차이 다항식

수학에서, 복합 분석 영역에서, 일반적인 차이 다항식은 다항식 시퀀스, 즉 뉴턴 다항식, 셀버그 다항식, 스털링 보간 다항식을 특별한 경우로 포함하는 셰퍼 다항식의 특정 하위종류다항식들은 뉴턴 다항식, 셀버그 다항식, 스털링 보간 다항식을 포함한다.

정의

일반적인 차이 다항식 시퀀스는 다음과 같다.

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}{n}}{{z-\properties n-1} \선택 {n-1}$

여기서 (${\displaystyle z\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ $){\$은 이항 계수다.$\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta =0$의 경우 ${\displaystyle \mathrm{생성}}$된 다항식 ${\displaystyle p_{}}$ n (${\displaystyle {}_{}}$z${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{n}(z)}$은(는) 뉴턴 다항식이다.

${\displaystyle p_{n}(z)={z \선택 n}={\frac {z-1)\cdots (z-n+1){n!}}.}$

$\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =1}$의 경우 셀버그의 다항식이 생성되고$$, $\beta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \beta =-1/2$}의 경우 스털링의 보간 다항식이 생성된다$$.

이동 차이

분석 함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(z)}$을$($를) 지정하면 f의 이동 차이를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 전진 차이 연산자다.그 다음, f가 특정한 만족도 조건을 준수한다면, 이 다항식들의 관점에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\p_{n}(z){\mathcal{L}_{n}(f).}$

이 순서에 대한 종합성(즉 수렴) 조건은 상당히 복잡한 주제다. 일반적으로 분석함수가 지수형 이하라는 것이 필요한 조건이라고 말할 수 있다.만족도 조건은 보아스 & 벅에서 자세히 논의된다.

생성함수

일반 차이 다항식 생성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\n}.}$

이 생성 함수는 일반화된 호칭 표현 형식으로 가져올 수 있다.

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\PSI(zg(w))=\sum _{n=0}^{\infit }p_{n}(z)w^{n}}}}}$

by setting ${\displaystyle A(w)=1}$, ${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$, ${\displaystyle g(w)=t}$ and ${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$.

참고 항목

• 칼슨의 정리
• 제2종 베르누이 다항식

참조

• Ralph P. Boas Jr. R. Creighton Buck, 분석 기능의 다항식 확장 (Second Printing Corrected), (1964) New York, Springer-Verlag, Berlag, Publishers Inc.의회 도서관 카드 번호 63-23263.