대각선

기하학에서 대각선은 다각형 또는 다면체의 두 정점을 결합하는 선 세그먼트로서, 정점이 같은 가장자리에 있지 않을 때. 비공식적으로 어떤 경사진 선을 대각선이라고 한다. 고대 그리스 διαγώνιος diagonios,[1]"각도 angle까지"(διά- dia-,"를 통해"," 가로질러"과 γωνία gonia,"각도",에서 gony과 관련된"무릎")에서 그 말은 대각선 반대;그것은 둘 다 Strabo[2]과 Euclid[3]에 의해 선 마름모 또는 나중에 라틴어로 diagonus로 채택했다 cuboid,[4]것(``slanting의 두 vertices 연결하는 이름으로 사용되었어. line" cm이다.

행렬 대수학에서 정사각형 행렬의 대각선은 한 구석에서 가장 먼 구석까지 확장되는 항목 집합이다.

다른 비수학적 용법도 있다.

비수학적 용도

공학에서, 대각선 가새란 직사각형 구조(비계 등)에 밀어넣는 강한 힘을 견디기 위해 사용하는 빔이다. 대각선이라고 부르지만, 실제적인 고려 때문에 대각선 가새들은 직사각형의 모서리에 연결되지 않는 경우가 많다.

대각선 플라이어는 죠의 절단 가장자리로 정의되는 와이어 절단 플라이어로서 조인트 리벳을 비스듬히 교차하거나 "대각선 위"라는 명칭으로 교차한다.

대각선 래싱은 래싱이 폴 위를 비스듬히 교차하도록 적용된 스파르나 폴을 함께 묶는 데 사용되는 래싱의 일종이다.

축구 협회에서 대각선 제어 시스템은 심판과 부심이 투구의 4개 사분면 중 하나에 자신을 위치시키기 위해 사용하는 방법이다.

폴리곤

다각형에 적용되는 대각선은 두 개의 비응축 정점을 결합하는 선 세그먼트다. 따라서, 사각형은 정점의 반대 쌍을 이루는 두 개의 대각선을 가지고 있다. 볼록한 폴리곤의 경우 모든 대각선은 폴리곤 내부에 있지만, 재입원 폴리곤의 경우 일부 대각선은 폴리곤 외부에 있다.

n측 폴리곤(n ≥ 3)은 볼록하거나 오목한 $것$으로서, ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$(${\displaystyle \frac{3}{}}$) 2 ${\$개의 대각선이$$ 있는데, 이는 각 정점이 자신과 인접한 두 정점 또는 n - 3 대각선을 제외한 다른 모든 정점에 대각선을 가지며, 각 대각선은 두 정점으로 공유되기 때문이다.

대각선으로 형성된 지역

볼록한 다각형에서 내부의 한 지점에서 세 개의 대각선이 동시에 발생하지 않는 경우 대각선이 내부를 나누는 영역 수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\binom {n}{4}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}}.}$

n=3, 4, n이 있는 n-gon의 경우 ...의 지역 수는^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

OEIS 시퀀스 A006522 입니다.^[6]

대각선의 교차점

내부의 한 지점에서 볼록 폴리곤의 대각선 3개가 동시에 발생하지 않는 경우 대각선의 내부 교차점 수는${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ $){\$에 의해 부여된다$.$^[7][8] 예를 들어, 변의 홀수 수가 있는 일반 폴리곤의 경우 이 값이 고정된다. 이 공식은 각 교차점이 두 교차 대각선의 네 개의 끝점에 의해 독특하게 결정된다는 사실에서 따온 것이다: 교차점의 수는 따라서 한 번에 n 정점 4의 조합의 수입니다.

일반 다각형

삼각형에는 대각선이 없다.

정사각형에는 길이가 같은 대각선 두 개가 있는데, 정사각형의 중앙에서 교차한다. 대각선 대각선의 비율은 $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}㎛}$ 1${\displaystyle \mathrm{.414이다.}}$${\displaystyle {\sqrt{2}}\약 1.414.$$}$

일반 오각형에는 같은 길이의 대각선이 5개 있다. 대각선 대각선 비율이 황금 $비율$인 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ 5 ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \approx }$ 1${\displaystyle \mathrm{.618이다.}}$${\displaystyle {\frac{1+{\sqrt{5}{2}}:\약 1.201\$$}$

정육각형에는 아홉 개의 대각선이 있는데, 짧은 여섯 개의 대각선은 길이가 같고, 긴 세 개의 대각선은 길이가 같고, 육각형의 중심에서 서로 교차한다. 측면에 대한 긴 대각선의 비율은 2이고 측면에 대한 짧은 대각선의 비율은 3 ${\$이다$.$

일반 헵타곤은 14개의 대각선을 가지고 있다. 키가 작은 일곱은 서로 같고, 긴 일곱은 서로 같다. 측면의 역수는 짧은 대각선과 긴 대각선의 왕복선의 합이다.

n이 짝수인 어떤 규칙적인 n곤에서, 긴 대각선은 모두 다각형의 중심에서 서로 교차한다.

다면체

다면체(삼차원 공간의 고체 물체, 2차원 면으로 경계)는 다양한 면의 면 대각선과 동일한 면의 비인접 정점을 연결하는 공간 대각선, 그리고 전체적으로 다면체 내부(정점 위의 끝점 제외)의 두 가지 다른 대각선을 가질 수 있다.

삼각형에도 대각선이 없듯이, 4면체(삼면 4면)도 얼굴 대각선이 없고 공간 대각선이 없다.

6개의 면에 각각 2개의 대각선이 있고 4개의 공간 대각선이 있다.

행렬

정사각형 행렬의 경우, 주 대각선 또는 주 대각선은 왼쪽 상단 모서리에서 오른쪽 하단 모서리로 실행되는 항목의 대각선이다.^[9][10][11] $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$이(가) 지정한 행 인덱스와 j ${\displaystyle j}$이(가) 지정된 열 인덱스가 있는$$ ${\displaystyle {매트릭스}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$$$${\$의 경우$,$ $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle j}$ ${\displaystystyle i=j}$ $항목$이 주 대각선에 1인 것으로 정의할 수 있다$.$알 및 영(0) 다른 위치:

${\displaystyle {\pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\\0&1\end{pmatrix}}$

오른쪽 위부터 왼쪽 아래 대각선까지를 작은 대각선 또는 반대각선이라고 표현하기도 한다. 비대각 입력은 주 대각선에 있지 않은 입력이다. 대각 행렬은 대각선 외 항목들이 모두 0인 행렬이다.^[12][13]

초대각 진입은 주 대각선 바로 위와 오른쪽에 있는 진입이다.^[14][15] 대각선 ${\displaystyle {\mathrm{항목}}_{}}$이 $j$ = ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j=i}$인 A i j ${\$ij$}$와 같이, 초대각선 항목은 j${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j=i+1}$인 항목들이다$.$ 예를 들어, 다음 행렬의 0이 아닌 입력은 모두 초대각선 안에 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}0&#2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

j와 나는 일반 행렬 대각선 .[16]1{j=i-1\displaystyle}− 마찬가지로,subdiagonal 진입은 하나 바로 아래 있고 주요 대각선의 왼쪽으로, 즉 진입 한 나는 j{\displaystyle A_{ij}}){k\displaystyle}는 주요한 대각선:주요 대각선 ha로 상대를 측정한 지수 k에 의해 지정할 수 있다.s${\displaystyle k}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k=$$0$$\},$ 초대각형은 k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ k$=-1$ 하위대각은${\displaystyle }$${\displaystyle k_{}}$${\displaystyle }$= - ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ $k$$=-1$ $일반적$으로 k$$${\$$displaystyle$ $k}$ $-dij$}, $j$ = ${\displaystyle i}$= i + ${\displaystyle k}$ =$i+k$ ${\displaystyle {항목}_{}}$으로 구성된다.

기하학

유추에 의해, 모든 쌍(x,x)으로 구성되는, 자신과의 어떤 집합 X의 카르테시안 제품 X×X의 부분집합을 대각선이라고 하며, X에 있는 동등 관계 그래프 또는 X에서 x까지의 신분 함수의 그래프와 동등하게 일치한다. 이것은 기하학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, X에서 그 자체로 매핑 F의 고정점은 F의 그래프를 대각선과 교차시킴으로써 얻을 수 있다.

기하학 연구에서는 대각선을 그 자체와 교차시키는 사상이 일반적이며, 직접이 아니라 등가계급 내에서 교란하는 것이 일반적이다. 이는 오일러 특성 및 벡터 필드의 0과 깊은 수준에서 관련이 있다. 예를 들어, 원 S에는¹ 베티 번호 1, 1, 0, 0, 0이 있으며 따라서 오일러 특성 0이 있다. 이것을 표현하는 기하학적 방법은 투토러스 SxS의¹¹ 대각선을 보고 작은 움직임( (, θ)에서 (θ, θ + ε)으로 저절로 움직일 수 있음을 관찰하는 것이다. 일반적으로 대각선이 있는 함수의 그래프의 교차번호는 렙체츠 고정점 정리를 통해 호몰로 계산될 수 있다. 대각선의 자기간격은 신분함수의 특수한 경우다.

참고 항목

• 요르단 정상 형태
• 주 대각선
• 대각 펑터

메모들

참조

• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66021267
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646

외부 링크

• 대화형 애니메이션을 사용한 다각형의 대각선
• MathWorld의 다각형 대각선.
• MathWorld에서 매트릭스의 대각선.