확률질량함수

확률 질량 함수의 그래프입니다.이 함수의 모든 값은 음수가 아니어야 하며 합계가 1이어야 합니다.

확률 및 통계학에서 확률 질량 함수는 이산 랜덤 변수가 정확히 어떤 ^[1]값과 같을 확률을 제공하는 함수입니다.때로는 이산 밀도 함수라고도 합니다.확률 질량 함수는 종종 이산 확률 분포를 정의하는 주요 수단이며, 이러한 함수는 영역이 이산인 스칼라 또는 다변량 랜덤 변수에 대해 존재합니다.

확률 질량 함수는 확률 밀도 함수(PDF)가 이산 랜덤 변수가 아닌 연속형 변수와 연관되어 있다는 점에서 확률 밀도 함수(PDF)와 다릅니다.PDF는 확률을 ^[2]산출하기 위해 간격에 걸쳐 통합되어야 합니다.

확률 질량이 가장 큰 랜덤 변수의 값을 모드라고 합니다.

형식적 정의

확률 질량 함수는 이산 랜덤 변수의 확률 분포로, 가능한 값과 관련 확률을 제공합니다.p $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ : $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ [ $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ , $]$ { $displaystyle$ p $:\mathbb {R}$ \ $to [0,1]}$ 은(는 $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ ) 다음과 같이 정의됩니다.

$p_{X}(x)=P(X=x)$

$-\infty <x<\infty$ $-\infty <x<\infty$ < $-\infty <x<\infty$ < $-\infty <x<\infty$ { $display$ style - \ $infty <$ x $-\infty <x<\infty$ < \ $infty$ ^[2] 。 $P$ 서P { $display style$ P}는 $P$ 확률 $p_{X}(x)$ 측도입니다 $p_{X}(x)$ X ( $p_{X}(x)$ $p(x)$ ) \ $display$ style $p$ $_$ { $X$ } ( $x$ ) $p(x)$ p $p(x)$ 、 p $p(x)$ ( $p(x)$ ) \ $display style$ p ( $p(x)$ x ) $p(x)$ ^[3]

모든 (가상의) 값과 관련된 확률은 음수가 아니어야 하며 합계가 1이어야 합니다.

\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}

그리고.

p_{X}(x)\geq 0.

$확률$ 을 질량으로 생각하는 것은 물리적인 질량이 모든 가상의 $x$ 에 대한 총 확률과 같이 보존되기 때문에 실수를 피하는 데 도움이 됩니다 $x$

측정 이론 공식

이산 랜덤 $변수$ X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ 확률 질량 함수는 계수 측도에 대한 X $(\$ $displaystyle$ X $)$ 의 $분포$ 와 X(\displaystyle X)의 $X$ 확률 밀도 함수의 두 가지 일반적인 측정 이론 구조의 특수한 경우로 볼 수 있다.아래에서는 더 정확하게 설명하겠습니다.

$(A,{\mathcal {A}},P)$ $(A,{\mathcal {A}},P)$ , $(A,{\mathcal {A}},P)$ , P $(A,{\mathcal {A}},P)$ ) $(A,{\mathcal {A}},P)$ { $displaystyle$ ( $(A,{\mathcal {A}},P)$ A , { \ $mathcal$ { $A$ } , $P$ )이 $(A,{\mathcal {A}},P)$ 확률 공간이고 $(B,{\mathcal {B}})$ ( $(B,{\mathcal {B}})$ $(B,{\mathcal {B}})$ ) { $displaystyle (B$ , {\ $mathcal {B}}})$ 이 $(B,{\mathcal {B}})$ 측정 가능한 공간이며, 특히 이 설정에서는δ-displaystyle ( $B,$ {\mathcal {B $B$ 이 이산형) 이 포함되어 있다고 가정합니다. $\displaystyle$ X $\colon$ A $\to$ B는 $X\colon A\to B$ 이미지가 셀 수 있는 경우 이산입니다.푸시포워드 $X_{*}(P)$ X $X_{*}(P)$ δ( $P$ )(이 문맥에서 X $(\displaystyle$ X_ $X$ ${*}(P$ 는 싱글톤 세트로 제한하여 $f_{X}\colon B\to \mathbb {R}$ 질량 함수를 유도하는 B $(\$ $displaystyle$ B $)$ 에 $B$ $대한$ 확률 측도이다 $f_{X}\colon B\to \mathbb {R}$ 이전 절에서 언급한 $f_{X}\colon B\to \mathbb {R}$ 와 같이 $).$ $f_{X}\colon B\to \mathbb {R}$ $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ X $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ ( $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ ) $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ ( $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ - $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ ( $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ ) $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ ( $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ ) \ $displaystyle f_{X}$ (b) = $P(X^{-1}$ ( $b)$ $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ f_ ${X}\colon$ B $\to$ \ $mathbb {R} }$ = $P(X=$ b $)},$ $b\in B$ b $B$ \ $displaystyle$ b \ $in$ B $b\in B$ 。

$(B,{\mathcal {B}},\mu )$ ( $(B,{\mathcal {B}},\mu )$ , $(B,{\mathcal {B}},\mu )$ , $(B,{\mathcal {B}},\mu )$ μ ) ${$ $displaystyle (B,{\mathcal$ { $B}},\mu)}$ 이(가 $(B,{\mathcal {B}},\mu )$ ) 계수 측정 μ가 장착된 측정 공간이라고 가정합니다.계수척도에 대한 $X$ 의 $X$ $확률밀도함수$ f ${$ $displaystyle$ f $}$ 는 $f$ $X$ 의 푸시포워드척도(계수척도에 대한 X $)$ 의 라돈-니코뎀 도함수이므로 $f=dX_{*}P/d\mu$ $f=dX_{*}P/d\mu$ $f=dX_{*}P/d\mu$ $f=dX_{*}P/d\mu$ $f=dX_{*}P/d\mu$ = D μ $P$ / $f=dX_{*}P/d\mu$ $∗$ D $=$ D = DX _ { p _ { $displaystyle$ f _ { p / $mu$ } \ $mu$ } } $}$ } } $mu$ mu mu mu } } } } } } } } } } } } } } } } } } $f$ {\ $displaystyle$ f $}$ 는 $f$ B {\ $displaystyle$ B $}$ 에서 $B$ 음이 아닌 실까지의 함수입니다. $그$ 결과 $,$ 모든 $b$ 에 $b\in B$ 대해

P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}sq\mu =f(b),

f $\displaystyle$ f가 $f$ 사실 확률 질량 함수임을 $f$ 합니다.

잠재적 $결과$ x $({displaystyle$ x $x$ 중 자연스러운 순서가 있는 경우 수치(또는 이산 다변량 랜덤 변수의 경우 n-튜플)를 할당하고 X $({displaystyle$ X $X$ 의 $X$ 에 없는 값을 고려하는 것이 편리할 수 있습니다. 즉 $,$ $f_{X}$ ({ $displaystyle f_{X$ })를 $f_{X}$ 정의할 수 있습니다. $f_{X}(x)=0$ 그림과 $x\notin X(S)$ $f_{X}(x)=0$ X $x\notin X(S)$ X $f_{X}(x)=0$ ( $S$ ) \ $displaystyle x$ \ $notin$ $X$ ( S ) $all$ $x\notin X(S)$ $f_{X}(x)=0$ 0 $。$

$X의$ ({ $displaystyle$ X $})$ 에는 확률 $f_{X}(x)$ $f_{X}(x)$ f X $)({displaystyle f_{X}(x))$ 가 $f_{X}(x)$ 1인 셀 수 있는 서브셋이 있습니다.따라서 확률 질량 함수는 x $({displaystyle$ x $x$ 의 셀 수 있는 값을 제외한 모든 값에 대해 0이 됩니다.

확률 질량 함수의 불연속성은 이산 랜덤 변수의 누적 분포 함수 또한 불연속적이라는 사실과 관련이 있습니다.X $({displaystyle$ X $}$ 가 $X$ 이산 랜덤 변수인 $P(X=x)=1$ P $P(X=x)=1$ $P(X=x)=1$ x ) $P(X=x)=1$ $({displaystyle$ P $($ $X=x)=$ $1})$ 는 $P(X=x)=1$ 우발적인 이벤트 $(X=x)$ )가 $(X=x)$ 확실함을 의미합니다(반대로 발생 빈도가 100%인 경우). $Displaystyle$ X $P(X=x)=0$ $)$ $P(X=x)=0$ ${\displaystyle(X=x)}$ 은 $(X=x)$ (는) 항상 불가능합니다.이 문장은 연속 랜덤 $변수$ X(\ $P(X=x)=0$ X $X$ 에는 해당되지 않습니다. 여기서 $P(X=x)=0$ P( $P(X=x)=0$ = x $P(X=x)=0$ $P(X=x)=0$ 0 $(\displaystyle$ P $(X =$ x)= $0}$ 은 $P(X=x)=0$ 가능한 $모든$ x(\ $displaystyle$ x $x$ 에 대해 연속 랜덤 변수를 이산형 변수로 변환하는 프로세스입니다.

예

유한

베르누이 분포, 이항 분포 및 기하 분포의 세 가지 주요 분포가 연관되어 있습니다.

베르누이 분포: ber(p)는 두 가지 가능한 결과를 가진 실험을 모형화하는 데 사용됩니다.이 두 가지 결과는 보통 1과 0으로 부호화됩니다. $\displaystyle p_{X}(x)=begin{cases}p,\text{if}}x(x)text{는 1}\1-p,\text{x(x)text{는 0}}\end{cases}}}}$ 베르누이 분포의 예는 동전 던지기이다.S $(\displaystyle$ S $)$ 가 $S$ 페어 코인의 단일 토스의 모든 결과의 표본 $X$ 이고 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ S $(\displaystyle$ S $)$ 에 $S$ 정의된 랜덤 변수이며, "꼬리" 범주에 0, "머리" 범주에 1을 할당한다고 $S$ 합니다.동전이 공정하기 때문에 확률 질량 함수는 $p_{X}(x)=begin{case}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\0,&x\notin \{0,1\}.\end {case}$
이항 분포 - 치환으로 n회 그릴 때 성공 횟수를 모형화합니다.각 추첨 또는 실험은 독립적이며 두 가지 결과가 있을 수 있습니다.관련 확률 질량 함수는 ( ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ k ) ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ k ( ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ - ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ ) ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ { $textstyle$ { $binom {n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k$ 이다 ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

공정 다이의 확률 질량 함수입니다.주사위 위의 모든 숫자는 주사위 굴림이 멈추면 맨 위에 나타날 확률이 동일합니다.
이항 분포의 한 예는 공정 다이를 세 번 굴릴 때 정확히 6이 하나 나올 확률입니다.
기하 분포는 한 번의 성공을 거두는 데 필요한 시행 횟수를 나타냅니다.확률 질량 함수는 p ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$ ( ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$ ) $=$ ( ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$ - ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$ ) ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$ - ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$ { $textstyle p_{X}(k$ )=( $1-p)^{k-1}p$ 이다.
예를 들어 첫 번째 "앞면"이 나타날 때까지 동전을 던지는 것이 있습니다. $\displaystyle$ p는 $p$ 결과 "앞면"의 확률을 나타내고 k $\display$ k는 필요한 $k$ 동전 던지기 횟수를 나타냅니다.
확률 질량 함수를 사용하여 모형화할 수 있는 다른 분포로는 범주형 분포(일반화된 베르누이 분포라고도 함)와 다항 분포가 있습니다.
이산형 분포에 둘 이상의 범주가 있고 그 중 하나가 발생할 수 있는 경우, 이러한 범주의 자연적 순서가 있는지 여부에 관계없이 단일 시행(추첨)이 있는 경우 범주형 분포가 됩니다.
다변량 이산 분포와 그 확률 질량 함수의 예는 다항 분포에 의해 제공됩니다.여기서 다중 랜덤 변수는 주어진 횟수의 시행 후 각 범주의 성공 횟수이며, 0이 아닌 각 확률 질량은 다양한 범주의 성공 횟수의 특정 조합의 확률을 제공합니다.

인피니트

다음 기하급수적으로 감소하는 분포는 가능한 결과가 무한히 많은 분포의 예입니다. 모든 양의 정수입니다.

{Pr}(X=i)=param frac {1}{2^{i}}\qquad {text{for}i=1,2,3,\param

가능한 결과의 수가 무한함에도 불구하고, 총 확률 질량은 1/2 + 1/4 + 1/8 + δ = 1로, 확률 분포에 대한 단위 총 확률 요건을 충족합니다.

다변량 사례

둘 이상의 이산 랜덤 변수에는 확률 질량 함수가 있으며, 이는 랜덤 변수에 대해 실현 가능한 각 조합의 확률을 제공합니다.

레퍼런스

^ Stewart, William J. (2011). Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press. p. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1.
^ ^a ^b A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 유지보수: 기타 (링크)
^ Rao, Singiresu S. (1996). Engineering optimization : theory and practice (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-55034-5. OCLC 62080932.

추가 정보

Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Univariate Discrete Distributions (2nd ed.). Wiley. p. 36. ISBN 0-471-54897-9.

[1] Stewart, William J. (2011). Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press. p. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1.

[:0-2] A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 유지보수: 기타 (링크)

[3] Rao, Singiresu S. (1996). Engineering optimization : theory and practice (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-55034-5. OCLC 62080932.

[1]

[2]

[3]

v t 확률 분포 이론
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