정준형

수학과 컴퓨터 과학에서, 수학적 대상의 표준적인 형태, 표준적인 형태는 그 대상을 수학적 표현으로 표현하는 표준적인 방법입니다.개체를 가장 간단하게 표현하고 개체를 고유한 방식으로 식별할 수 있게 해주는 경우가 많습니다.일반적인 형태와 일반적인 형태의 구분은 하위 필드마다 다릅니다.대부분의 필드에서 표준 양식은 모든 개체에 대해 고유한 표현을 지정하는 반면, 일반 양식은 고유성 요구 사항 없이 단순히 해당 양식을 지정합니다.^[1]

십진법 표현에서 양의 정수의 표준 형태는 0으로 시작하지 않는 유한한 자릿수입니다.일반적으로 동등성 관계가 정의된 객체 클래스의 경우 표준 형식은 각 클래스에서 특정 객체를 선택하는 것으로 구성됩니다.예를 들어,

Jordan 정규 형태는 행렬 유사성을 위한 표준 형태입니다.
행 사다리꼴은 행렬과 그 왼쪽 곱을 가역 행렬로 동등하다고 간주할 때 표준 형식입니다.

컴퓨터 과학, 더 구체적으로 컴퓨터 대수학에서, 컴퓨터에서 수학적인 물체를 나타낼 때, 보통 같은 물체를 나타낼 수 있는 많은 다른 방법들이 있습니다.이러한 맥락에서 표준 형식은 모든 개체가 고유한 표현을 갖도록 표현하는 것입니다(표준 형식은 표현이 표준 형식에 들어가는 과정입니다).^[2]따라서 두 개체의 동일성은 표준 형태의 동일성을 테스트함으로써 쉽게 테스트할 수 있습니다.

이러한 장점에도 불구하고 표준 형식은 변수 순서와 같은 임의의 선택에 의존하는 경우가 많으며, 이는 독립적인 계산 결과로 나타나는 두 개체의 동일성을 검정하는 데 어려움을 초래합니다.따라서, 컴퓨터 대수학에서, 정상 형태는 더 약한 개념입니다:정규 형태는 0이 고유하게 표현되는 표현입니다.이것은 두 물체의 차이를 정상적인 형태로 놓음으로써 동등성을 테스트할 수 있습니다.

표준 형식은 자연(정규 형식) 방식으로 정의되는 미분 형식을 의미할 수도 있습니다.

정의.

S에서 동등성 관계가 R인 객체들의 집합 S가 주어지면, S의 일부 객체들을 "정규 형태"로 지정함으로써 표준 형태가 주어지는데, 이는 고려 중인 모든 객체가 표준 형태에서 정확히 하나의 객체와 동일함을 의미합니다.다시 말해, S의 표준 형식은 한 번만 그리고 한 번만 등분 클래스를 나타냅니다.두 개체가 동일한지 여부를 검정하려면 표준 형식에서 동일한지 여부를 검정하면 됩니다.따라서 표준 형식은 모든 클래스를 분류할 뿐만 아니라 클래스의 각 개체에 대해 구별된 (정규적인) 대표를 제공한다는 점에서 분류 정리 등을 제공합니다.

공식적으로, 집합 S의 동등성 관계 R에 대한 표준화는 매핑 c:S→S: 모든 s, s, s ∈ S:

c(s) = c(c(s))(정체성),
s R은 c(s) = c(s)인 경우에만 해당되며,
s Rc(s)(대표성).

속성 3은 중복됩니다. 2 대 1을 적용하면 됩니다.

실질적인 측면에서는 표준 양식을 인식할 수 있는 것이 유리한 경우가 많습니다.또한 고려해야 할 실용적이고 알고리즘적인 질문이 있습니다: S의 주어진 객체에서 표준 형태로 전달하는 방법*.표준 양식은 일반적으로 동등성 클래스를 사용한 운영을 보다 효과적으로 만들기 위해 사용됩니다.예를 들어, 모듈러 산술에서 잔차 클래스의 표준 형식은 일반적으로 잔차 클래스에서 음이 아닌 최소 정수로 사용됩니다.클래스에 대한 연산은 이 대표자들을 결합한 후 결과를 최소 음이 아닌 잔여물로 감소시킴으로써 수행됩니다.고유성 요구 사항은 때때로 완화되어 용어의 순서 변경을 허용하는 것과 같이 몇 가지 더 미세한 동등성 관계까지 형태가 고유할 수 있습니다(항에 자연스러운 순서가 없는 경우).

표준 형식은 단순히 규약이나 심층 정리일 수 있습니다.예를 들어 다항식은 일반적으로 내림차순으로 용어를 사용하여 작성됩니다. 두 형식이 동일한 다항식을 정의하지만 x + 30 + x보다² x + x² + 30으로 작성하는 것이 일반적입니다.반대로 행렬에 대한 요르단 표준 형식의 존재는 깊은 정리입니다.

역사

OED와 LSJ에 따르면, 표준이라는 용어는 고대 그리스어 kanonikós(κ α νονικός, 규칙에 따라 규칙적이다)가 kan ṓ어(κᾰνών를 들어, 막대, 규칙)에서 유래했다고 합니다.규범, 표준, 또는 원형의 개념은 많은 학문에서 사용되어 왔습니다.수학적 사용은 로건이 보낸 1738년 편지에서 증명되었습니다.^[3]독일어 kanonische form은 1846년 아이젠슈타인의 논문에서 증명되었고,^[4] 같은 해 말에 Richelot는 논문에서 Normal form이라는 용어를 사용하였고,^[5] Sylvester는 1851년에 다음과 같이 썼습니다.^[6]

"나는 이제 대수 함수를 가장 단순하고 대칭적인 것으로 줄이는 모드로 진행하거나, 나의 존경스러운 친구 M으로 진행합니다. 헤르마이트는 그들을 그들의 표준 양식이라고 부를 것을 잘 제안합니다."

같은 시기에 헤세("Normal form"),^[7] 헤르미테("Forme canonique"),^[8] 보르하르트("Forme canonique"),^[9] 케일리("Cayley")가 사용을 증명했습니다.^[10]

1865년 과학, 문학, 예술 사전은 표준 형식을 다음과 같이 정의했습니다.

"수학에서 , 는 일반성을 잃지 않고 같은 클래스의 모든 함수를 줄일 수 있는, 보통 가장 단순하거나 가장 대칭인 형태를 의미합니다."

예

참고: 이 절에서 "최대"의 동등성 관계 E는 표준 형식이 일반적으로 유일한 것이 아니라 하나의 물체가 두 개의 다른 표준 형식을 가지면 E 동치임을 의미합니다.

대소문자 표기

표준 형태는 많은 수학자들과 과학자들이 아주 많은 수를 더 간결하고 이해할 수 있는 방식으로 쓰기 위해 사용하는데, 그 중 가장 두드러진 것은 과학적인 표기법입니다.^[11]

수론

양의 정수의 표준 표현
연속 분율의 표준 형태

선형대수

물건들	다음의 경우 A는 B와 같습니다.	정상형태	메모들
복소수 위의 정규 행렬	$A=U^{}BU$ 유니터리 행렬 U에 대 $A=U^{}BU$ A $A=U^{}BU$ $A=U^{}BU$ $A=U^{}BU$ $A=U^{}BU$ ${\displaysty$ A $=U^{*}BU}$	대각선 행렬(순서 변경까지)	이것이 스펙트럼 정리입니다.
복소수 위의 행렬	$A=UBV^{}$ 일부 $A=UBV^{}$ 행렬 $A=UBV^{}$ 와 $A=UBV^{}$ 에 $A=UBV^{}$ 대 $A=UBV^{}$ A $A=UBV^{}$ $BV$ ∗ {\displaystyl* $A=UBV^{}$ A $= UBV$ ^{}}	실제 양의 값을 갖는 대각 행렬(하행 순서)	단수값분해
대수적으로 닫힌 필드 위의 행렬	$A=P^{-1}BP$ 일부 가역 행렬 P에 대 $A=P^{-1}BP$ $A=P^{-1}BP$ $=$ $A=P^{-1}BP$ - $A=P^{-1}BP$ $A=P^{-1}BP$ ${\displaysty$ A $=P^{-1}BP}$	Jordan 정규 형태(블록 순서 변경까지)
대수적으로 닫힌 필드 위의 행렬	$A=P^{-1}BP$ 일부 가역 행렬 P에 대 $A=P^{-1}BP$ $A=P^{-1}BP$ $=$ $A=P^{-1}BP$ - $A=P^{-1}BP$ $A=P^{-1}BP$ ${\displaysty$ A $=P^{-1}BP}$	Weyer 표준 양식(블록 순서 변경까지)
필드 위의 행렬	$A=P^{-1}BP$ 일부 가역 행렬 P에 대 $A=P^{-1}BP$ $A=P^{-1}BP$ $=$ $A=P^{-1}BP$ - $A=P^{-1}BP$ $A=P^{-1}BP$ ${\displaysty$ A $=P^{-1}BP}$	프로베니우스 정상형
주 이상적인 정의역 위의 행렬	$A=P^{-1}BQ$ 일부 가역 행렬 P $A=P^{-1}BQ$ Q에 대 $A=P^{-1}BQ$ $A=P^{-1}BQ$ $=$ P - $A=P^{-1}BQ$ 1 $A=P^{-1}BQ$ $A=P^{-1}BQ$ ${\displaystyl$ A = P $^{-1}BQ}$	스미스 정규형	등가성은 기본 행 및 열 변환을 가역적으로 허용하는 것과 같습니다.
정수 위의 행렬	$=$ $UB}$ 일부 단원 행렬 U에 대한 $A=UB$	헤르마이트 정상형
정수 모듈 위의 행렬		하웰정상형
필드 K 위의 유한 차원 벡터 공간	A와 B는 벡터 공간과 동형입니다.	$K^{n}$ ${\$ n 음이 아닌 정수

대수학

물건들	다음의 경우 A는 B와 같습니다.	정상형태
R 주 이상적인 도메인을 가진 R 모듈을 최종적으로 생성	A와 B는 R-모듈과 동형입니다.	1차 분해(순서 변경까지) 또는 불변 인자 분해

기하학.

해석 지오메트리에서:

선의 방정식: Ax + By = C, A + B = 1, C ≥ 0
원의 방정식: $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ ( $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ - h $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ ) $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ + $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ - $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ ) $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ = r $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ $(x-h)^{2$ + ( $y-k)^{2$ } = r $^{2}}$

대조적으로 방정식을 쓰기 위한 대체 형태가 있습니다.예를 들어, 선의 방정식은 점-경사 및 경사-절편 형태의 선형 방정식으로 작성될 수 있습니다.

볼록 다면체는 다음과 같은 표준 형태로 만들 수 있습니다.

모든 얼굴이 평평하고,
모든 모서리는 단위 구와 접하며,
다면체의 중심은 원점에 있습니다.^[12]

통합형 시스템

모든 미분가능한 다양체는 공접합 다발을 가지고 있습니다.그 묶음은 항상 표준 원 형태라고 불리는 특정한 미분 형태를 부여받을 수 있습니다.이 형태는 코탄젠트 다발에 심플렉틱 다양체의 구조를 부여하고, 다양체의 벡터장이 오일러-라그랑주 방정식 또는 해밀턴 역학을 통해 통합될 수 있도록 합니다.적분 가능한 미분 방정식의 이러한 체계를 적분 가능한 체계라고 합니다.

동역학계

동적 시스템에 대한 연구는 적분 가능한 시스템의 연구와 겹칩니다. 거기에는 정상적인 형태(동적 시스템)에 대한 아이디어가 있습니다.

3차원 기하학

3차원의 다양체 연구에서 하나는 첫 번째 기본형, 두 번째 기본형, 세 번째 기본형을 갖습니다.

함수해석학

물건들	다음의 경우 A는 B와 같습니다.	정상형태
힐베르트 공간	만약 A와 B가 모두 무한 차원의 힐베르트 공간이라면, A와 B는 기하학적으로 동형입니다.	$\ell ^{2}(I)$ $\ell ^{2}(I)$ ( $\ell ^{2}(I)$ $\ell ^{2}(I)$ 개의 시퀀스 공백(인덱스 집합 I를 동일한 카디널리티의 다른 인덱스 집합과 교환할 때까지)
단위가 있는 교환 C*-대수	A와 B는 C*대수와 동형입니다.	기본 공간의 동형까지, 콤팩트 하우스도르프 공간의 연속 함수의 $C(X)$ $C(X)$ C $C(X)$ ( $C(X)$ ${\displaystyle$ C $(X)}.$

고전논리학

부정정규형태
접속사정형
접속법 정상형
대수적 정규형
프레넥스 정상형
스콜렘 정상형
블레이크 정준형(Blake canonical form), 원사의 완전합(complete sum), 완전합(complete sum), 또는 접속사의 원시형(disction prime form

시스템 다시 쓰기

공식을 한 형태에서 다른 형태로 상징적으로 조작하는 것을 그 공식의 "다시 쓰기"라고 합니다.공식을 유효하게 조작할 수 있는 규칙의 모음을 연구함으로써 일반 공식을 다시 쓰는 추상적인 특성을 연구할 수 있습니다.추상적 개서 시스템의 필수적인 부분인 "개서 규칙"입니다.일반적인 질문은 어떤 일반적인 표현을 하나의 일반적인 형태, 즉 일반적인 형태로 가져오는 것이 가능한가 하는 것입니다.다시 쓰기의 서로 다른 시퀀스가 여전히 동일한 형태로 나타날 경우, 해당 형태를 일반 형태라고 부를 수 있으며, 다시 쓰기는 합류체라고 불립니다.항상 정상적인 형태를 얻을 수 있는 것은 아닙니다.

람다 미적분학

베타 감소가 불가능한 경우 람다 항은 베타 정규 형태입니다. 람다 미적분학은 추상적 재작성 시스템의 특별한 경우입니다.예를 들어, 유형화되지 않은 람다 미적분학에서 ( $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ λ $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ . $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ ( $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ ) $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ λ $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ . $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ ( $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ ) ${\displaystyle (\lambda$ x . $(xx))\;\lambda$ x . $(xx )}$ 라는 용어는 정규 형식을 갖지 않습니다.유형화된 람다 미적분학에서는 모든 잘 형성된 항을 정상 형태로 다시 쓸 수 있습니다.

그래프 이론

수학의 한 분야인 그래프 이론에서 그래프 시준()은 주어진 그래프 G의 표준 형태를 구하는 문제입니다. 표준 형태는 G와 동형인 레이블이 붙은 그래프 캐논(G)이므로 G와 동형인 모든 그래프는 G와 동일한 표준 형태를 갖습니다.따라서 그래프 캐노미네이션 문제에 대한 해결책으로 그래프 동형 문제도 해결할 수 있습니다. 두 그래프 G와 H가 동형인지 여부를 테스트하고, 표준 형태 Canon(G)과 Canon(H)을 계산하고, 이 두 표준 형태가 동일한지 여부를 테스트하는 것입니다.

컴퓨팅

컴퓨팅에서 데이터를 어떤 종류의 표준 형태로 축소하는 것을 일반적으로 데이터 정규화라고 합니다.

예를 들어, 데이터베이스 정규화는 중복과 종속성을 최소화하기 위해 관계형 데이터베이스의 필드와 테이블을 구성하는 프로세스입니다.^[13]

소프트웨어 보안 분야에서 일반적인 취약성은 확인되지 않은 악성 입력입니다(코드 주입 참조).이 문제를 완화하는 방법은 적절한 입력 유효성 검사입니다.입력 유효성 검사가 수행되기 전에, 입력은 일반적으로 인코딩(예를 들어, HTML 인코딩)을 제거하고 입력 데이터를 단일 공통 문자 집합으로 줄임으로써 정규화됩니다.

일반적으로 신호 처리(오디오 및 이미징 포함) 또는 기계 학습과 관련된 다른 형태의 데이터는 제한된 범위의 값을 제공하기 위해 정규화될 수 있습니다.

콘텐츠 관리에서는 일반적으로 데이터베이스 정규화와 소프트웨어 개발에 적용되는 것처럼 단일 진실 출처(SSOT)의 개념을 적용할 수 있습니다.유능한 콘텐츠 관리 시스템은 이를 얻는 논리적인 방법을 제공합니다. 예를 들어, 트랜스클루전(transclusion)이 있습니다.

참고 항목

메모들

^ 어떤 경우에는 "정규형"과 "정규형"이라는 용어가 조던 표준형과 조던 표준형처럼 혼용될 수도 있습니다(MathWorks의 조던 표준형 참조).
^ 이에 대해 'canonization'이라는 용어가 잘못 사용되기도 합니다.
^ "Letter from James Logan to William Jones, Correspondence of Scientific Men of the Seventeenth Century". University Press. 1841.
^ "Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846". de Gruyter.
^ Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846. de Gruyter.
^ "The Cambridge and Dublin mathematical journal 1851". Macmillan.
^ Hesse, Otto (1865). "Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene" (in German). Teubner.
^ "The Cambridge and Dublin mathematical journal 1854". 1854.
^ "Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1854". de Gruyter.
^ Cayley, Arthur (1889). "The Collected Mathematical Papers". University.
^ "Big Numbers and Scientific Notation". Teaching Quantitative Literacy. Retrieved 2019-11-20.
^ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer-Verlag, pp. 117–118, ISBN 0-387-94365-X
^ "Description of the database normalization basics". support.microsoft.com. Retrieved 2019-11-20.

참고문헌

Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Linear Algebra, Dover, ISBN 0-486-63518-X.
Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific Publishing, ISBN 981-256-563-9.

[1] 어떤 경우에는 "정규형"과 "정규형"이라는 용어가 조던 표준형과 조던 표준형처럼 혼용될 수도 있습니다(MathWorks의 조던 표준형 참조).

[2] 이에 대해 'canonization'이라는 용어가 잘못 사용되기도 합니다.

[3] "Letter from James Logan to William Jones, Correspondence of Scientific Men of the Seventeenth Century". University Press. 1841.

[4] "Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846". de Gruyter.

[5] Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846. de Gruyter.

[6] "The Cambridge and Dublin mathematical journal 1851". Macmillan.

[7] Hesse, Otto (1865). "Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene" (in German). Teubner.

[8] "The Cambridge and Dublin mathematical journal 1854". 1854.

[9] "Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1854". de Gruyter.

[10] Cayley, Arthur (1889). "The Collected Mathematical Papers". University.

[11] "Big Numbers and Scientific Notation". Teaching Quantitative Literacy. Retrieved 2019-11-20.

[12] Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer-Verlag, pp. 117–118, ISBN 0-387-94365-X

[13] "Description of the database normalization basics". support.microsoft.com. Retrieved 2019-11-20.

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