Weyr 표준형식

수학에서, 선형대수학에서, Weyr 표준형(또는 Weyr 형식 또는 Weyr 행렬)은 특정 조건을 만족하는 정사각형 행렬이다.정사각형 매트릭스는 매트릭스가 Weyr 정식 형태를 정의하는 조건을 만족하는 경우 Weyr 정식 형식이라고 한다.Weyr 형식은 1885년 체코 수학자 Eduard Weyr에 의해 발견되었다.^[1][2][3]Weyr 형식은 수학자들 사이에서 인기를 끌지 못했고 조던이라는 이름으로 알려진 밀접하지만 뚜렷하고 표준적인 형식에 가려졌다.^[3]위어 형태는 1885년 위어가 처음 발견한 이래 여러 차례 재발견되었다.^[4]이 형태는 변형된 요르단 형태, 다시 정렬된 요르단 형태, 두 번째 요르단 형태, 그리고 H형식으로 다양하게 불려왔다.^[4]현재의 용어는 샤피로가 1999년 미국 수학 월간지에 발표한 논문에서 소개한 것으로 인정받고 있다.^[4][5]

최근 Weyr 매트릭스에 대한 몇 가지 응용 프로그램이 발견되었다.특히 관심이 있는 것은 생체역학에서 계통생성 불변제 연구에 Weyr 매트릭스를 적용한 것이다.

정의들

베이직 웨이어 매트릭스

정의

$고유값$이 ${\displaystyle \lambda$ }인$$기본 Weyr 행렬은 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$ 형식의$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle$ n$\times n}$ 행렬$$ $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이다.칸막이가 있다.

${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n}$ of ${\displaystyle n}$ with ${\displaystyle n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{r}\geq 1}$

such that, when ${\displaystyle W}$ is viewed as an ${\displaystyle r\times r}$ block matrix ${\displaystyle (W_{ij})}$, where the ${\displaystyle (i,j)}$ block ${\displaystyle W_{ij}}$ is an ${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$ matrix, the following three 피쳐가 있음:

1. ${\displaystyle {주요}_{}}$ 대각선 블록 W ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) n ${\displaystyle i_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle n_{i}\times n_{i}$ 스칼라$$ 행렬 ${\displaystyle \mathrm{i}}$ I ${\\displaystyle i$=1,\$ldots$$$$r}$ 입니다$.$
2. The first superdiagonal blocks ${\displaystyle W_{i,i+1}}$ are full column rank ${\displaystyle n_{i}\times n_{i+1}}$ matrices in reduced row-echelon form (that is, an identity matrix followed by zero rows) for ${\displaystyle i=1,\ldots ,r-1}$.
3. ${\displaystyle \mathrm{다른}}$ 모든 W 블록은 0이다($$$j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ i${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$+ 1 ${\displaystyle j\neq i,i+1}$의 경우$$ W ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle W_{ij}=0}).$

이 경우 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$에 Weyr 구조$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle {}_{}}$ , … ,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}{}_{}}$)${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots,$n_${r$}}}이$($가$)$ 있다고 한다$$.

예

다음은 기본적인 Weyr 매트릭스의 예다.

${\displaystyle W=}$ ${\displaystyle ={\display{bmatrix}W_{11}&W_{12}&\&\&W_{22}&W_{23}\&#&#&#&#&#822}&#822}&#822}&#822}&#822}&#822}W_{33}&W_{34}\&&W_{44}\\\end{bmatrix}}}}$

In this matrix, ${\displaystyle n=9}$ and ${\displaystyle n_{1}=4,n_{2}=2,n_{3}=2,n_{4}=1}$. So ${\displaystyle W}$ has the Weyr structure ${\displaystyle (4,2,2,1)}$. Also,

${\displaystyle W_{11}={\begin{bmatrix}\lambda&0&, 0&, 0\\0&, \lambda&0&, 0\\0&, 0&, \lambda&0\\0&, 0&, 0&, \lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{4},\quad W_{22}={\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&, \lambda&\\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{33}={\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&, \lambda&\\\end{bmatr.ix}}=\lambda I_{2},\quad W_{44}={\begin{bmatrix}\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{1}.$

그리고

${\displaystyle W_{12}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix}},\quad W_{23}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}},\quad W_{34}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}.}$

일반 웨이어 매트릭스

정의

Let ${\displaystyle W}$ be a square matrix and let ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ be the distinct eigenvalues of ${\displaystyle W}$. We say that ${\displaystyle W}$ is in Weyr form (or is a Weyr matrix) if ${\displaystyle W}$ has the following form:

${\displaystyle W={\begin{bmatrix}W_{1}&\&\\&W_{2}&\&\&\dddots &\&&&&&&&&&&••••W_{k}\\\end{bmatrix}}$

여기서 ${\displaystyle W_{}}$ i ${\$$displaystyle$ $W_$${\displaystyle \{}$$i$$}$는 고유값$$${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\$ $\lambda _{$$i$${\displaystyle \}}$의${\displaystyle \mathrm{기본}}$ $Weyr$ 행렬이다.

예

다음 이미지는 세 개의 기본 Weyr 매트릭스 블록으로 구성된 일반적인 Weyr 매트릭스의 예를 보여준다.왼쪽 상단 모서리에 있는 기본 Weyr 행렬은 고유값 4가 있는 구조(4,2,1)를 가지고 있고, 중간 블록은 고유값 -3이 있는 구조(2,2,1,1)를 가지고 있으며, 오른쪽 하단 모서리에 있는 것은 고유값이 0인 구조(3, 2)를 가지고 있다.

Weyr과 Jordan 양식의 관계

$W{\displaystyle }$= P${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle W=P^{-1}$JP$}$은(는) 각 Weyr 기본 블록에 대해$$ 간단한 순열 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 의해 Jordan 양식 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$과(와) 관련된다.각 Weyr 하위 블록의 첫 번째 지수는 가장 큰 요르단 체인을 형성한다.이러한 행과 열을 교차시킨 후, 각각의 새로운 서브블록의 첫 번째 인덱스는 두 번째로 큰 요르단 체인을 형성한다.^[6]

Weyr 형식은 표준형이다.

Weyr 형식이 행렬의 표준 형식이라는 것은 다음과 같은 결과의 결과물이다.^[3]대수적으로 닫힌 필드의 각 $제곱$ 행렬 A ${\displaystyle A}$은 기본$$ 블록의 순열까지 고유한 Weyr 행렬 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$과 유사하다. 매트릭스 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 Weyr(캐논어) 형태라고 한다$$$.$

Weyr 표준형식의 연산

영점 케이스에 대한 감소

{\$displaystyle A}$을(를$)$ 대수적으로 닫힌 필드 위에$$ $있는{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$ 순서의 제곱 행렬이 되게$$ 하고$$A {\$displaystyle$A}의 $고유값$을 ${\displaystyle {\lambda 1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\lambda 2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$이 되도록 한다.요르단-체발리 분해 정리에서는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 형태의 블록 대각 행렬과 유사하다고 기술하고 있다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\lambda _{1}I+N_{1}&&&\\&\lambda _{2}I+N_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&\lambda _{k}I+N_{k}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}I&&&\\&\lambda _{2}I&\\&\&\ddots &\&&&\lambda _{k}I\\\end{bmatrix}+{\begin{bmatrix}N_{1}&\\\&#\&N_{2}&\&\&#\&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#{bmatrix}\end{bmatrix}=D+N}$

where ${\displaystyle D}$ is a diagonal matrix, ${\displaystyle N}$ is a nilpotent matrix, and ${\displaystyle [D,N]=0}$, justifying the reduction of ${\displaystyle N}$ into subblocks ${\displaystyle N_{i}}$. So the problem of reducing ${\displaystyle A}$ to the Weyr form reduces toNilpotent 행렬 N ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를) Weyr 양식으로 줄이는$$ 문제.이것은 일반화된 아이겐스페이스 분해 정리로 이어진다.

Nilpotent 행렬을 Weyr 양식으로 축소

Given a nilpotent square matrix ${\displaystyle A}$ of order ${\displaystyle n}$ over an algebraically closed field ${\displaystyle F}$, the following algorithm produces an invertible matrix ${\displaystyle C}$ and a Weyr matrix ${\displaystyle W}$ such that ${\displaystyle W=C^{-1}AC}$$$.

1단계

${\displaystyle {Let\mathrm{}}_{}}$ $A{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{1}=A}$

2단계

1. A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 null 공간에 대한 기준을 계산하십시오$.$
2. A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 null 공간에 대한 기준을 n ${\displaystyle n}$ -차원$$ 벡터 공간 F ${\displaystyle n^{}}$ ${\$에 대한 기준으로$$ 확장하십시오$.$
3. 이러한 기본 벡터로 구성된$$ 행렬 P ${\$}을 형성한다.
4. 계산 - 1 P = [ 2 $]$ {\$displaystyle P_{1}^{-1A_{1}P_{1}={\begin{bmatrix}0&B_{2}\$$0$&#&#>$A_{2}\end{bmatrix$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $A_$${2$}}: null$($${\displaystyle {}_{}}$ $)$ {\$displaystyle$$A_{1})$ 크기의$$ 사각 행렬이다.

3단계

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가$$ 0이 아닌 경우 A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}에서 2단계를 반복하십시오$.$

1. A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 null 공간에 대한 기준을 계산하십시오$.$
2. 치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ $$- null(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle(A_{1})$이 있는 벡터 공간의 기준으로$$ A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 null 공간에 대한 기준을 확장하십시오$.$
3. 이러한 기본 벡터로 구성된$$ 행렬 P ${\$2}}개를 $형성$한다.
4. 계산 - 1 2=[ B ${\$gt;$A_{3}\end{bmatrix$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A_{$2}}: $null($$A$ 1${\displaystyle {}_{}}$) $$${\displaystyle(A_{1})$ $$- null${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(A_{2})$의 제곱 행렬이다$.$

4단계

Continue the processes of Steps 1 and 2 to obtain increasingly smaller square matrices ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ and associated invertible matrices ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},\ldots }$ until the first zero matrix ${\displaystyle A_{r}}$$$ 얻어지다

5단계

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 Weyr 구조는${\displaystyle }$(${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$2 ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}{r}_{}}$ )$${\$displaystyle (n_{1}, n_${2$},\ldots,n_{r}}}$이며 $여기$서 n ${\displaystyle i_{}}${\$displaysty$ $n_{i}$ = null$(A_{i})$이다$.$

6단계

1. 매트릭스 = 1[ P [ I [ 0 ${\$ 계산$I&0\\0&P_{2}\end{bmatrix}{\bgin{bmatrix}$$I&0\\0&P_{3}\end{bmatrix}\cdots {\begin{bmatrix}$$I&0\\0&P_{r}\end{bmatrix}}($$여기$서 I ${\displaystyle I$s는 적절한 크기의 ID 매트릭스임).
2. 계산 $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle A}$ P ${\displaystyle X=P^{-1}AP$ $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$}$는 다음 형식의 행렬이다.

X)[0X12X13⋯ X1, r− 1X1r0X23X2⋯, r− 1X2r⋱ ⋯ 0Xr− 1, r0]{\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&, X_{12}&, X_{13}&, \cdots &, X_{1,r-1}&, X_{1r}\\&, 0&, X_{23}&, \cdots &, X_{2,r-1}&, X_{2r}\\&,&&\d.점&\\&,&&\cdots &, 0&, X_{r-1,r}\\&,&&&&0\end{bmatr$ix}}$.

7단계

Use elementary row operations to find an invertible matrix ${\displaystyle Y_{r-1}}$ of appropriate size such that the product ${\displaystyle Y_{r-1}X_{r,r-1}}$ is a matrix of the form ${\displaystyle I_{r,r-1}={\begin{bmatrix}$$I\\O\end{bmatrix$

8단계

Set ${\displaystyle Q_{1}=}$ diag ${\displaystyle (I,I,\ldots ,Y_{r-1}^{-1},I)}$ and compute ${\displaystyle Q_{1}^{-1}XQ_{1}}$. In this matrix, the ${\displaystyle (r,r-1)}$-block is ${\displaystyle I_{r,r-1}}$.

9단계

Find a matrix ${\displaystyle R_{1}}$ formed as a product of elementary matrices such that ${\displaystyle R_{1}^{-1}Q_{1}^{-1}XQ_{1}R_{1}}$ is a matrix in which all the blocks above the block ${\displaystyle I_{r,r-1}}$ contain only ${\displaystyle 0}$의

10단계

Repeat Steps 8 and 9 on column ${\displaystyle r-1}$ converting ${\displaystyle (r-1,r-2)}$-block to ${\displaystyle I_{r-1,r-2}}$ via conjugation by some invertible matrix ${\displaystyle Q_{2}}$. Use this block to clear out the blocks above, via conjugation by a product${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의$$ 기본 행렬.

11단계

Repeat these processes on ${\displaystyle r-2,r-3,\ldots ,3,2}$ columns, using conjugations by ${\displaystyle Q_{3},R_{3},\ldots ,Q_{r-2},R_{r-2},Q_{r-1}}$.결과 매트릭스 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$은(는) Weyr 형식으로 되어$$ 있다.

12단계

Let ${\displaystyle C=P_{1}{\text{diag}}(I,P_{2})\cdots {\text{diag}}(I,P_{r-1})$$Q_{1}R_{1}$Q_{1}$Q_{2}\cdots R_{r-2}Q_{r-1$$그런{\displaystyle }$ 다음${\displaystyle }$W =${\displaystyle {}^{}C}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle W=C^{-1}AC}$.

Weyr 양식의 적용

Weyr 양식의 잘 알려진 응용 프로그램은 다음과 같다.^[3]

1. Weyr 형식은 두 $개$의 통근 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\$$displaystyle n\time n}$ 행렬에$$ 의해 생성된 하위 지브라에 최대 n {\$displaystyle$ n$}$의 치수가 $있다고{\displaystyle }$ 주장하는 게르스텐하버의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다$.$
2. 유한 행렬의 집합은 대각선이 가능한 행렬을 동시에 교차시킬 수 있다면 거의 동시에 대각선이 가능하다고 한다.Weyr 양식은 다양한 종류의 행렬의 대략적인 동시 대각선성을 입증하기 위해 사용된다.대략적인 동시 대각선성 속성은 생체역학에서 계통생성 불변성 물질 연구에 응용된다.
3. Weyr 양식은 통근 복합 매트릭스의 모든 k-tule의 다양성에 대한 재확인이 불가능하다는 증거를 단순화하는 데 사용될 수 있다.

참조