압축(수학)

Compactification (mathematics)

수학에서, 일반적인 위상에서는, 콤팩트화는 위상학적 공간을 콤팩트한 공간으로 만드는 과정이나 결과물이다.[1] 콤팩트한 공간은 공간의 모든 열린 커버가 유한 서브커버를 포함하는 공간이다. 압축 방법은 다양하지만, 각각의 방법은 어떤 식으로든 "무한도에서의 점"을 추가하거나 그러한 "도피"를 방지함으로써 "무한도약"에서 "무한도약"으로 가는 것을 제어하는 방법이다.

예

일반적인 위상의 실제 선을 고려하십시오. 이 공간은 좁지 않다. 어떤 의미에서 점들은 왼쪽이나 오른쪽으로 무한대로 갈 수 있다. 우리가 ∞으로 나타낼 "point at infinity"를 하나 더하면 실제 선을 콤팩트한 공간으로 바꿀 수 있다. 그 결과의 압축은 원(유클리드 평면의 닫히고 경계된 부분집합으로 압축된 것)으로 생각할 수 있다. 실제 라인에서 무한대로 흘러간 모든 시퀀스는 이 압축 속에서 ∞으로 수렴될 것이다.

직관적으로 그 과정은 다음과 같이 그려질 수 있다: 먼저 실제 선을 x축의 열린 간격(-through, scale)으로 축소시킨 다음, 이 간격의 끝을 위로(양수 y-방향) 구부려 서로 향해 움직인다. 한 점(가장 위)이 빠진 원이 나올 때까지. 이 지점은 우리의 새로운 지점인 "무한도"이다; 그것을 컴팩트 서클에 추가하면 완성된다.

좀 더 형식적으로: 단순성을 위해 -π에서 π으로 이동하는 라디안 단위로 단위 원 위의 한 점을 나타낸다. 실제 라인 황갈색(2/2)에 해당하는 점으로 원의 그러한 점 identify을 각각 식별한다. 이 함수는 태닝(defined/2)이 정의되지 않았기 때문에 π 지점에서는 정의되지 않는다. 우리는 이 지점을 우리의 지점 ∞과 동일시할 것이다.

접선과 역접선이 모두 연속적이기 때문에 우리의 식별함수는 without이 없는 실선과 단위원 사이의 동형상이다. 우리가 구축한 것을 아래에서 좀 더 보편적으로 논의한 실선의 알렉산드로프 원포인트 압축이라고 한다. 또한 +점수와 -점수를 더하면 실선을 압축할 수 있으며, 이로 인해 연장된 실선이 된다.

정의

위상학적 공간 X를 콤팩트 공간의 조밀한 부분집합으로 내장하는 것을 X의 콤팩트화라고 한다. 컴팩트한 공간이 가지고 있는 특별한 특성 때문에 종종 위상학적 공간을 컴팩트한 공간에 내장하는 것이 유용하다.

콤팩트한 하우스도르프 공간에 임베딩하는 것은 특히 흥미로울 수 있다. 모든 콤팩트한 하우스도르프 공간은 타이코노프 공간이고, 타이코노프 공간의 모든 하위 공간은 타이코노프 공간이기 때문에, 우리는 하우스도르프 콤팩트화를 보유한 어떤 공간도 타이코노프 공간이어야 한다고 결론짓는다. 사실, 그 반대도 사실이다; 타이코노프 공간이 되는 것은 하우스도르프 콤팩트화를 소유하는 데 필요하고 충분하다.

비 컴팩트 공간의 크고 흥미로운 클래스가 실제로 특정한 종류의 압축을 가지고 있다는 사실은 콤팩트화를 위상에서 흔한 기술로 만든다.

알렉산드로프 원 포인트 콤팩트화

주요 기사: 원포인트 컴팩트화

For any noncompact topological space X the (Alexandroff) one-point compactification αX of X is obtained by adding one extra point ∞ (often called a point at infinity) and defining the open sets of the new space to be the open sets of X together with the sets of the form G ∪ {∞}, where G is an open subset of X such that X \ G is closed and compact. X의 원포인트 압축은 X가 Hausdorff인 경우에만 Hausdorff이다.[2]

스톤-체흐 콤팩트화

주요 기사: 스톤-체흐 콤팩트화

특히 관심사는 하우스도르프 콤팩트화, 즉 컴팩트한 공간이 하우스도르프인 컴팩트화다. 위상학적 공간은 타이코노프일 경우에만 하우스도르프 압축을 가지고 있다. 이 경우 βX로 표기되는 독특한 (동형주의까지) "가장 일반적인" 하우스도르프 콤팩트화, X의 스톤-셰크 콤팩트화가 있다. 형식적으로 이는 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 맵의 범주를 티조노프 공간과 연속 맵의 범주에 대한 반사적인 하위 범주로 나타낸다.

"Most general" 또는 공식적으로 "반사"는 공간 βX가 X에서 콤팩트 하우스도르프 공간 K까지의 모든 연속적 기능을 βX에서 K까지 독특한 방법으로 연속적 기능으로 확장할 수 있는 보편적 특성으로 특징지어지는 것을 의미한다. 보다 명시적으로 βX는 X에 의한 유도 위상이 X의 주어진 위상과 같도록 X를 포함하는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, K가 콤팩트 하우스도르프 공간인 임의의 연속 지도 f:X → K의 경우, G가 X에 제한되는 고유한 연속 지도 g:βX → K가 있다.

스톤-체크 압축은 다음과 같이 명시적으로 구성될 수 있다: C는 X에서 닫힌 간격까지 연속적인 기능의 집합이 되게 한다[0,1]. 그런 다음 X의 각 점은 C의 평가 함수로 식별할 수 있다. 따라서 X는 C에서 [0,1]까지의 모든 기능의 공간인 C[0,1]의 부분집합으로 식별할 수 있다. 후자는 타이코노프의 정리에 의해 콤팩트하기 때문에, 그 공간의 부분집합으로서 X의 폐쇄도 콤팩트해질 것이다. 이것이 스톤-체크 압축이다.[3] [4]

스페이스 시간 압축

Walter Benz와 Isaak Yaglom은 단일 시트 하이퍼볼로이드에 대한 입체 투영이 분할된 복잡한 숫자에 대한 압축을 제공하기 위해 어떻게 사용될 수 있는지를 보여주었다. 사실, 하이퍼볼로이드는 실제 투영적인 4공간에서 사분면의 일부분이다. 이 방법은 정합성 보장 시간 그룹의 그룹 활동을 위한 베이스 매니폴드를 제공하는 데 사용되는 방법과 유사하다.[5]

투영 공간

실제 투영 공간 RP는n 유클리드 공간 R을n 압축한 것이다. R의n 점들이 "탈출"할 수 있는 각각의 가능한 "방향"에 대해 무한의 새로운 점 하나가 추가된다(그러나 각 방향은 그 반대방향으로 식별된다). 위의 예에서 우리가 구축한 R의 알렉산드로프 원포인트 압축은 사실 RP와1 동형이다. 그러나 둘 이상의 점이 추가되므로2 투영 평면 RP는 평면 R의2 원점 압축이 아니라는 점에 유의하십시오.

복잡한 투사 공간 CP도n C의n 압축이다; 평면 C의 알렉산드로프 원포인트 압축은 (동형적으로) 복합 투사선 CP이며1, 이는 다시 구인 리만 구와 동일시될 수 있다.

무한에 추가된 점들이 많은 이론들의 단순한 형성을 이끌기 때문에 투영적인 공간에 통과하는 것은 대수 기하학에서 흔한 도구다. 예를 들어, RP에서2 두 개의 다른 선은 R에서2 사실이 아닌 문인 정확히 한 점에서 교차한다. 보다 일반적으로 교차로 이론에 기초하고 있는 베주트의 정리는 투영적인 공간에는 있지만 부속적인 공간에는 있지 않다. 부속공간과 투영공간에서 교차로들의 이러한 뚜렷한 작용은 공동호몰로지 링의 대수적 위상에 반영된다 – 아핀 공간의 공동호몰학은 사소한 반면, 투영공간은 비종교적이며 교차로이론의 주요 특징(하변수 및 정도, 교차로: 교차로: 교차로)을 반영한다.컵 제품에 이중으로 적용되는 잉그 푸앵카레(Ing Poincaré.

일반적으로 모듈리 공간을 압축하려면 특정한 변질성을 허용해야 한다. 예를 들어 특정 특이점 또는 환원 가능한 품종을 허용해야 한다. 이것은 대수곡선의 모듈리 공간의 델리뉴-엠포드 콤팩트화에 특히 사용된다.

Lie 그룹의 압축 및 이산 하위 그룹

리 그룹의 이산 하위그룹에 대한 연구에서, 코세트의 지수 공간은 단지 위상학적 수준보다 더 풍부한 수준에서 구조를 보존하기 위해 더 미묘한 콤팩트화의 후보인 경우가 많다.

예를 들어, 모듈형 곡선은 각 정점에 대해 단일 점을 추가하여 압축되어 Rieman 표면이 된다(소형 곡선이기 때문에 대수형 곡선이다). 여기 쿠스프들은 좋은 이유로 있다: 곡선은 격자의 공간을 파라메트리화하며, 그러한 격자는 여러 가지 방법으로 퇴보할 수 있다('무한으로 사라짐'). 쿠스프는 그 다른 '무한으로 가는 길'을 상징한다.

그것은 모두 비행기의 선반에 대한 것이다. n차원 유클리드 공간에서는 예를 들어 SO(n)\SLn(R)/SLn(Z)에 대해 동일한 질문을 제기할 수 있다. 이것은 압축하기 더 어렵다. 보렐-세레 콤팩트화, 환원 보렐-세레 콤팩트화, 사타케 콤팩트화 등 다양한 콤팩트화가 형성될 수 있다.

기타 압축 이론

참고 항목

참조

  1. ^ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
  2. ^ Alexandroff, Pavel S. (1924), "Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume", Mathematische Annalen, 92 (3–4): 294–301, doi:10.1007/BF01448011, JFM 50.0128.04
  3. ^ Čech, Eduard (1937). "On bicompact spaces". Annals of Mathematics. 38 (4): 823–844. doi:10.2307/1968839. hdl:10338.dmlcz/100420. JSTOR 1968839.
  4. ^ Stone, Marshall H. (1937), "Applications of the theory of Boolean rings to general topology", Transactions of the American Mathematical Society, 41 (3): 375–481, doi:10.2307/1989788, JSTOR 1989788
  5. ^ Wikibooks의 Associative Composition 대수/호모그래피에 설명된 15개 변수 일치 시간 그룹
  6. ^ Roubíček, T. (1997). Relaxation in Optimization Theory and Variational Calculus. Berlin: W. de Gruyter. ISBN 3-11-014542-1.