K-분포

확률과 통계에서 K-분포는 연속 확률 분포의 3-모수 계열이다.분포는 두 개의 감마 분포를 혼합하여 발생한다.각 경우에, 감마 분포 계열의 일반적인 형태의 재모수화를 사용하며, 다음과 같은 매개변수가 사용된다.

• 분포의 평균,
• 일반적인 형상 모수

K-분포는 분산-감마 분포의 특별한 경우로서, 다시 일반화된 쌍곡 분포의 특별한 경우다.

밀도

모델은 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 평균 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$을(를) 갖는 감마 분포와 형상 매개 변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$$\}$을(를$)$ 가진 $감마{\displaystyle }$ 분포가 있으며$$$$$,$ 이번에는 평균 μ {\$displaysty \mu$}을$$ 갖는 변수와형상 매개 변수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta$ $\}.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(는) x> ${\displaystyle x>0}$에 대해 다음과 같은 확률밀도함수(pdf)를$$ 갖게 된다^[1]

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$

여기서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) 두 번째 유형의 수정된 베셀 함수다.두 번째 종류의 수정된 베셀 함수에 대해서는 K ${\displaystyle {\nu }_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\$이 파생에서 K-분포는 복합 확률 분포라는 점에 유의하십시오$.$또한 제품 분포로서,^[1] 평균 1과 형상 모수 $[\displaystyle \alph}$를 가진 감마 분포와 평균 $[\displaystyle \mu }$을$($를) 가진 감마 분포와 형상 $모수$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \beta $}$을(를)를 가진 두 개의 독립 랜덤 변수의 곱의 분포이다$.$

K-분포의 보다 간단한 두 파라미터 공식화는 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =$1}을^[2]$($를) 다음과 같이 설정하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma(v)}}}}}{\sqrt{bx}}^{v-1}{{{\sqrt{bx}}),}}$

$여기$서 $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle$ v$=\alpha }$이(가) ${\displaystyle \mathrm{형상인자},}$ b =${\displaystyle }$α ${\displaystyle \beta }$ / ${\displaystyle \mu }${\$displaystyle$ b$=\alpha \beta$/\$mu$}이$$(가) 척도인자, $K{\displaystyle }$ ${\\displaystystyle K}$이(가)가 2류의 변형된 베셀 함수다.

이 분포는 에릭 제이크먼과 피터 푸시(1978)가 마이크로파 바다 메아리를 모형화하는 데 사용한 논문에서 유래한다.Jackeman and Tough(1987)는 편향된 무작위 보행 모델에서 분포를 도출했다.Ward(1981)는 두 개의 랜덤 변수인 z = a y에 대한 제품에서 분포를 도출했으며, 여기서 a는 기 분포를 가지고 있고 y는 복잡한 가우스 분포를 가지고 있다.z, z 의 계수는 K 분포를 가진다.

순간

모멘트 생성 기능은^[3]

${\displaystyle M_{X}=\좌({\frac {\xi }}}{s}\오른쪽)^{\beta /2}\exp \좌({\frac {\xi }}}\우)W_{-\delta /2,\gamma /2}\왼쪽({\frac {\xi }}{s}}오른쪽),}$

where ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha ,}$ ${\displaystyle \delta =\alpha +\beta -1,}$ ${\displaystyle \xi =\alpha \beta /\mu ,}$ and ${\displaystyle W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )}$ is the Whittaker function.

K-distribution의 n번째 순간은 다음과 같이^[1] 주어진다.

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\감마(\알파 +n)\감마(\베타 +n)}{\\\감마(\alpha )\감마(\beta )}}.}$

그래서 평균과 분산은 다음과^[1] 같이 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {E}(X)=\mu }$

${\displaystyle \operatorname {var}(X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}.}$

기타 속성

분포의 모든 속성은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $\beta {\displaystyle }$. ${\displaystyle \beta .}$에서 대칭이다.

적용들

K 분포는 SAR(synthetic-aperture radar) 이미지에 사용된 통계적 또는 확률적 모델의 결과로 발생한다.K 분포는 레이더 단면을 나타내는 확률 분포와 일관성 있는 이미지의 특징인 점을 나타내는 확률 분포 두 개를 혼합하여 형성된다.그것은 또한 무선 통신에서 복합적인 빠른 페이딩과 섀도잉 효과를 모델링하는데 사용된다.

메모들

원천

• Redding, Nicholas J. (1999) Intensity 도메인에서 K 분포의 모수 추정.보고서 DSTO-TR-0839, DSO 전자 및 보안 감시 연구소, 사우스 오스트레일리아 60페이지.
• Jackeman, E. and Pusey, P. N. (1978) "비산 실험에서 K-분산의 의미", 물리적 검토서, 40, 546–550, doi:10.1103/PhysRevRevlett 40.546".
• Jackeman, E. and Tough, R. J. A.(1987) "일반화된 K 분포: 약한 산란을 위한 통계 모델", J. Opt. Am. 4, (9) 페이지 1764–1772.
• 워드, K. D. (1981) "고해상도 바다 잡동사니들의 복합 표현", 일렉트로닉.레트, 17페이지 561~565.
• 롱, M. W. (2001) "땅과 바다의 레이더 반사율" (Radar Reflectivity of Land and Sea), 3부, 아르텍 하우스 (Artech House), 노우드 (Norwood), 2001.
• Bithas, P. S.; Sagias, N. C.; Mathiopoulos, P. T.; Karagiannidis, G. K.; Rontogiannis, A. A. (2006) "On the performance analysis of digital communications over generalized-K fading channels", IEEE Communications Letters, 10 (5), pp. 353–355.

추가 읽기

• Jackeman, E. (1980) "K-분산 노이즈 통계에 관하여", Journal of Physics A: 수학 및 일반, 13, 31–48
• 워드, K. D.; 터프, 로버트 J. A; 와츠, 사이먼(2006) 씨 클루터: 산란, K 분배 및 레이더 성능, 엔지니어링 및 기술 기관. ISBN0-86341-503-2.