일반화된 고유 벡터

선형 대수에서, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 일반화된 고유 벡터는 (일반적인) 고유 벡터의 것보다 더 완화된 특정 기준을 만족하는 벡터다.^[1]

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) n ${\displaystyle n}$ -차원 벡터 공간으로 $하고{\displaystyle }$, {$${\$displaystyle$$\pi$$$}을(를) L(V$)$의 선형 지도로 하고, {$$${\displaystyle$$A$$}$을(를) 행렬로 지정하며$$, 일부 서열에 포함시키십시오$$.소정의 근거

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 완전한 기초를 형성하는$$ $A{\displaystyle }${\$displaystyle$A$}$의 선형 독립 고유 벡터 전체 집합이 항상 존재하는 것은 아닐 수 $있다{\displaystyle }$$.$ 즉,$$A {\$displaystyle A}$ 행렬이 대각선으로 가능하지 않을$$ 수 있다.^[2][3] 적어도 하나의 고유값 ${\displaystyle {value}_{}}$ i ${\$의 대수적 곱셈이 그$$ 기하학적 곱셈(매트릭스${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I$ 또는 그 귀무공간의 치수보다 클 때 발생한다. 이 경우 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 불량 고유값으로,$$A {\$displaystyle$ A$}$은 불량 행렬로 불린다.^[4]

A generalized eigenvector ${\displaystyle x_{i}}$ corresponding to ${\displaystyle \lambda _{i}}$, together with the matrix ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$ generate a Jordan chain of linearly independent generalized eigenvectors which form a basis for an invariant subspace of ${\display$$스타일 V}$^[5][6][7].

필요하면 일반화된 값, A{A\displaystyle}의 일차 독립 값 집합을 사용하여 V{V\displaystyle}를 위해 완전한 기준으로 .[8]이 기준 조르당 표준 형태로"거의 대각 행렬"J{J\displaystyle},{A\displaystyle}과 유사한 w.을 확인하는 데 사용될 수 있는 확장될 수 있딸꾹!h는 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 특정 매트릭스 함수를 계산하는 데 유용하다$.$^[9] 또한 행렬 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를)^[10][11] 대각선으로 표시할 필요가$$ 없는 선형$$ 미분 방정식 $x{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= $, {\displaystyle \mathbf$ {$x}$의 시스템을 해결하는 데도 유용하다$$.

주어진 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 해당하는 일반화된 eigenspace의 치수는 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 대수적 다중성이다$.$^[12]

개요 및 정의

일반적인 고유 벡터를 정의하는 몇 가지 동등한 방법이 있다.^{[13][14][15][16][17][18][19][20]} For our purposes, an eigenvector ${\displaystyle \mathbf {u} }$ associated with an eigenvalue ${\displaystyle \lambda }$ of an ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle n}$ matrix ${\displaystyle A}$ is a nonzero vector for which ${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0}$길이 n{n\displaystyle}의}, 내가{\displaystyle 1세}은 n{n\displaystyle}×n{n\displaystyle}정체성 매트릭스와 0{\displaystyle \mathbf{0}}은 제로 벡터 .[21]그것은,{\displaystyle \mathbf{너}}변화의 커널 내에서(A− 나는 λ)은{\displaystyle. (S$\lambda I)}.$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 선형$$ 독립 고유 벡터가 있으면$$ A ${\$$displaystyle$ $A}$은(는) 대각 행렬 $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $D$$}$과(는)와$$ 유사함$.$ 즉, $A{\displaystyle }$ ${\displaystystylease$ A}이(으)를 통해 대각 A$}$을(으)할$$ 수 있음)마일리티 변환 $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ A ${\displaystyle D=M^-1}AM$^[22][23] 행렬 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 스펙트럼 행렬이라고 한다$$$.$ $매트릭스{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M$$}$을$($를) A {\$displaystyle$ A}의 모달 매트릭스라고 하는데$$$,$^[24] 이들의 매트릭스 함수를 쉽게 계산할 수 있기 때문에 대각선으로 가능한 매트릭스는 특히 관심이 많다.^[25]

반면, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 $연결$된 n$${\$displaystyle$n} 선형 독립 고유 벡터가 없는 $경우$,$$A {\$displaystyle A}$은(는) 대각선으로 가능하지 않다$$.^[26][27]

정의: 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\$${$$m}$은 행렬 A {\$displaystyle A}$의 순위 m의 일반화된 고유 벡터로서, 다음과$$$$ 같은 경우$$ 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda}$에 해당한다.

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0}}$

그렇지만

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0}}$ ^[28]

분명히 1등급의 일반화된 고유벡터는 일반 고유벡터다.^[29] $모든{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ ×$$ n ${\displaystyle n}$ 행렬$$ A ${\displaystyle$ A$}$에는 $이$와 연관된 $n{\displaystyle }$ ${\\displaystyle n}$ 선형$$ 독립 일반화된 고유 벡터가 있으며$$, 요르단 일반 형태의$$ "거대각선" 행렬 $J{\displaystyle }$ ${\\\displaystyle J}$과 유사한 것으로 나타날 수 있다.^[30] 즉, 가역 행렬 M{M\displaystyle}존재한다는 것이 J)M− 1M{\displaystyle J=M^{)}AM}.[31일]매트릭스 M{M\displaystyle}에 이 사건은라고 불리는 일반화된 조동사 매트릭스에 대한 A{A\displaystyle}.[32]만약 λ{\lambda\displaystyle}은 고유치의 대수적 다양성. μ${\displaystyle \mu$ $\},$ 그러면 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $A}$은(는)$$$\mu {\displaystyle }$$${\$displaystyle$\$lambda }$에 해당하는 선형 독립 일반화된 고유 벡터를 갖게 된다$.$^[33] 이러한$$ 결과는 다시 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle A$^[34]의 특정 매트릭스 함수를 계산하는 간단한 방법을 제공한다.

Note: For an ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$ over a field ${\displaystyle F}$ to be expressed in Jordan normal form, all eigenvalues of ${\displaystyle A}$ must be in ${\displaystyle F}$. That is, the characteristic polynomial ${\displaystyle f(x)}$ must factor compl거의 선형 인자로 되어 있다. 예를 들어, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 실제 값을 갖는 경우 고유값과 고유 벡터의 구성 요소가 복합 값을 갖는 것이 필요할 수 있다.^[35][36][37]

주어진$$$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 대해 모든 일반화된 고유 벡터에 의해 확장된 집합은 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 대한 일반화된 Eigenspace를 형성한다$.$^[38]

예

일반화된 고유 벡터의 개념을 설명하기 위한 몇 가지 예가 여기에 있다. 세부 사항 중 일부는 나중에 설명할 것이다.

예 1

이 예는 간단하지만 요점을 명확하게 보여준다. 이런 종류의 매트릭스는 교과서에서 자주 사용된다.^[39][40][41] 가정하다

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}.}$

$그러면{\displaystyle }$ 고유값은 ,${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda =1},$대수적 승수는 m = 2이다.

이 행렬은 요르단 정규 형식이지만 대각선이 아니라는 점에 유의하십시오. 따라서, 이 행렬은 대각선이 가능하지 않다. 초대형 대각선 입력이 한 가지 있기 때문에 1보다 큰 등급의 일반화된 고유 벡터가 한 개 있을 것이다(또는 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 차원 2이므로 1보다 큰 등급의 일반화된 고유 벡터가 최대 한 개 있을 수 있다). 또는 A -${\displaystyle \lambda }$ I ${\displaystyle A-\lambda$ I$}$의 nullspace 치수를 p = 1로$$ 계산할 수 있으며, 따라서 1보다 큰 등급의 m – p = 1 일반화된 고유 벡터가 있다.

일반 고유벡터 v ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}0\mathrm{}\\ \end{array}}$) ${\$은(예: 고유벡터 페이지 참조). 이 고유 벡터를 사용하여 일반화된 고유벡터 v ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 풀어서$$ 계산한다.

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

값을 쓰는 중:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

이렇게 하면 다음과 같이 간단해진다.

${\displaystyle v_{22}=1.}$

v ${\displaystyle {21}_{}}$ ${\$ 요소는 제한이 없다$$. 등급 2의 일반화된 고유 벡터는 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$) ${\$이며$,$ 여기서 a는 스칼라 값을 가질 수 있다. a = 0의 선택은 일반적으로 가장 간단하다.

참고:

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

$v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가$$ 일반화된 고유 벡터,

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

$v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$\_${1}$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$2}}이$$$$ 선형 $독립적$이므로 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$의 기반이 된다$.$

예 2

이 예는 예 1보다 더 복잡하다. 불행하게도, 낮은 질서의 흥미로운 예를 만드는 것은 조금 어렵다.^[42] 행렬

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\3&0&0\3&0\6&0\6&0\10&3&0\15&6&3&2\end{pmatrix}}}}}}$

has eigenvalues ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ and ${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ with algebraic multiplicities ${\displaystyle \mu _{1}=2}$ and ${\displaystyle \mu _{2}=3}$, but geometric multiplicities ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ and ${\displaystyle {\gamma }_2=1}$${\displaystyle \property _${2$}=1$

$A$ ${\displaystyle A}$의 일반화된 영역은 아래에 계산된다. ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ is the ordinary eigenvector associated with ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ is a generalized eigenvector associated with ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ is the ordinary $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\$ $\lambda _{2$ $y{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $3{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ $\mathbf$${y}$ $_{3$$}}}$과(${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$) 연관된 일반화된 고유 벡터들이다$.$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

이는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 각 일반화된 고유 벡터의 두 체인은 모든 5차원 기둥 벡터의 공간을 포괄한다$.$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\-2\\0\end{pmatrix}\right\}.}$

$요르단{\displaystyle }$ 정규 형태의 "대각선" 매트릭스 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는)$$A {\$displaystyle$ A$}$과(와) 유사하게 다음과 같이 얻는다$$.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\nd{pmatrix},}$

$여기$서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$의 일반화된 모달 행렬이며$,$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$및 A = M ${\displaystyle AM=$의 표준 기반이다$.$^[43]

요르단 체인

정의: Let ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ be a generalized eigenvector of rank m corresponding to the matrix ${\displaystyle A}$ and the eigenvalue ${\displaystyle \lambda }$. The chain generated by ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ is a set of vectors ${\displaystyle \{{\mathbf{x}}_m,{\mathbf{x}}_{m-1},\dots ,{\mathbf{x}}_1}$${\displaystyle {}_{}\}}$ ${\$이(가) 제공됨

${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m-2}$ $\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.}$

(1)

따라서 일반적으로는

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x}=(A-\lambda I)\m-x} _{j+1}\qquad(j=1,2,\dots,m-1)}$

(2)

벡터 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$_{j}}$는 고유값 ${$ {\$displaystyle \lambda }}$에 해당하는 순위 j의 일반화된 고유 벡터다$.$ 체인은 벡터의 선형 독립된 집합이다.^[44]

표준적 기준

정의: 전체적으로 요르단 체인으로 구성된 경우 n개의 선형 독립형 일반화된 고유 벡터 세트가 표준적인 기반이다.

Thus, once we have determined that a generalized eigenvector of rank m is in a canonical basis, it follows that the m − 1 vectors ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$ that are in the Jordan chain generated by ${\displaystyle \mathbf {x} _{$$m}}$ 또한 표준적인 기초에 있다$$.^[45]

Let ${\displaystyle \lambda _{i}}$ be an eigenvalue of ${\displaystyle A}$ of algebraic multiplicity ${\displaystyle \mu _{i}}$. First, find the ranks (matrix ranks) of the matrices ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _$${i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i$ The integer ${\displaystyle m_{i}}$ is determined to be the first integer for which ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ has rank ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ (n being the number of rows or columns of ${\displaystyle A}$, that is, ${\displaystyle A}$ is n × n).

이제 정의

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank}(A-\lambda _{I}I)^{k-1-\operatorname {rank}(A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

변수 ${\displaystyle {\rho k}_{}}$ ${\$는 고유값 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\$에 해당하는 랭크 k의 선형 독립 일반화된 고유 벡터 수를 지정하며$$, 이$$ 값은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystysty A}$의 표준 단위로 표시된다는 점에 유의하십시오$.$

${\displaystyle \mathrm{랭크}(A}$ -${\displaystyle {}_{}}$ I${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{랭크}}$ ${\displaystyle (I}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {rank}(A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank}(I)=n$^[46]

일반화된 고유 벡터 계산

앞의 절에서는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ $n$$}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과(와) 연결된$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$에 대한 표준 기반인 $n{\displaystyle }$ ${\$displaystyle n} 선형$$ 독립 고유 벡터를 획득하는 기법을 살펴보았다$.$ 이러한 기법은 하나의 절차로 결합될 수 있다.

고유값 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\$에 대한 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 특성 방정식과 그 대수적 $승수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu i}_{}}$i {\$displaystyle \mu _{$i$\}]$를 해결한다.

각 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$에 대해${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$n{\displaystyle }$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 결정

${\displaystyle m_{}}$ i ${\$ 결정$;$

$({\displaystyle k}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i$에 대한$$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 결정

$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 각 Jordan 체인을 결정하십시오.

예 3

행렬

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&2&2\\0&5&2\\0&3\0&0&4\end{pmatrix}}}}$

has an eigenvalue ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$ of algebraic multiplicity ${\displaystyle \mu _{1}=3}$ and an eigenvalue ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ of algebraic multiplicity ${\displaystyle \mu _{2}=1}$. We also have ${\displaystyle n=4}$. For ${\displaystyle {\lambda }_1}$${\displaystyle \lambda _{1$} $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mu 1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$- ${\displaystyle 3}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1$}.

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&3\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad \operatorname {rank}(A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&#8\\\0&0&0&4\\\0&0&3\0&0&0&1\end{pmatrix},\qqad \operatorname {rank}(A-5I)^{2}2=2}2}.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\\0&0&0&4\\0&0&3\\0&0&0&1\end{pmatrix},\qad \operatorname {rank}{3=1}.}$

$($A - 5 ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle }$m ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$$$($A-5I)^{m_{1}}$에 $n{\displaystyle }$ - $\mu {\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$=$$ $displaystyle n-\mu _{1}=1}$의 첫 번째 $정수$ m 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystystyle m_{1}=3$

이제 우리는 정의한다.

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank}(A-5I)^{2}-\operatorname {rank}(A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank}(A-5I)^{1}-\operatorname {rank}(A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho_{1}=\operatorname {rank}(A-5I)^{0}-\operatorname {rank}(A-5I)^{1}=4-3=1}$

결과적으로, 3개의 선형 독립 일반화된 고유 벡터가 있을 것이다; 각 등급은 3, 2, 1이다. $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는 선형적으로 독립된 세 개의 일반화된 고유 ${\displaystyle {}_{}}$의 단일 체인에$$ 해당하므로, 우리는$$ $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\$$mathbf {x}{$3$}$에 해당하는 일반화된 3등급의 고유$$ 벡터 x $3{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$$displaystyty$ \$lambda_{$1}이 있다는 것을 알고 있다.

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0}}$

(3)

그렇지만

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .}$

(4)

방정식 (3)과 (4)은 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 해결할 수 있는 선형 시스템을 나타낸다$.$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\pmatrix}x_{31}\x_{32}\\x_{33}\x_{34}\end{pmatrix}}}.}$

그러면

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

그리고

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Thus, in order to satisfy the conditions (3) and (4), we must have ${\displaystyle x_{34}=0}$ and ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. No restrictions are placed on ${\displaystyle x_{31}}$ and ${\displaystyle x_{32}}$. By choosing ${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$ 얻음

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\pmatrix}0\\\0\\nd{pmatrix}}}$

$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$에 해당하는 순위 3의 일반화된 고유 벡터로서$$x ${\displaystyle {31}_{}}$ ${\$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {32}_{}}$ ${\$ 및 x$$ ${\displaystyle {33}_{}}$ ${$의 다른 값을 선택하여 무한히 많은 일반화된 기타 일반화된 고유 벡터를 얻을 수 있다는 점에 유의하십시오.$_{33}}},$x ${\displaystyle {33}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{33}\neq$ 0$\}.$ 그러나 우리의 첫 번째 선택은 가장 간단하다.^[47]

이제 방정식 (1)을 사용하여 각각 순위 2와 1의 일반화된 고유$$ $벡터$로 x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$x}$ $_$${$1} 및 $x$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}를 구한다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\\0\nd{pmatrix},}$

그리고

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\\0\nd{pmatrix}}.}$

단순 고유값 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$은(는) 표준 기법을 사용하여 처리할 수 있으며$$ 일반적인 고유 벡터를 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\pmatrix}-14\\4\\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 표준 기반은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ are generalized eigenvectors associated with ${\displaystyle \lambda _{1}}$, while ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ is the ordinary eigenvector associated with ${\display$$스타일 \lambda _{2$

이것은 꽤 간단한 예다. 일반적으로 순위 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 선형 독립 일반화된 고유 벡터의 숫자$$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 항상 같지 않을$$ 것이다. 즉, 특정 고유값에 해당하는 길이가 다른 여러 체인이 있을 수 있다.^[48]

일반화 모달 행렬

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) n × n 행렬로 한다$$. ${\displaystyle$ A$}$에 $대한$ 일반화된 $모달{\displaystyle }$ 행렬 M ${\displaystyle M}$은 n × n 행렬로, 벡터로 간주되는 열이 다음 규칙에 따라$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 표준적 기초를 형성하고$$ M ${\displaystystyle$ M$}$에 나타난다.

• 하나의 벡터(즉, 길이가 하나의 벡터)로 구성된 모든 조던 체인은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 첫 번째 열에 나타난다$.$
• $하나$의 체인의 모든 벡터는 M ${\displaystyle M}$의 인접 열에 함께 나타난다$.$
• 각 체인은 순위 상승 순서로$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 나타난다(즉, 1등급의 일반화된 고유 벡터는 같은 체인의 2등급 일반화된 고유벡터 앞에 나타나며, 3등급의 일반화된 고유벡터 앞에 나타난다).^[49]

요르단 정상 형태

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) n차원 벡터 공간으로 하고$$, $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$을(를) L(V)의 선형 지도로 하고$$, V ${\displaystyle$ $V$$}$에서 자체로 모든 선형 지도의 집합으로 하고, $A{\displaystyle }$$$${\$$displaystystytype \phi$$$$}$을 일부 순서에 따라$$ 표현하도록$$ 한다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 인자의$$ 특성$$ $다항식{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle f(\lambda )}$이(가) 선형 인자로 되어 있으면 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle \lambda )}$ ${\displaystyle$ f$(\lambda )}$이(가$$) 형식이 되어 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle f(\data )=\pm(\pmda -\boda _{1}^{1}{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1}(\da -\bodda _{2})^{{r},}$

where ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ are the distinct eigenvalues of ${\displaystyle A}$, then each ${\displaystyle \mu _{i}}$ is the algebraic multiplicity of its corresponding eigenvalue ${\displaystyle \lambda _{i}}$ and ${\displays$$tyle A$$}$은 요르단 정상 형태의 $매트릭스{\displaystyle }$ J ${\$$displaystyle \lambda_{i}$와 유사하며, 여기서 각 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\$$displaystyle \mu_{i}}}$은 대각선 상에 연속적으로$$ ${\displaystyle {나타나며}_{}}$, 각 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i {\$displaystystyle \lamba_{$$i$}}}}은 0 또는 superganalong)이다. 1: 각 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 첫 번째 발생 위 항목은 항상 0이며$$, 초대각선의 다른 모든 입력은 1이다. 다른 모든 항목(즉, 대각선 및 초대각선 제외)은 0이다. 매트릭스 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$의 대각화에 도달할 수 있는 만큼 근접하다$.$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대각선이 가능한 경우 대각선 위의 모든 항목은 0이다.^[50] 일부 교과서에는 초대각선 대신 주 대각선 바로 아래, 즉 하위 대각선에 있는 교과서가 있다. 고유값은 여전히 주 대각선에 있다.^[51][52]

매 n × n $매트릭스{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$은(는) J${\displaystyle }$= M - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\{\backslash }^{}}$ J}과(와) 유사 변환 J = $M{\displaystyle }$ - 1 M ${\displaystyle J=M^{-1}$을 통해 얻은 요르단 정규 형태의$$ $매트릭스{\displaystyle }$ J ${\displaystyle$ J$}$과 유사하다.$AM$ 여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$^[53]의 일반화된 모달 행렬이다(위의 참고 참조).

예 4

요르단 정규 형식에서 다음과 유사한 행렬 찾기

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}.}$

해결책: $A{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $A}$의 특성 방정식은 (${\displaystyle -}$ -${\displaystyle {}^{}2}$ )${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$(\$lambda -2)^{3}=0$이므로, ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle \lambda$=2$}$은 대수 곱셈3의 고유값이다$$. 앞 절의 절차에 따라 다음과 같은 사실을 알게 된다.

${\displaystyle \operatorname {rank}(A-2I)=1}$

그리고

${\displaystyle \operatorname {rank}(A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

따라서 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \rho _{2}=1$} 및$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1 = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \rho _{1}=2$는 A ${\displaystystyle A}$에 대한 표준 기반은 2등급의 선형 독립 일반화된 고유 벡터 1개와 1등급 또는 동등하게 2개 체인을 포함한다는$$ 것을 의미한다.Tors}}와 벡터{y 1}의 한 체인{\displaystyle \left\{\mathbf{y}_{1}\right\}}. 미국 M)(y1x1x2){\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf{y}_{1}&, \mathbf{)}_{1}_{2},\mathbf{)}_{1}\right\{\displaystyle \left\{\mathbf{)}{x2x1}.&\ma$thbf {x} _{2}\end{pmatrix$ 다음 사항을 확인하십시오.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&0\1&0\1&3&0\\0&4&1\end{pmatrix},}$

그리고

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\\0&1\0&0&2\end{pmatrix},}$

A{A\displaystyle}의{A\displaystyle}은 어디서 M{M\displaystyle}은 일반화된 조동사 매트릭스, M{M\displaystyle}의 기둥 있는 정준기이고, A가 M)MJ.[54] 있다는 점이 일반화되어 값부터 자신들, 독특한 것은 아니다{AM=MJ\displaystyle} 몇몇은 둘 다의 지면 났어요.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$과(와) $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$을(를) 상호 교환할 수 있으며$$, $따라서{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$M}과(와) J$${\$displaysty J$}이$$(가) 모두 고유하지 않다.^[55]

예 5

예제 3에서는 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대해 선형 독립 일반화된 고유 벡터의 표준적 기초를 발견했다$.$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 일반화된 모달 행렬은$$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

$A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$과(와$)$ 유사한 요르단 정규 형식의 매트릭스는$$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0&0&0\\\0&1&0&0&0&0\end{pmatrix},}$

${\displaystyle \mathrm{그래서}}$ M${\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ J ${\displaystyle AM=$MJ$\}.$

적용들

행렬 함수

정사각형 행렬에서 수행할 수 있는 가장 기본적인 연산 중 세 가지는 매트릭스 덧셈, 스칼라에 의한 곱셈, 매트릭스 곱셈이다.^[56] 이것들은 정확히 n × n 매트릭스 $A의$다항식 함수를 정의하는 데 필요한 연산이다$.$^[57] 우리가 기초 미적분학으로부터 많은 함수가 Maclaurin 시리즈로 쓰여질 수 있다는 것을 상기한다면, 매트릭스의 보다 일반적인 함수를 훨씬 쉽게 정의할 수 있다.^[58] $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대각선이 가능한 경우, 즉

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

와 함께

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&#0&\cdots &0\\\lambda _{2}&\cdots &\vdots \\\0&\cdots &lambda _{nmatrix},},}}}$

그때

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

$그리고{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 기능에 대한 Maclaurin 시리즈의 평가가 크게 단순화된다$$.^[59] $예$를 들어$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 전원 k를 얻기 위해서는 D ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ D$^{k$ $M{\displaystyle {}^{}}$$${\$displaystyle M}$에 의한 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ D$^{k},$ 그리고 M$$- ${\$에 의한 결과만 계산하면 된다$.$^[60]

일반화된 고유 벡터를 사용하여 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 Jordan 정규 형태를 얻을 수 있으며$$, 이러한 결과는 비대각형 매트릭스의 계산 기능을 위한 간단한 방법으로 일반화할 수 있다.^[61] (매트릭스 함수#Jordan 분해 참조)

미분 방정식

선형 일반 미분방정식의 시스템 해결 문제를 고려한다.

${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x},}$

(5)

어디에

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{$$pmatrix},}$ 및$$ A${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ A$=(a_{ij}).$$}$

행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{대각}}$ 행렬이므로 i${\displaystyle i}$ j ${\displaystyle i\neq j$에 대해 ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= 0 ${\displaystyle a_{ij}=0}$이(가) 되면 시스템(5) 형식을 취하는 n 방정식 시스템으로 축소된다.

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}:{1}$ ${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$ $\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle x_{n}'=a_{n}x_{n}.}$

(6)

이 경우 일반적인 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}}$

$\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{n}t}.}$

일반적인 경우 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 대각선화하여 다음과 같은 시스템(5)을 (6)과 같은 시스템으로 축소하려고 한다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대각선으로 가능한 경우 $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D=M^{-1}$가 있음$AM}$, where ${\displaystyle M}$ is a modal matrix for ${\displaystyle A}$. Substituting ${\displaystyle A=MDM^{-1}}$, equation (5) takes the form ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$, or

${\displaystyle \mathbf {y} '=D\mathbf {y},}$

(7)

where

${\displaystyle \mathbf {x} =M\mathbf {y} .}$

(8)

The solution of (7) is

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

The solution ${\displaystyle \mathbf {x} }$ of (5) is then obtained using the relation (8).^[62]

On the other hand, if ${\displaystyle A}$ is not diagonalizable, we choose ${\displaystyle M}$ to be a generalized modal matrix for ${\displaystyle A}$, such that ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ is the Jordan normal form of ${\displaystyle A}$. The system ${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$ has the form

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}}$

(9)

where the ${\displaystyle \lambda _{i}}$ are the eigenvalues from the main diagonal of ${\displaystyle J}$ and the ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ are the ones and zeros from the superdiagonal of ${\displaystyle J}$. The system (9) is often more easily solved than (5). We may solve the last equation in (9) for ${\displaystyle y_{n}}$, obtaining ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$. We then substitute this solution for ${\displaystyle y_{n}}$ into the next to last equation in (9) and solve for ${\displaystyle y_{n-1}}$. Continuing this procedure, we work through (9) from the last equation to the first, solving the entire system for ${\displaystyle \mathbf {y} }$. The solution ${\displaystyle \mathbf {x} }$ is then obtained using the relation (8).^[63]

Lemma: Given the following chain of generalized eigenvector of length r as:

${\displaystyle X_{1}=v_{1}e^{\lambda t}}$

${\displaystyle X_{2}=(tv_{1}+v_{2})e^{\lambda t}}$

${\displaystyle X_{3}=({\frac {t^{2}}{2}}v_{1}+tv_{2}+v_{3})e^{\lambda t}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle X_{r}=({\frac {t^{r-1}}{(r-1)!}}v_{1}+...+{\frac {t^{2}}{2}}v_{r-2}+v_{r})e^{\lambda t}}$

These functions solve the system of equations:

${\displaystyle X^{'}=AX}$

Proof: let define the following sum:

${\displaystyle X_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}}$

Then:

${\displaystyle X_{j}^{'}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$

on the other hand we have:

${\displaystyle AX_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}Av_{i}}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}(v_{i-1}+\lambda v_{i})}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$

${\displaystyle =X_{j}^{'}(t)}$

as required!

Notes

참조

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• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8.
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66021267
• Franklin, Joel N. (1968), Matrix Theory, Englewood Cliffs: Prentice-Hall, LCCN 68016345
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• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
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