시간 상수

물리학과 공학에서 시간 상수는 보통 그리스 문자 $θ$ (tau)로 표시되며 1차 선형 시간 불변(^[1]^{[note 1]}LTI) 시스템의 단계 입력에 대한 반응을 특징짓는 매개 변수입니다.시간 상수는 1차 LTI 시스템의 주요 특성 단위입니다.

시간 영역에서 시간 응답을 탐색하는 일반적인 선택은 스텝 입력에 대한 스텝 응답 또는 Dirac 델타 함수 ^[2]입력에 대한 임펄스 응답을 통해 이루어진다.주파수 영역(예를 들어 스텝 응답의 푸리에 변환을 보거나 시간의 단순한 사인파 함수인 입력을 사용하는 경우)에서 시간 상수는 1차 시간 불변 시스템의 대역폭, 즉 출력 신호 전력이 낮은 주파수에서 갖는 값의 절반으로 떨어지는 주파수를 결정합니다.s.

시간 상수는 또한 자기 테이프, 무선 송신기 및 수신기, 레코드 절단 및 재생 장비, 디지털 필터 등 다양한 신호 처리 시스템의 주파수 응답을 특징짓는 데에도 사용됩니다. 이 시스템은 1차 LTI 시스템에 의해 모델링 또는 근사화될 수 있습니다.다른 예로는 통합 및 파생 동작 제어기에 사용되는 시간 상수를 들 수 있습니다. 이 컨트롤러는 종종 전기적인 것이 아니라 공압식입니다.

시간 상수는 열 시스템에 대한 일괄 시스템 분석(부족 용량 분석 방법)의 특징으로, 물체가 대류 냉각 또는 ^[3]온난화의 영향으로 균일하게 냉각 또는 따뜻해질 때 사용됩니다.

물리적으로 시간 상수는 시스템이 초기 속도로 계속 붕괴된 경우 시스템 응답이 0으로 붕괴하는 데 필요한 경과 시간을 나타냅니다. 붕괴 속도의 점진적인 변화로 인해 이 시간에는 응답 값이 실제로 1 $/ e$ $\leq 36.8%$ 까지 감소합니다(단계 감소에서).증가 시스템에서 시간 상수는 시스템의 단계 응답이 최종(점근성) 값의 1 $- 1$ / $e 63$ 63 $.2$ %에 $도달$ 하는 시간입니다(단계 증가에서).방사성 붕괴에서 시간 상수는 붕괴 상수(θ)와 관련이 있으며, 붕괴되기 전 붕괴 시스템의 평균 수명(원자 등) 또는 원자의 36.8%를 제외한 모든 것이 붕괴되는 데 걸리는 시간을 나타낸다.이러한 이유로, 시간 상수는 반감기보다 길며, 이것은 원자의 50%만이 붕괴하는 시간입니다.

미분 방정식

1차 LTI 시스템은 미분 방정식으로 특징지어집니다.

{\displaystyle\frac{dV}{dt}}+V=f(t)}

여기서 $θ$ 는 지수 붕괴 상수를 $나타내고$ V는 $시간$ t의 함수이다.

\displaystyle V=V(t)}

오른쪽은 시간의 외부 주행 기능을 설명하는 강제 함수 f(t $)$ 이며, $이$ 는 시스템 $입력$ 으로 간주될 $수$ 있으며 $V ($ t)는 응답 또는 시스템 출력입니다.f $(t)$ 의 $전형적$ 인 예는 다음과 같습니다.

종종 u( $t)$ 로 $표시$ 되는 헤비사이드 스텝 함수:

u(t)=syslog{case}0,&t <0\\1,&t\geq 0\end{case}

δ(t)로 표시되는임펄스 함수 및 사인파 입력 함수:

f(t)=A\sin(2\pi ft)

또는

f(t)=Ae^{j\omega t

$여기$ 서 A는 강제 함수의 진폭, $f$ 는 헤르츠 단위의 주파수, θ = $2µf$ 는 초당 라디안 단위의 주파수입니다.

솔루션 예시

$초기값$ 이₀ V이고 강제함수가 없는 미분방정식에 대한 예제 해법은 다음과 같다.

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau}

어디에

V_{0}=V(t=0)

$V$ 의 초기값입니다.따라서 반응은 시간 상수 $θ$ 를 갖는 지수적 붕괴입니다.

논의

가정하다

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau}

이 동작을 "감쇠" 지수 함수라고 합니다.시간 $θ$ (tau)는 "시간 상수"라고 하며 지수 함수의 감소 속도를 나타내는 데 사용할 수 있습니다.

여기:

$t$ 는 시간(제어 엔지니어링에서는 t > $0$ )입니다.
$V$ 는₀ 초기 값입니다(아래의 "특정 사례" 참조).

구체적인 경우

t $t=0$ ({ $displaystyle t=$ 0 $t=0$ 그 $V=V_{0}e^{0}$ $V=V_{0}e^{0}$ $V=V_{0}e^{0}$ $V=V_{0}e^{0}$ e $V=V_{0}e^{0}$ 0({ $displaystyle$ V $=V_{0} e^{0$ 즉 $V=V_{0}$ $V=V_{0}$ $({$ V $=V_{0})$ 이라고 $t=0$ .
t $t=\tau$ { $displaystyle$ t = \ $displaystyle$ $t=\tau$ $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ e - 1 $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ 0.37 V $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ { \ $displaystyle$ V = $V$ _ { $0$ } e^ { - $1$ \ } \ $_$ 0. $37V$ $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ { $0$ $}로 합니다$ .
$V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ ( $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ ) $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ e - $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ / $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ { $displaystyle$ V $=$ $f(t$ )= $V_{0}e^{-t/\tau$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$ t ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$ ( ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$ ) $=$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$ { $textstyle \lim$ _ { $t\to$ \infty $}f(t$ )= $0}$
$t=5\tau$ $t=5\tau$ $t=5\tau$ { $displaystyle$ t $=5\display$ 그 $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ e - 5 $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ 0. $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ 0 {\ $displaystyle$ V $= V_{0} e^{-5}\약$ 0. $0067V_{$ 0}로 $합니다.$

시간 상수가 1회 지나면 함수는 초기 값의 약 37%인 e =에 $도달$ 합니다⁻¹.4의 경우, 5개의 시간 상수 후 함수는 원래 값의 1% 미만에 도달합니다.대부분의 경우 이 1% 임계값은 함수가 0으로 감소했다고 가정하기에 충분한 것으로 간주됩니다. 즉, 제어 엔지니어링에서는 안정적인 시스템이 이러한 전체적인 감쇠 동작을 보이는 시스템입니다.

대역폭에 대한 시간 상수 관계

사인파 강제 기능에 대한 시스템의 응답 예제입니다.시간 상수

θ

단위의 시간 축입니다.응답이 감쇠하여 단순한 사인파가 됩니다.

시스템 3dB

주파수 응답 대 주파수(대역폭 f 단위).응답은 유니티 제로 주파수 값으로 정규화되어 대역폭에서 1/µ2로 떨어집니다.

다음과 같이 강제 함수를 사인파로 선택했다고 가정합니다.

{\displaystyle\frac{dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.}

(실제 코사인 또는 사인파 입력에 대한 응답은 오일러 공식에 의해 최종 결과의 실제 또는 가상의 부분을 취함으로써 얻을 수 있습니다.) $V$ $(t$ = $0)$ = $V$ 라고₀ $가정$ 할 때 t ≤ $0초$ 동안 이 방정식에 대한 일반적인 해는 다음과 같다.

(\displaystyle\begin{aligned}V(t)&)= V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau}}}{\int _{0}^{t},dt'\e^{t\\farc}e^{j\mega t'}\&=V_{0}e^{tu}{tu}+frac}\end { aligned}}

오랜 시간 동안 감소하는 지수를 무시할 수 있게 되고 안정 상태 솔루션 또는 장기 솔루션은 다음과 같습니다.

V_{\infty }(t)=blac {1/\flac}{j\operate}}Ae^{j\operate t}

이 응답의 크기는 다음과 같습니다.

V_{\infty}(t) = A{\frac {1}{\frac \left(\operate ^{2}+(1/\frac)^{2}}=A{\frac {1}{\frac {1+(\frac)^2}}}}.

일반적으로 이 시스템의 대역폭은 V가 절반 값으로 $떨어지거나 \infty$ $where$ = $1인$ 주파수입니다.이것은 통상적인 대역폭 규약입니다.전력이 절반 이하(최대 -3dB)로 저하되는 주파수 범위로 정의됩니다.라디안/초(radians = $2µf$ )가 아닌 헤르츠 단위의 주파수 사용:

f_{\mathrm {3dB}}=blac {1}{2\pi \display}}.

f $표기법$ 은_3dB 검정력(dB)의 표현과 반파워가 $V \infty$ 값의 1/µ2 또는 3dB의 감소에 해당한다는 관측에서 비롯되었습니다.

따라서 시간 상수에 따라 이 시스템의 대역폭이 결정됩니다.

임의의 초기 조건을 가진 단계 응답

두 가지 다른 초기값₀ V에 대한 시스템의 단계 응답(하나는 최종값 위, 다른 하나는 0)장시간_∞ 응답은 상수입니다.시간 상수

{\

\

displaystyle

\

tau

\tau

\tau

의 시간 축.

다음과 같이 강제 함수를 단계 입력으로 선택했다고 가정합니다.

{dV}{dt}+{\frac {1}{\flac }}V=f(t)=Au(t)

u $(t)$ 헤비사이드 스텝 함수를 $사용$ 합니다. $V$ $(t$ = $0)$ = $V$ 라고₀ $가정$ 할 때 t ≤ $0초$ 동안 이 방정식에 대한 일반적인 해는 다음과 같다.

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau}+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\오른쪽).

(이 반응은 사인파 입력에 대한 상기 응답의 $δ$ → $0$ 한계임을 알 수 있다.)

장기 솔루션은 시간과 초기 조건에 의존하지 않습니다.

V_{\infty}=A\tau.

시간 상수는 출발 조건에 관계없이 동일한 시스템에서 동일하게 유지됩니다.간단히 말하면, 시스템은 임의의 시작점에서 그 값에 얼마나 가까운지에 관계없이 일정한 속도로 최종 정상 상태 상황에 접근합니다.

예를 들어 1차 LTI 시스템에 의해 시동이 잘 모델링된 전기 모터를 생각해 보겠습니다.정지 상태에서 출발할 때 모터가 다음을 수행한다고 가정합니다.1/8초에 도달하여 공칭 속도 100RPM의 63%에 도달합니다. 즉, 37RPM의 부족입니다.그 다음 1/8초 후에 모터가 추가로 23RPM의 속도를 높여 37RPM의 63%에 해당하는 속도를 낸다는 것을 알 수 있습니다.이것에 의해, 86 RPM이 됩니다만, 여전히 14 RPM이 낮습니다.1/3초 후에 모터가 9RPM(14RPM의 63%) 더 증가하여 95RPM이 됩니다.

실제로 초기 속도가 100rpm 이하일 경우, 1/8초 후에 이 모터는 0.63 × (100 - s) RPM을 추가로 얻을 수 있습니다.

예

전기 회로의 시간 상수

콘덴서 전압 스텝-응답.

인덕터 전압 스텝-응답.

단일 저항과 인덕터로 구성된 RL 회로에서 시간 상수 $\tau$ (\ $displaystyle \tau)$ 는 다음과 같습니다.

{\displaystyle\displays = frac {L}{R}}

여기서 R은 저항(옴 단위)이고 L은 인덕턴스(헨리 단위)입니다.

마찬가지로 단일 저항과 캐패시터로 구성된 RC 회로에서는 시간 상수 $\tau$ ( $초$ 단위 $)$ 는 다음과 같습니다.

\displaystyle \displays = RC

여기서 R은 저항(옴 단위)이고 C는 캐패시턴스(파라드 단위)입니다.

전기회로는 이러한 예보다 더 복잡하고 여러 시간 상수를 나타낼 수 있습니다(일부 예는 단계 응답 및 극 분할 참조).피드백이 존재하는 경우 시스템에서 불안정하고 진동이 증가할 수 있습니다.또한 물리적 전기 회로는 매우 낮은 진폭 들뜸을 제외하고는 진정한 선형 시스템이 되는 경우가 거의 없습니다. 그러나 선형성의 근사치가 널리 사용됩니다.

디지털 전자 회로에서는 FO4가 자주 사용됩니다.이 값은 $5\tau ={\text{FO4}}$ $5\tau ={\text{FO4}}$ $=$ $({$ 5 $\displaystyle$ 5\ $displaytext})$ 를 통해 시간 상수 단위로 변환할 수 있습니다. $FO4$ ^[4]

열시간 상수

시간 상수는 열 시스템에 대한 일괄 시스템 분석(부족 용량 분석 방법)의 특징으로, 물체가 대류 냉각 또는 온난화의 영향으로 균일하게 냉각 또는 따뜻해질 때 사용됩니다.이 경우, 주어진 시간에 신체에서 주변으로 전달되는 열량은 신체와 ^[5]주변 온도 차이에 비례합니다.

(\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}

여기서 h는 열전달 계수, A는_s 표면적, T는 온도 함수, 즉 T(t)는 시간 t에서의 체온, T는 일정한_a 주변 온도이다.양수 부호는 열이 체외로 나갈 때 F의 온도가 주위 온도보다 높기 때문에 F가 양수임을 나타냅니다(F는 외부 플럭스).열이 외부로 손실되면 이 열 전달로 인해 다음과 같은 방식으로 ^[5]차체의 온도가 떨어집니다.

\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,}

여기서 θ = 밀도, c_p = 비열, V는 체적입니다.마이너스 부호는 열이 체외로 전달될 때(즉, F > 0일 때) 온도가 떨어진다는 것을 나타냅니다.이 두 식을 열전달에 대해 동일시하면

{\displaystyle\rho c_{p}V{\frac{디옥시 타이미 딘}{dt}}=-hA_ᆬ\left(T(t)-T_{를}\right cm이다.}

폼에 캐스팅될 수 있는 분명히, 이것은 일차 연구원은 시스템:.

{\displaystyle{\frac{디옥시 타이미 딘}{dt}}+{\frac{1}{\tau}}T={\frac{1}{\tau}}T_{를},}.

와 함께

\tau){\frac{\rho c_{p}V}{h.A_{s}}}.

다른 단어에서 큰 대중 ρV는 동안 더 많은 신속한 온도 변화에 더 높은 열 전달 h납과 마찬가지로 더 큰 표면 영역( 짧은 시간 상수 τ)고열 능력, 온도(시간 상수 τ)의 둔화된 변화를 유도 cp.

는 입문자 미분 방정식과 비교time-varying 주변 온도 강타에 대해 일반화 제안한다.하지만 가장 간단한 상수 주변 예를 유지하면서 가변 ΔT ≡(T− 강타)대체하여, 자신을 발견한다.

{\displaystyle{\frac{d\Delta T}{dt}}+{\frac{1}{\tau}}\Delta T=0.}

시스템은 시 위의 지수 방정식을 식히는 냉각의 뉴턴의 법칙을 만족시키는 것으로 알려졌다.이 공식에 그 해결책은, 그런 시스템에, 시스템의 온도와 그 환경 ΔT 사이에 시간 t의 함수로 시험의 차이에서 주어진다:제안한다.

\Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau},

어디 ΔT0은 초기 온도 차이가 시간에, t=0.말로, 몸은 주변 온도로 기하 급수적으로 지지부진 시간에 비례에 의해 결정에서도 똑같은 기온으로 가정한다.

신경과학의 시간 상수

근육 또는 신경 단위 같은 흥분을 잘하는 세포에 드는 시간은 막전위 τ{\displaystyle \tau}의 정수이다.

{\displaystyle\tau =r_{m}c_{m}}

여기서_m r은 막을 가로지르는 저항이고_m c는 막의 캐패시턴스입니다.

막 전체의 저항은 열린 이온 채널의 수에 의한 함수이며, 캐패시턴스는 지질 이중층의 특성에 따른 함수입니다.

시간 상수는 멤브레인 전압의 상승 및 강하를 설명하는 데 사용됩니다. 여기서 상승은 다음과 같이 설명됩니다.

V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)

그리고 추락은 다음과 같이 묘사된다.

V(t)=V_{\textrm {max}} e^{-t/\tau }

여기서 voltage는 밀리볼트 단위, time은 초 단위, $§(\displaystyle\display)$ 는 $\tau$ 초 단위입니다.

V는_max 휴지 전위로부터의 최대 전압 변화로 정의됩니다.

{\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}나

여기서_m r은 막을 가로지르는 저항이고 I는 막 전류입니다.

상승 세트에 대해 t = $\tau$ {displaystyle \ $displaystyle }$ 을 $\tau$ (를) 설정하면 V(t_max)는 0.63V입니다.즉, 시간 상수는 V의 63_max%에 도달한 후 경과한 시간입니다.

폴에 대해 t = $\tau$ { $displaystyle$ \ $display}$ 을 설정하면 V $($ t)가 0.37V로 설정됩니다. 즉, 시간_max 상수는 V의 37_max%까지 떨어진 후 경과된 시간입니다.

시간 상수가 클수록 뉴런 전위의 상승과 하락은 느려집니다.긴 시간 상수는 시간 합산 또는 반복 전위의 대수 합산을 초래할 수 있습니다.짧은 시간 상수는 오히려 공간 합계를 통해 일치 검출기를 생성한다.

지수 붕괴

방사성 동위원소와 같은 지수적 붕괴에서 시간 상수는 평균 수명으로 해석될 수 있다.반감기_HL T는 지수 시간 상수 $\tau$ †(\ $displaystyle\tau)$ 와 $\tau$ 관련됩니다.

T_{HL}=\tau\ln 2.

시간 상수의 역수를 붕괴 상수라고 하며, $\lambda =1/\tau$ $\lambda =1/\tau$ / ${\$ (\ $displaystyle \displayda$ = $1/\display$ 로 표시됩니다.

기상 센서

시간 상수는 기상 센서가 측정값의 급격한 변화에 반응하는 데 걸리는 시간과 센서에서 일반적으로 예상되는 정확도 허용 범위 내에서 값을 측정할 때까지 걸리는 시간입니다.

이는 온도, 이슬점 온도, 습도 및 기압 측정에 가장 많이 적용됩니다.무선전신은 고도가 빠르게 상승하기 때문에 특히 영향을 받습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 구체적으로는 1차 LTI 시스템은 1차 미분방정식으로 시간 내에 모델화할 수 있는 시스템이다.예를 들어 가장 단순한 1단 전기 RC 회로와 RL 회로를 들 수 있습니다.

레퍼런스

^ Béla G. Lipták (2003). Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization (4 ed.). CRC Press. p. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.
^ Bong Wie (1998). Space vehicle dynamics and control. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 100. ISBN 978-1-56347-261-9.
^ GR North (1988). "Lessons from energy balance models". In Michael E. Schlesinger (ed.). Physically-based Modelling and Simulation of Climate and Climatic Change (NATO Advanced Study Institute on Physical-Based Modelling ed.). Springer. NATO. p. 627. ISBN 978-90-277-2789-3.
^ Harris, D.; Sutherland, I. (2003). "Logical effort of carry propagate adders". The Thirty-Seventh Asilomar Conference on Signals, Systems & Computers, 2003. pp. 873–878. doi:10.1109/ACSSC.2003.1292037. ISBN 0-7803-8104-1. S2CID 7880203.
^ ^a ^b Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; K. N. Seetharamu (2004). Fundamentals of the finite element method for heat and fluid flow. Wiley. p. 151. ISBN 978-0-470-84789-3.

외부 링크

[2] 구체적으로는 1차 LTI 시스템은 1차 미분방정식으로 시간 내에 모델화할 수 있는 시스템이다.예를 들어 가장 단순한 1단 전기 RC 회로와 RL 회로를 들 수 있습니다.

[Lipták-1] Béla G. Lipták (2003). Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization (4 ed.). CRC Press. p. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.

[Wie-3] Bong Wie (1998). Space vehicle dynamics and control. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 100. ISBN 978-1-56347-261-9.

[NATO-4] GR North (1988). "Lessons from energy balance models". In Michael E. Schlesinger (ed.). Physically-based Modelling and Simulation of Climate and Climatic Change (NATO Advanced Study Institute on Physical-Based Modelling ed.). Springer. NATO. p. 627. ISBN 978-90-277-2789-3.

[5] Harris, D.; Sutherland, I. (2003). "Logical effort of carry propagate adders". The Thirty-Seventh Asilomar Conference on Signals, Systems & Computers, 2003. pp. 873–878. doi:10.1109/ACSSC.2003.1292037. ISBN 0-7803-8104-1. S2CID 7880203.

[Lewis-6] Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; K. N. Seetharamu (2004). Fundamentals of the finite element method for heat and fluid flow. Wiley. p. 151. ISBN 978-0-470-84789-3.

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