac {1}{t}\int _{t}^{2t}\omega _{1}ds}$도 연속적이고$$ Ω₂₁ Ω,

그리고 선행 정의의 적절한 변종도 ]0, [[에서 Ω을₂ 무한히 다르게 만든다.

• 모든 균일 연속 함수는 최소 연속성 Ω을_f 허용하며, 이를 f의 (최적) 연속성 계수로 부르기도 한다.

${\displaystyle \omega _{f}(t):=\\sup\{d_{Y}(x),f(x'):x\in X,x'\in,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$

마찬가지로 x 지점에서 연속되는 모든 함수는 x, Ω_f(t; x)에서 최소 연속성 계수를 허용한다(x에서 f의 (최적) 연속성 계수는:

${\displaystyle \omega _{f}(t;x):=\supp\{d_{Y}(x),f(x'):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$

그러나 이러한 제한된 개념은 그다지 관련성이 없으며, 대부분의 경우 f의 최적 계수는 명시적으로 계산할 수 없고 위에서만 경계(f의 연속성 계수에 의해)된다.더욱이 연속성의 모듈리의 주요 특성은 무제한의 정의를 직접적으로 다룬다.

• 일반적으로 미터법 공간의 균일 연속함수의 연속성 계수는 +값을 취할 필요가 있다.예를 들어 f(n) :=n이² N의 이산형 메트릭에 대해 균일하게 연속되는 함수 f : N → N이 되며, 그 최소 연속성 계수는 t≥1에 대해 Ω_f(t) = +∞이고, Ω_f(t) = 0이다.그러나, 규범화된 공간의 콤팩트 또는 볼록 부분 집합에 정의된 균일하게 연속되는 기능에 대해서는 상황이 다르다.

연속성의 특별한 모듈리

연속성의 특별한 모듈리는 또한 확장성과 균일한 근사치와 같은 기능의 특정 글로벌 특성을 반영한다.이 절에서 우리는 주로 오목한 연속성, 또는 아첨성, 또는 균일하게 연속적인 또는 아선형의 연속성을 다룬다.이러한 특성은 계량 Ω에 대해(더 정확히 말하면, [0, ∞]에 대한 제한은 다음을 내포하고 있다.

• Ω은 오목한 것이다.
• Ω은 부첨사;
• Ω은 균일하게 연속된다.
• Ω은 하위 선형으로, 즉 모든 t에 대해 Ω(t) ≤ at+b인 상수 a와 b가 있다.
• Ω은 오목한 계수에 의해 지배되는데, 즉, 모든 t에 대해$$ $\Omega {\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)$$ Ω${\displaystyle \stackrel{}{}}$~$$${\displaystyle \Omega \stackrel{}{}}$ ~ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$${\$$tilde{\ote}}}}$과 같은$$ 오목한 계통 연속성 계수가 존재한다$.$

따라서 미터법 공간 사이의 함수 f의 경우 오목하거나 아첨자 또는 균일하게 연속성이거나 선형이 되는 연속성 계수를 인정하는 것과 동등하다.이 경우 f함수를 특수 균일 연속지도라고 부르기도 한다.이것은 콤팩트한 영역이나 볼록한 영역의 경우에 항상 적용된다.실제로 규범 공간 E의 볼록 세트 C에 정의된 균일 연속 지도 f : C → Y는 항상 부가적인 하위 연속성 계수를 인정하며, 특히 함수 Ω : [0, ∞[ → [0, ∞]로 실질가치가 된다.실제로 위에서 정의한 최적 연속성 Ω이_f f의 영역이 볼록한 경우: 모든 s와 t:

${\displaystyle {\begin{aigned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{x-x' \leq t+s}d_{x}(f(x)}\&\\leq \sup _{xx' \leq t+s}\lef_{d_{d_{d_Y}\좌(f(x)),f\좌(x-t{\frac {x-x'}{x-x'}{x-x'}}}\우)+d_{Y}\왼쪽(f\t(x-t{\x-x'}{x-x'}{x-x'}}\오른쪽)\오른쪽\}\\&\leq \omega _{f}s.\end{정렬}}}$

즉, 표준 공간의 볼록 부분 집합에서 균일하게 연속되는 함수는 하위 선형을 가지고 있다는 점에 유의하십시오. 즉, f(x)가 모든 x에 대해 x +b를 나타내는 상수 a와 b가 있다.However, a uniformly continuous function on a general metric space admits a concave modulus of continuity if and only if the ratios ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')}$ are uniformly bounded for all pairs (x, x′) with distance bounded away from zero; this condition is cer경계 균일 연속함수, 특히 소형 미터법 공간의 연속함수에 의해 현저히 만족한다.

Lipschitz의 비선형 모듈리 및 경계 섭동

Lipschitz 함수의 경계 섭동인 모든 균일 연속함수에 대해 하위선형 연속성 계수는 쉽게 찾을 수 있다: f가 연속성 계수를 Ω으로 균일한 연속성 함수이고 g가 f로부터 균일한 거리 r을 가진 k Lipschitz 함수라면 f는 연속성 min{Ω(t), 2r+kt}의 하위선형 모듈을 허용한다.반대로, 적어도 실제 가치 함수의 경우, 특별한 균일 연속 함수는 어떤 립스치츠 함수의 경계되고 균일하게 연속된 섭동이다. 실제로 더 많은 함수는 아래와 같이 사실이다(립스치츠 근사).

하위additive moduli 및 확장성

볼록한 영역의 균일 연속함수에 대한 위의 속성은 적어도 실제값 함수의 경우 일종의 역류를 인정한다. 즉, 미터법 공간 X에 정의된 모든 특별한 균일 연속 실질 가치 함수 f : X → R은 표준화된 공간 E의 메트릭 하위 공간인 E에 대한 확장을 허용하며 하위additiv를 보존하는 E에 대한 확장을 허용한다.e Ω of f.이러한 확장 중 최소 및 최대 확장자는 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\f(y)-\omega(x-y )\right\},\f^{f^\inf _{y\inf\in X}\{f(y)\rigine\rigin\rigin\rigin\rigin\rigin\rigin.\end{정렬}}}$

언급했듯이, 모든 부가적인 연속성 계수는 균일하게 연속적이다: 사실, 그것은 연속성의 계수로써 자신을 인정한다.따라서 f와_∗ f*는 각각 Ω-연속 패밀리의 하위 및 상위 봉투로서, 여전히 Ω-연속적이다.우연히, 쿠라토프스키가 어떤 미터법 공간을 내장함으로써, 규범화된 공간의 하위 집합에 등축이 된다.따라서 특수 균일하게 연속된 실제 값 함수는 기본적으로 규범된 공간에 대해 균일하게 연속되는 함수의 제한이다.특히 이 구조는 소형 메트릭스 공간에 대한 티에체 확장 정리의 빠른 증거를 제공한다.그러나 R보다 더 일반적인 바나흐 공간에서의 값과의 매핑의 경우 상황은 상당히 복잡하다; 이러한 방향으로의 첫 번째 비교 결과는 Kirszbraun 정리다.

오목모듈리 및 립스키츠 근사치

미터법 공간 X에 정의된 모든 특수 균일 연속 실질 가치 함수 f : X → R은 립스치츠 함수에 의해 균일하게 근사하다.더욱이 근사치의 립슈츠 상수에 관한 정합화 속도는 f의 연속성 계수와 엄격히 관련된다.정확히는 Ω이 f의 연속성의 최소 오목한 계수가 되도록 한다.

$\displaystyle \omega(t)=\inf {\{}at+b\,:\,a>0,b>0,\,\fall x\in X,\, f(x)-f(x') \leq ad(x,x')+b{big \}.}$

Δ(s)는 Lipschitz 상수가 s인 C에서 모든 Lipschitz의 실제 값 함수 f와 설정된 Lip_s 사이의 균일한 거리가 되도록 한다.

$[\displaystyle \cHB(s):=\inf {\big \{}\f-u\ _{\inft,X}\,:\,u\input {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\inft.}$

그런 다음 Ω(t)과 Δ(s) 함수는 범례 변환을 통해 서로 연관될 수 있다. 더 정확히 말하면, 함수 2Δ(s)와 -Ω(-t)(-t)는 다음과 같이 결합 볼록함수의 한 쌍이다.^[1]

${\displaystyle 2\boards(s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega(t)-st\right\}}}$

$\displaystyle \omega(t)=\inf _{s\geq 0}\좌측\{2\s(s)+st\우측\}.}$

t → 0의⁺ 경우 Ω(t) = o(1)이므로, Δ(s) = o(1)의 s → + +는 정확히 f가 립슈츠 함수에 의해 균일하게 근사하다는 것을 의미한다.그에 따라, 최적 근사치는 함수에 의해 제시된다.

${\displaystyle f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\}},\quad \mathrm {for} \in \mathrm {dom}(\delta ):}$

각 기능 f는_s Lipschitz 상수 s를 가지고 있고

${\displaystyle \ f-f_{s}\ _{\infit ,X}=\delta;}$

실제로 거리 Δ(s)를 실현하는 가장 큰 s-lipschitz 함수다.For example, the α-Hölder real-valued functions on a metric space are characterized as those functions that can be uniformly approximated by s-Lipschitz functions with speed of convergence ${\displaystyle O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),}$ while the almost Lipschitz functions are characterized by an exponen수렴 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle a^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle O(e^{-as})$의 티알 속도.$}$

사용 예

• f : [a, b] → R을 연속함수로 한다.다는 증거를 f리만 적분 가능한 경우, 보통 그 리만 파티션에 존경 P과:상단 그리고 더 낮은 리만 금액 사이의 거리 f의 연속성의 계수 면에서={t0,..., tn}과 칸막이의 메시 P(최대 난 < 0≤. 이 숫자는 P:);n(t나는 + 1−지 않을래 나는){\displayst 인접하고 있다.yle$\scriptstyle$P$:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i$

  ${\displaystyle S^{*}(f;P)-S_{*(f;P)\leq(b-a)\omega(P )}$

• 푸리에 시리즈에서 사용하는 예제는 Dini 테스트를 참조하십시오.

역사

스테펜스(2006, 페이지 160)는 연속성 계수에 대한 오메가 사용의 첫 번째 원인을 르베그(1909, 페이지 309/p.75)로 돌렸다. 여기서 오메가란 푸리에 변환의 진동을 가리킨다.De la Valée Pousin(1919, 페이지 7-8)은 (1) "연속성 계량"과 (2) "진동의 계량"을 모두 언급하고 나서 "하지만 우리는 (1)을 선택하여 우리가 그것에 대해 사용할 사용에 주의를 끌 것"이라고 결론짓는다.

L^p 함수의 번역 그룹과 연속성 L의^p 모듈리.

1 ≤ p; f : Rⁿ → R 등급의^p 함수를 두고 h ∈ R 등급으로ⁿ 한다.( ff)(x) :=f(x-h_h)에 의해 정의된 함수인 f의 h-변환도 L 등급에^p 속하며, 더욱이 1 ≤ p < ∞, 그 다음 hh → → 0으로 하면 다음과 같다.

$\displaystyle \tau _{h}f-f\ _{p}=o(1).}$

따라서, 번역은 사실 선형 등위계이기 때문에, 또한

${\displaystyle \tau_{v+h-\tau_{v}f\ _{p}=o(1),}$

ǁh → 0으로, v ∈ R에ⁿ 균일하게.

즉, 지도 h → τ은_h L의^p 선형 등위계 집단을 강하게 연속적으로 정의한다.p = ∞의 경우, 위의 속성은 일반적으로 유지되지 않는다: 실제로, 그것은 정확히 균일한 연속성으로 감소하며, 균일한 연속 기능을 정의한다.이는 균일 연속함수의 연속성 계수의 개념을 일반화하는 다음과 같은 정의로 이어진다: 측정 가능한 함수 f : X → R에 대한 연속성 계수는^p Ω : [0, ∞] → [0, ∞]의 연속성 계량이다.

$\displaystyle \tau _{h}f-f\ _{p}\leq \omega(h).}$

이러한 방법으로 연속성의 모듈리는 모든 L기능이^p 공유하는 연속성 속성에 대한 정량적 계정도 제공한다.

상위 주문의 연속성 계수

계수의 공식적 정의는 제1차 순서의 유한차이 개념을 사용한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \f}(\delta )=\omega(f,\delta )=\supp \limits _{x; h <\delta ;}\왼쪽 \Delta _{h}(f,x)\오른쪽 .}$

만약 우리가 그 차이를 순서 n의 차이로 대체한다면, 우리는 순서 n의 연속성 계수를 얻게 된다.

${\displaystyle \omega _{n}(f,\delta )=\suppet \limits _{x; h <\delta ;}\왼쪽 \delta _{h}^{n}(f,x)\오른쪽 .}$

참고 항목

• 건설적 분석
• 수렴계

참조

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• Efimov, A. V. (2001) [1994], "Continuity, modulus of", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0609-8
• Lebesgue, H. (1909). "Sur les intégrales singulières". Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. Vol. 3. pp. 25–117. {{cite book}}: 누락 또는 비어 있음(도움말):
• Poussin, Ch. de la Vallée (1952). L'approximation des fonctions d'une variable réelle (in French) (Reprint of 1919 ed.). Paris: Gauthier-Villars.
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• Steffens, K.-G. (2006). The History of Approximation Theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4353-2.