폐쇄형 및 정확한 미분 형식

수학에서, 특히 벡터 미적분학과 미분위상수학에서, 닫힌 형태는 외부 도함수가 0인 미분 형태 α이고, 정확한 형태는 다른 미분 형태 β의 외부 도함수인 미분 형태 α입니다.따라서, 정확한 형태는 d의 이미지에 있고, 닫힌 형태는 d의 커널에 있습니다.

정확한 형태 α의 경우, α보다 1도 낮은 정도의 일부 미분 형태 β에 대한 α = dβ.β 형태는 α에 대해 "잠재적 형태" 또는 "원초적 형태"라고 불립니다.닫힌 형태의 외부 도함수가 0이기 때문에, β는 고유하지 않지만 α보다 1도 낮은 닫힌 형태를 추가하여 수정할 수 있습니다.

d = 0이므로² 모든 정확한 형식은 반드시 닫힙니다.모든 닫힌 형식이 정확한지에 대한 질문은 관심 영역의 토폴로지에 따라 달라집니다.수축 가능한 영역에서, 모든 닫힌 형태는 푸앵카레 부제에 의해 정확합니다.임의의 미분 가능한 다양체에 대한 이러한 종류의 더 일반적인 질문은 미분 방법을 사용하여 순수한 위상 정보를 얻을 수 있는 드 람 코호몰로지의 주제입니다.

예

닫혀 있지만 정확하지 않은 형태의 간단한 예는 구멍이 뚫린 $\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}$ $\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}$ ∖ { $}$ 의 인수 도함수에 의해 주어진 $d\theta$ \ \ \ \ \ $displaystyle$ d\ $theta$ ^{[note 1]} $d\theta$ ▁given \ displaystyle \ $mathbf {R}$ ^{ $2}\setminus$ \ {0 $\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}$ $\theta$ {\ $displaystyle \theta}$ 는 $\theta$ 실제로 $d\theta$ (다음 단락 참조)가 아니므로 d θ $d\theta$ {\ $displaystyle$ d $\theta}$ 는 $d\theta$ 정확한 형식이 아닙니다. $d\theta$ ${displaystyle$ d $\theta}$ 는 $d\theta$ 소멸 미분을 가지고 있으므로 닫혀 있습니다.

단일 $점$ p {\ $displaystyle$ $\theta$ p $}$ 에 $p$ 서로 $다른$ 인수r {\ $displaystyle$ $r$ r + 2 $r+2\pi$ {\ $displaystyle r+2$ \pi $r+2\pi$ 등을 할당할 수 있으므로 인수 $\theta$ θ {\ $displaystyle$ \ $theta}$ 는 $\theta$ 2 $2\pi$ {\ $displaystyle$ 2 $\pi$ $}$ 의 $2\pi$ 정수 배수까지만 정의됩니다.p ${displaystyle$ p $p$ 를 중심으로 국소적으로 일관된 방식으로 인수를 할당할 수 있지만 전역적으로 일관된 방식으로는 할당할 수 없습니다.이는 원점을 중심으로 반시계방향으로 $p$ p ${displaystyle$ p}의 루프를 추적하고 다시 p ${$ $displaystyle$ p $p$ 로 돌아가면 인수가 2 $2\pi$ ({ $displaystyle$ 2 $\pi$ $2\pi$ 하기 때문입니다. 일반적으로 인수 $\theta$ ({ $displaystyle \theta})$ 는 $\theta$ 다음과 같이 변경됩니다.

{\displaystyle \point_{S^{1}}d\theta} 표시

반시계방향 $S^{1}$ $({$ S $^{1$ 위에 있습니다.

$\theta$ 인수가 $\theta$ 기술적으로 함수가 아님에도 불구하고, p ${\displaystyle$ p $}$ $p$ 에서 $p$ $\theta$ 의 $\theta$ 서로 다른 로컬 정의는 상수로 서로 다릅니다.p ${displaystyle$ p $}$ 의 $p$ 도함수는 로컬 데이터만 사용하고 상수가 다른 함수는 동일한 도함수를 가지기 때문에 인수는 전역적으로 잘 정의된 도함수 " ${{displaystyle$ d $\theta$ " $d\theta$ ^{[note 2]}를 갖습니다.

$d\theta$ 으로 $\theta$ {\ $displaystyle d$ $\$ theta $}$ 는 $d\theta$ $\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}$ $∖$ { $0}$ 에 $\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}$ 대한 한 형태이며, 잘 정의된 함수 $\theta$ $d\theta$ \ $displaystyle \theta$ 의 파생물이 아닙니다. 우리는 d ${\displaystyle$ d $\theta}$ 가 $d\theta$ 정확하지 않다고 $d\theta$ . $d\theta$ 으로 $d\theta$ {\ $displaystyle d$ \theta $}$ 는 $d\theta$ 다음과 같이 주어집니다.

d\theta = sysfrac {-y\,sysflac+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}}

그것은 검사에 의해 파생 0을 가집니다. $d\theta$ {\ $displaystyle$ d $\theta}$ 에 $d\theta$ 소멸 미분이 있기 $d\theta$ 에 닫혔다고 합니다.

이 형식은 드 램 코호몰로지 그룹 Hd R1 (R2 ∖ { 0 } ) ≅ R, {\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}\cong \mathbf {R}을 생성하며, 이는 닫힌 형식은 정확한 형식 fdisplaystyle d와 다중 displaystyle =\displaystyle d의 합임을 의미한다=df+k\d\theta}, 여기서 k = 12 ∮ S1 ω {{textstyle k={textfrac{1}{2\pi }}\point_{S^{1}}\omega는 전체적으로 정의된 함수의 파생물인 구멍이 뚫린 평면에서 닫힌 형태에 대한 유일한 방해물인 원점 주변의 윤곽 적분을 설명한다.

저차원 예제

R과³ R의 미분² 형식은 19세기의 수학 물리학에서 잘 알려져 있었습니다.평면에서, 0-폼은 단지 함수이고, 2-폼은 기본 영역 요소 dx∧dy의 함수를 곱한 것이므로, 1-폼이 됩니다.

\alpha = f(x,y)\,slot+g(x,y)\,dy

그것은 정말 흥미로운 것입니다.여기서 외부 도함수의 공식은 다음과 같습니다.

d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,displaystyle\alpha dy

여기서 첨자는 부분 미분을 나타냅니다.따라서 α ${displaystyle \alpha}$ 가 $\alpha$ $\alpha$ 조건은 다음과 같습니다.

{\displaystyle f_{y}=g_{x}을(를) 표시합니다.

이 경우 h(x, y)가 함수라면

dh=h_{x}\,display+h_{y}\,dy

그러면 x와 y에 대한 두 번째 도함수의 대칭의 결과가 '정확한'에서 '닫힌'으로 암시됩니다.

기울기 정리는 형식의 선 적분이 곡선의 끝점에만 의존하거나 매끄러운 닫힌 곡선 주위의 적분이 0인 경우에만 1-형식이 정확하다고 주장합니다.

벡터장 유추

리만 다양체 또는 보다 일반적으로 유사 리만 다양체에서, k-형태는 (메트릭을 통한 이중성에 의해) k-벡터 장에 대응하므로, 닫힌 형태 또는 정확한 형태에 대응하는 벡터 장의 개념이 있습니다.

3차원에서, 정확한 벡터장(1-형태로 생각됨)은 보수적인 벡터장이라고 불리는데, 이는 스칼라 퍼텐셜이라고 불리는 0-형태(평활한 스칼라장)의 도함수(그라디언트)라는 것을 의미합니다.닫힌 벡터 필드(1-형태로 생각됨)는 미분(곡선)이 사라지는 벡터 필드이며 비회전 벡터 필드라고 합니다.

대신 벡터장을 2-형태로 생각하면, 닫힌 벡터장은 도함수(분산)가 사라지는 것이고, 압축할 수 없는 흐름(때로는 솔레노이드 벡터장)이라고 불립니다.비압축성이라는 용어는 0이 아닌 발산이 유체와 유사하게 소스와 싱크의 존재에 해당하기 때문에 사용됩니다.

경사와 발산이 n차원으로 일반화되기 때문에 보수적이고 압축 불가능한 벡터 필드의 개념은 n차원으로 일반화됩니다. 컬은 3차원으로만 정의되므로 비회전 벡터 필드의 개념은 이러한 방식으로 일반화되지 않습니다.

푸앵카레 부제

푸앵카레 부제는 만약 B가 R에서ⁿ 열린 공이라면, 1 ≤ p ≤ ^[1]n인 임의의 정수 p에 대해, B에 정의된 닫힌 p 형태 δ는 정확하다고 말합니다.

보다 일반적으로, 부제는 다양체의 수축 가능한 열린 부분 집합( $\mathbb {R} ^{n}$ : $\mathbb {R} ^{n}$ {{ $displaystyle \mathbb {R}^{n})$ 에서 닫힌 p-form, p > 0이 ^{[citation needed]}정확하다고 말합니다.

코호몰로지로서의 공식화

닫힌 두 형태의 차이가 정확한 형태일 때, 그들은 서로 상동 관계라고 합니다.즉, γ와 γ가 닫힌 형태이고, 다음과 같은 베타를 찾을 수 있습니다.

displaystyle \zeta -\eta =d\discovery }

그러면 하나는 ζ와 η가 서로 상동어라고 말합니다.정확한 형태는 때때로 0과 동음이의어라고 합니다.주어진 형태와 (따라서 서로에게) 모든 형태의 코호몰로지 집합을 드 람 코호몰로지 클래스라고 합니다; 그러한 클래스에 대한 일반적인 연구는 코호몰로지라고 알려져 있습니다.d가 도를 1씩 증가시키기 때문에 0-형태(평활한 함수)가 정확한지 묻는 것은 실질적으로 말이 안 되지만, 위상학적 단서는 0-함수만 "정확하다"고 제안합니다.코호몰로지 클래스는 국소 상수 함수로 식별됩니다.

푸앵카레 부제의 증명에 사용된 것과 유사한 수축 호모토피를 사용하여 드 람 코호몰로지가 호모토피 ^[2]불변임을 보여줄 수 있습니다.

전기역학에서의 응용

전기역학에서, ${\vec {B}}(\mathbf {r} )$ 전류에 의해 생성되는 ${\vec {B}}(\mathbf {r} )$ B ${\vec {B}}(\mathbf {r} )$ ( ${\vec {B}}(\mathbf {r} )$ r ${\vec {B}}(\mathbf {r} )$ ) {\ $displaystyle$ {\ $vec {B}(\mathbf {r})$ 의 $\vec B(\mathbf r)$ 경우는 중요합니다.여기서는 이 필드의 벡터 ${\vec {A}}(\mathbf {r} )$ A ${\vec {A}}(\mathbf {r} )$ ( ${\vec {A}}(\mathbf {r} )$ ) \ $displaystyle {vec {A}(\mathbf {r})$ 를 $\vec A(\mathbf r )$ 다룹니다.이 경우는 k = 2에 해당하며 정의 영역은 전체 $\mathbb {R} ^{3}$ 3 $({\$ 입니다.전류 밀도 ${\vec {j}}$ 는 j $→$ { $displaystyle {vec {j$ 입니다. 이는 현재 두 형식에 해당합니다.

\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}({rm{d})\,{\rm{d}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{3}),{\rm{d},{rm{d}x_{d}x_{1},{x_{x_{1}}{rm{rm{rm{rm},{rm}}}\rm{rm}{rm{

${\vec {B}}$ B $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ { $displaystyle$ {\ $vec {B}}$ 의 ${\vec {B}}$ 경우 유사한 결과가 나타납니다. 유도 2-형태 $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ : $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ = B $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ x 2 $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ 3 + $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ {\ $displaystyle \Phi$ _ { $B}:$ $=B_{1}{\rm {d}x_{2}\cdots$ {{ $rm {d}x_{3}+\cdots$ 이며, 벡터 ${\vec {A}}$ A $→$ {{\ $displaystyle {\vec$ {A $\mathbf {A}$ 또는 이에 해당하는 단일 폼 $\mathbf {A}$ ${\$

표시({style{vec{B}}=\operatorname{{vec{A}}=\left\{\frac{\frac{\frac{A}{2}}-{\frac{\partial x_3}}-{\frac{\partial x_3}}-{\frac{\frac{3}{\frac{\frac{\partial x_1}}}{\frac{\frac{\frac{{\frac{\frac}{\frac}{\frac}{\frac{{text} 또는 }\Phi _{B}={d}}\mathbf {A}

따라서 벡터 ${\vec {A}}$ A $→$ {\ $displaystyle$ {\ $vec {A}}$ 는 ${\vec {A}}$ 퍼텐셜 1-폼에 해당합니다.

\mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm{d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}

자기 결합 두 형태의 폐쇄성은 소스가 없는 자기장의 특성에 해당합니다: $\operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0$ $\operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0$ $\operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0$ → $≡$ $\operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0$ {\ $displaystyle \operatorname {div}{vec {B}}\equiv 0$ 즉 자기 단극이 없다는 것입니다.

특수 $\operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0$ 에서 div $\operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0$ $\operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0$ $\operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0$ ! $\operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0$ {\ $displaystyle \operator$ name { $div}{vec$ { $A}{~{\stackrel$ {! $}{=$ }}~} $0$ 이는 i = 1, 2, 3에 대해 의미합니다.

표시 스타일 A_{i}({\vec {r})=\int {\frac{{{0}j_{i}\left{\vec {r}^{,}\right)\,\,\,display_{1}'c_{2}'c_{3}'{4\pivec {r}^{,}}\}\}\{\}}\}}}\{{{\}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

( $\mu _{0}$ 서 $({$ 은 $\mu _{0}$ 자기 상수입니다.)

이 방정식은 전기장 E → {\displaystyle {\vec {E}}, 즉 전하 밀도 θ (x1, x2, x3)의 정전기 쿨롱 전위 θ (x1, x2, x3)에 대해 잘 알려진 공식과 완전히 일치하기 때문에 주목할 만하다.이 장소에서는 이미 짐작할 수 있습니다.

${\vec {E}}$ ${\vec {B}},$ { $displaystyle$ {\ $vec {E}}$ ${\vec {B}},$ B ${\vec {B}},$ , { $displaystyle$ {\ $vec {B}}$
$\rho$ ◦ $\rho$ {\ $displaystyle \rho}$ 및 $\rho$ ${\vec {j}},$ ${\vec {j}},$ , ${\displaystyle {vec$ { $j}}$
$\phi$ ◦ $\phi$ { $displaystyle \phi$ } 및 $\phi$ ${\vec {A}}$ → ${$

6 rsp로 수량으로 통일할 수 있습니다.맥스웰 방정식의 상대론적 불변성의 기초가 되는 네 개의 중요하지 않은 성분.

만약 정상성의 조건이 왼쪽에 있다면, 위에서 언급한 방정식의 왼쪽에 Ai({displaystyle A_{i})에 대한 방정식에서 네 번째 변수와 시간 t를 추가해야 하는 반면, ji({displaystyle j_{i}}에서는 소위 "제한된 시간", 즉 = t - r → - → c' $t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,'}|}{c}}$ \" $displaystyle$ t $':=t-{\frac$ {{\ $vec {r}-{\vec {r}^{\,'}{c$ 를 사용해야 합니다. 즉, 전류 밀도의 인수에 추가됩니다 $.$ 마지막으로, 이전과 같이, 하나는 세 개의 프라이밍된 공간 좌표에 걸쳐 적분됩니다.(일반적으로 c는 빛의 진공 속도입니다.

메모들

^ 이것은 표기법의 남용입니다. $\theta$ 인수는 $\theta$ 잘 정의된 함수가 아니며, ${{\displaystyle$ d $\theta}$ 인수는 $d\theta$ 어떤 0 형식의 미분도 아닙니다.이어지는 논의는 이것에 대해 자세히 설명합니다.
^ Covering space 기사에는 국소적으로만 잘 정의된 함수의 수학에 대한 자세한 정보가 나와 있습니다.

인용문

^ 워너 1983, 155–156페이지
^ Warner 1983, 페이지 162-207

레퍼런스

Flanders, Harley (1989) [1963]. Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8..
Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), An introduction to Riemann surfaces, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
Singer, I. M.; Thorpe, J. A. (1976), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, University of Bangalore Press, ISBN 0721114784

[1] 이것은 표기법의 남용입니다. $\theta$ 인수는 $\theta$ 잘 정의된 함수가 아니며, ${{\displaystyle$ d $\theta}$ 인수는 $d\theta$ 어떤 0 형식의 미분도 아닙니다.이어지는 논의는 이것에 대해 자세히 설명합니다.

[2] Covering space 기사에는 국소적으로만 잘 정의된 함수의 수학에 대한 자세한 정보가 나와 있습니다.

[3] 워너 1983, 155–156페이지

[4] Warner 1983, 페이지 162-207

[note 1]

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