다고스티노의 K-제곱 검정

통계에서 랄프 다고스티노의 이름을 딴 다고스티노의 K² 검정은 정규성으로부터의 이탈에 대한 적합도 척도로, 주어진 표본이 정규 분포 모집단에서 추출되었는지 여부를 확인하는 것을 목적으로 한다.검정은 검체 첨도와 왜도의 변형을 기반으로 하며 분포가 치우침 및/또는 쿠르틱이라는 대안에 대해서만 검정력을 가진다.null

왜도와 첨도

다음에서 { x }은_i(는) n개의 관측치의 표본을 나타내며₁, g와₂ g는 표본 왜도와 첨도_j, m은 j번째 표본 중심 모멘트, x${\${x$}}$은 표본 평균이다.정규성 시험과 관련된 문헌에서 왜도와 첨도는 각각 √β와₁ β로₂ 표시된다.예를 들어 √β는₁ 음수량이 될 수 있기 때문에 이러한 표기법은 불편할 수 있다.null

표본의 왜도 및 첨도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&, g_{1}={\frac{m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac{{\frac{1}{n}}\sum _ᆲ^ᆳ\left(x_{나는}-{\bar{x}}\right)^{3}}{\left({\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{나는}-{\bar{x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}),\\&, g_{2}={\frac{m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac{{\frac{1}{n}}\sum _ᆽ^ᆾ\left(x_{나는}-{\bar{x}}\right)^{4}}{({\left.\frac{1}}{n}\sum _{i=1}^{n}\왼쪽(x_{i}-{\bar{x}\오른쪽)^{2}-3\\\\end{aigned}}}}}}$

이러한 수량은 각각 분포의 이론적 왜도와 첨도를 일관되게 추정한다.또한 표본이 정규 모집단에서 추출된 경우 왜도 및 첨도의 정확한 유한 표본 분포 자체는 평균 μ₁, 분산 μ₂, 왜도 μ₁ 및 첨도 μ 단위로₂ 분석할 수 있다.이는 피어슨(1931)이 다음과 같은 표현을 도출한 것이다.^{[better source needed]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{1})=0,\\&\mu _{2}(g_{1})={\frac {6(n-2)}{(n+1)(n+3)}},\\&\gamma _{1}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{3/2}}}=0,\\&\gamma _{2}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{2}}}-3={\frac {36(n-7)(n^{2}+2n-5)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}.\end{정렬}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{2})=-{\frac {6}{n+1}},\\&\mu _{2}(g_{2})={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}},\\&\gamma _{1}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{3/2}}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}},\\&\gamma _{2}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2}^{2}}:3={\frac{36(15n^{6}-36n^{5}-628n^{4}+982n^{3}+5777n^{2}-677n^{2}{2}-162n+900)}{n(n-3){n(n+7)+7(n+11)(n+13)}}}}}}}}.\end{정렬}}}$

예를 들어, 정규 분포 모집단에서 추출한 크기가 n = 1000인 표본은 왜도가 0, SD 0.08이고 첨도가 0, SD 0.15인 것으로 예상할 수 있다. 여기서 SD는 표준 편차를 나타낸다.^{[citation needed]}null

변형된 표본 왜도 및 첨도

표본의 왜도 g와₁ 첨도 g는₂ 둘 다 점증적으로 정상이다.그러나 특히 g의₂ 경우 분포 한계에 대한 수렴 속도는 답답할 정도로 느리다.예를 들어, n = 5000 관측치에서도 표본 첨도 g는₂ 대략 0.3의 왜도와 첨도를 가지며 무시할 수 없다.이러한 상황을 개선하기 위해, g와₂ g의 분포를 가능한 한 표준에 가깝게 하는 방법으로 수량을₁ 변환하는 것이 제안되었다.null

특히 다고스티노(1970년) 하브텍스트 오류: 대상 없음: CATEREFD'아고스티노1970(도움말)은 표본 왜도에 대해 다음과 같은 변환을 제안했다.

${\displaystyle Z_{1}(g_{1}}=\delta \operatorname {asinh} \left({\frac {g_{1}:{1}{1}}{\nalpha {\sqrt{\mu _{2}}}}\오른쪽),}$

여기서 상수 α와 Δ는 다음과 같이 계산된다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&W^{2}={\sqrt{2\gamma_{2}+4}-1,\&\delta =1/{\sqrt{\ln W},\&\알파^{2}=2/(W^{2}-1),\end{aigned}}}}}}}}}$

여기서 μ₂ = μ₂(g₁)는 g의₁ 분산이고, μ₂ = μ₂(g₁)는 첨도(curtosis) - 앞의 절에 제시된 표현이다.null

마찬가지로, Anscombe & Glyn(1983)은 20개 이상의 표본 크기에 대해 합리적으로 잘 작동하는 g에₂ 대한 변환을 제안했다.

${\displaystyle Z_{2}(g_{2})={\sqrt {\frac {9A}{2}}:}\왼쪽\{1-{\frac {2}{9A}-\왼쪽({\frac {1-2/A}{1+{\frac {g_{2}-\mu_{1}{1}{1}{{1}}{{2}}:{\sqrt{2/(A-4)}}}}}{\sqrt {2/(오른쪽)^{\1/3}}}$

어디에

${\displaystyle A=6+{\frac {8}{\gamma _{1}{1}}\왼쪽({\frac {2}{\gamma _{1}}+{1+4/\gamma _{1}{1}^{1}}}\right),}}$

및 μ₁ = μ₁(g₂), μ₂ = μ₂(g₂), μ₁ = μ(g₂)는 피어슨이₁ 계산한 수량이다.null

옴니버스² K 통계량

통계 Z와₁ Z를₂ 조합하여 옴니버스 시험을 만들 수 있으며, 왜도나 첨도에 의한 정규성으로부터의 편차를 검출할 수 있다('Agostino, Belanger & D'Agostino 1990). 하브 오차: 대상 없음: CATEREFD'아고스티노벨랑게르D'아고스티노 1990(도움말):null

${\displaystyle K^{2}=Z_{1}(g_{1})^{2}+Z_{2}(g_{2})^{2}\,}$

정규성의 귀무 가설이 사실이라면 K는² 대략 자유도 2도로 istrib분산된다².null

통계 g₁, g는₂ 독립적이지 않고 단지 상관관계가 없을 뿐이라는 점에 유의한다.따라서 이들의 변환 Z₁, Z도₂ 의존하게 될 것이며(Senton & Bowman 1977) approx² 근사치의 타당성도 의문시된다.시뮬레이션 결과, 귀무 가설에서 K 검정² 통계량은

	기대치	표준 편차	95% 퀀텀블러
n = 20	1.971	2.339	6.373
n = 50	2.017	2.308	6.339
n = 100	2.026	2.267	6.271
n = 250	2.012	2.174	6.129
n = 500	2.009	2.113	6.063
n = 1000	2.000	2.062	6.038
χ2(2) 분포	2.000	2.000	5.991

참고 항목

• 샤피로-Wilk 시험
• 자크-베라 검정

참조