이미지는 각각 기본 Weyr 행렬인 두 블록으로 구성된 일반적인 Weyr 행렬의 예를 보여준다.왼쪽 상단 모서리에 있는 기본 Weyr 행렬은 구조(4,2,1)를, 다른 하나는 구조(2,2,1,1)를 가지고 있다.
수학에서, 선형대수학에서, Weyr 표준형(또는 Weyr 형식 또는Weyr 행렬)은 특정 조건을 만족하는 정사각형 행렬이다.정사각형 매트릭스는 매트릭스가 Weyr 정식 형태를 정의하는 조건을 만족하는 경우 Weyr 정식 형식이라고 한다.Weyr 형식은 1885년 체코수학자Eduard Weyr에 의해 발견되었다.[1][2][3]Weyr 형식은 수학자들 사이에서 인기를 끌지 못했고 조던이라는 이름으로 알려진 밀접하지만 뚜렷하고 표준적인 형식에 가려졌다.[3]위어 형태는 1885년 위어가 처음 발견한 이래 여러 차례 재발견되었다.[4]이 형태는 변형된 요르단 형태, 다시 정렬된 요르단 형태, 두 번째 요르단 형태, 그리고 H형식으로 다양하게 불려왔다.[4]현재의 용어는 샤피로가 1999년 미국 수학 월간지에 발표한 논문에서 소개한 것으로 인정받고 있다.[4][5]
최근 Weyr 매트릭스에 대한 몇 가지 응용 프로그램이 발견되었다.특히 관심이 있는 것은 생체역학에서 계통생성 불변제 연구에 Weyr 매트릭스를 적용한 것이다.
In this matrix, and . So has the Weyr structure . Also,
그리고
일반 웨이어 매트릭스
정의
Let be a square matrix and let be the distinct eigenvalues of . We say that is in Weyr form (or is a Weyr matrix) if has the following form:
여기서 i 는 고유값 i 의 행렬이다.
예
다음 이미지는 세 개의 기본 Weyr 매트릭스 블록으로 구성된 일반적인 Weyr 매트릭스의 예를 보여준다.왼쪽 상단 모서리에 있는 기본 Weyr 행렬은 고유값 4가 있는 구조(4,2,1)를 가지고 있고, 중간 블록은 고유값 -3이 있는 구조(2,2,1,1)를 가지고 있으며, 오른쪽 하단 모서리에 있는 것은 고유값이 0인 구조(3, 2)를 가지고 있다.
Weyr과 Jordan 양식의 관계
= P- JP은(는) 각 Weyr 기본 블록에 대해 간단한 순열 에 의해 Jordan 양식 과(와) 관련된다.각 Weyr 하위 블록의 첫 번째 지수는 가장 큰 요르단 체인을 형성한다.이러한 행과 열을 교차시킨 후, 각각의 새로운 서브블록의 첫 번째 인덱스는 두 번째로 큰 요르단 체인을 형성한다.[6]
Weyr 형식은 표준형이다.
Weyr 형식이 행렬의 표준 형식이라는 것은 다음과 같은 결과의 결과물이다.[3]대수적으로 닫힌 필드의 각 행렬 A 은 기본 블록의 순열까지 고유한 Weyr 행렬 과 유사하다. 매트릭스 는 의 Weyr(캐논어) 형태라고 한다
Weyr 표준형식의 연산
영점 케이스에 대한 감소
{\을(를대수적으로 닫힌 필드 위에 n{\ 순서의 제곱 행렬이 되게 하고A {\A}의 을 ,,이 되도록 한다.요르단-체발리 분해 정리에서는 이(가) 형태의 블록 대각 행렬과 유사하다고 기술하고 있다.
where is a diagonal matrix, is a nilpotent matrix, and , justifying the reduction of into subblocks . So the problem of reducing to the Weyr form reduces toNilpotent 행렬 N 을(를) Weyr 양식으로 줄이는 문제.이것은 일반화된 아이겐스페이스 분해 정리로 이어진다.
Nilpotent 행렬을 Weyr 양식으로 축소
Given a nilpotent square matrix of order over an algebraically closed field , the following algorithm produces an invertible matrix and a Weyr matrix such that .
A }의 null 공간에 대한 기준을 n -차원 벡터 공간 F 에 대한 기준으로 확장하십시오
이러한 기본 벡터로 구성된 행렬 P }을 형성한다.
계산 - 1 P = [ 2 {\&#&#>}}: null {\ 크기의 사각 행렬이다.
3단계
}가 0이 아닌 경우 A 2}}에서 2단계를 반복하십시오
A }의 null 공간에 대한 기준을 계산하십시오
치수 - null(이 있는 벡터 공간의 기준으로 A }}의 null 공간에 대한 기준을 확장하십시오
이러한 기본 벡터로 구성된 행렬 P 2}}개를 한다.
계산 - 1 2=[ B gt;2}}: 1) - null) 의 제곱 행렬이다
4단계
Continue the processes of Steps 1 and 2 to obtain increasingly smaller square matrices and associated invertible matrices until the first zero matrix 얻어지다
Use elementary row operations to find an invertible matrix of appropriate size such that the product is a matrix of the form
8단계
Set diag and compute . In this matrix, the -block is .
9단계
Find a matrix formed as a product of elementary matrices such that is a matrix in which all the blocks above the block contain only 의
10단계
Repeat Steps 8 and 9 on column converting -block to via conjugation by some invertible matrix . Use this block to clear out the blocks above, via conjugation by a product}}개의 기본 행렬.
11단계
Repeat these processes on columns, using conjugations by .결과 매트릭스 은(는) Weyr 형식으로 되어 있다.
Weyr 형식은 두 의 통근 n 행렬에 의해 생성된 하위 지브라에 최대 n {\ n의 치수가 주장하는 게르스텐하버의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다
유한 행렬의 집합은 대각선이 가능한 행렬을 동시에 교차시킬 수 있다면 거의 동시에 대각선이 가능하다고 한다.Weyr 양식은 다양한 종류의 행렬의 대략적인 동시 대각선성을 입증하기 위해 사용된다.대략적인 동시 대각선성 속성은 생체역학에서 계통생성 불변성 물질 연구에 응용된다.
Weyr 양식은 통근 복합 매트릭스의 모든 k-tule의 다양성에 대한 재확인이 불가능하다는 증거를 단순화하는 데 사용될 수 있다.
^ abcdKevin C. Meara; John Clark; Charles I. Vinsonhaler (2011). Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems through the Weyr Form. Oxford University Press.
^ abcKevin C. Meara; John Clark; Charles I. Vinsonhaler (2011). Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems through the Weyr Form. Oxford University Press. pp. 44, 81–82.
^Shapiro, H. (1999). "The Weyr characteristic". The American Mathematical Monthly. 106 (10): 919–929. doi:10.2307/2589746. JSTOR2589746.