시퀀스의 제한

단위 원을 둘러싼 일반 n면 폴리곤의 주변으로 주어진 시퀀스는 원의 둘레와 같은 한계를 가집니다.

2\pi r.

, 2 †

2\pi r.

. \

display

2 \

pi

r . } 내접

2\pi r.

폴리곤에 대응하는 시퀀스는 동일한 한계를 가집니다.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

양의 $정수$ n({ $displaystyle$ n $})$ 이 $n$ 커질수록 값 n $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ ( $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ $){\tfrac {$ 1}{ $n}\$ right $}$ 는 $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ 임의로 $1$ 에 가까워집니다 $.\display$ style n $n$ ( 1n $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ ) \ $cdisplay style$ \ $sin （$ \ $cdisplay$ $styleft$ $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ ） \ sin $。$ ${1}$ { $n}}\right}$ 은 $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ $($ 는) 1입니다 $.{$ $displaystyle$ 1. $}$ "

수학에서 수열의 한계(lim)는 수열의 항이 "접근"하는 값이며, 종종 lim $\$ $displaystyle$ $\lim$ } 기호 $\lim$ ( $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ : $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ n $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ a $n$ \ $displaystyle \lim$ _{n\ $to$ \ $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ $}$ a_ ${n})$ ^[1]를 사용하여 표시됩니다.이러한 제한이 존재할 경우 시퀀스는 ^[2]컨버전스라고 불립니다.수렴하지 않는 수열은 ^[3]발산된다고 한다.수열의 한계는 궁극적으로 수학 분석의 전체가 ^[1]기초가 되는 기본 개념이라고 한다.

제한은 모든 메트릭 또는 토폴로지 공간에서 정의할 수 있지만 일반적으로는 실수로 처음 발생합니다.

역사

그리스 철학자 엘레아의 제노는 제한 과정을 수반하는 역설들을 공식화한 것으로 유명하다.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoxus, 그리고 Arkimedes는 면적이나 부피를 결정하기 위해 무한한 근사 시퀀스를 사용하는 탈진 방법을 개발했습니다.아르키메데스는 현재 기하급수라고 불리는 것을 합하는 데 성공했다.

Gregoire de Saint-Vincent는 그의 작품 Opus Geometricum (1647)에서 기하 급수의 끝은 수열의 끝이며, 수열의 끝은 무한대에 계속되더라도 수열은 도달할 수 없지만 주어진 ^[4]세그먼트보다 더 가까이 접근할 수 있다.

뉴턴은 무한 급수 분석 (1669년 집필, 1711년 원고로 회람, 1671년 집필, 1736년 영어 번역으로 출판, 훨씬 늦게 라틴어 원문으로 출판)과 무한 급수 분석 (1693년 집필, 1704년 출판)에 관한 그의 작품에서 시리즈를 다뤘다.Optiks 부록)후자의 연구에서, 뉴턴은 (x + ⁿo)의 이항 확장을 고려하였고, 그 다음 o가 0인 경향이 있을 때 한계를 취함으로써 선형화하였다.

18세기에, 오일러와 같은 수학자들은 적절한 순간에 멈추면서 몇몇 발산 급수를 합하는 데 성공했습니다; 그들은 한계가 있는지 아닌지를 계산할 수 있는 한 크게 신경쓰지 않았습니다.세기 말에, 라그랑주는 그의 Théori des Fonctions 분석학 (1797)에서 엄격함의 결여가 미적분의 추가적인 발전을 방해한다고 주장했다.가우스는 초기하 급수(1813)의 등식에서 처음으로 급수가 한계로 수렴되는 조건을 엄격하게 조사했다.

한계(모든 θ에 대해 지수 N이 존재하기 때문에...)의 현대적 정의는 베른하르트 볼자노(Der binomische Lehrsatz, Prah 1816)와 1870년대에 카를 바이얼스트라스(Karl Weierstrass)에 의해 제시되었다.

실수

수렴 시퀀스 {a_n}의 그래프는 파란색으로 표시됩니다.여기서 n이 증가함에 따라 시퀀스가 한계치 0으로 수렴하고 있음을 알 수 있습니다.

실제 수치에서 $숫자$ L({ $displaystyle$ L})은 $L$ 시퀀스 $(x_{n}),$ 내의 숫자가 L $({displaystyle$ L $L$ 에 $점점$ 가까워지는 경우 시퀀스 $(x_{n}),$ n $),$ { $displaystyle(x_n})$ 의 $(x_{n}),$ 제한입니다.

예

상수 c에 $x_{n}=c$ x n $c$ { displaystyle $x$ _ { n } $x_{n}\to c.$ $c$ $x_{n}\to c.$ . \ $displaystyle$ x $_$ { n } \ $to$ c . }
$x_{n}={\frac {1}{n}}$ n $x_{n}={\frac {1}{n}}$ $x_{n}={\frac {1}{n}}$ { $display$ x $_$ { n } → $specfrac {$ 1} ${n}$ $x_{n}={\frac {1}{n}}$ 인 $x_{n}={\frac {1}{n}}$ $x_{n}\to 0$ n $x_{n}\to 0$ { $displaystyle x_{n}\to$ 0 $x_{n}\to 0$ ^{[proof 2]}^[5] 입니다.
만약 x nx1n{\displaystyle x_{n}={\frac{1}{n}}} 때 n{n\displaystyle}도=nx1n2{\displaystyle x_{n}={\frac{1}{n^{2}}}} 때 n{n\displaystyle}, 다음 특이하다 n.0{\displaystyle x_{n}\to.}(사실)n+1>)n{\displaystyle x_{n+1}&g 0→.t;x_{n}}: $n$ (\ $displaystyle$ n $n$ )이 이상할때는 상관없습니다 $.$
어떤 실수도 10진수 근사치를 취함으로써 그 숫자로 수렴하는 시퀀스를 쉽게 만들 수 있다.예를 들어 $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ 0.3 $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ . $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ 0. $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ 0 $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ …({ $displaystyle$ 0. $3,$ 0 $.3333,$ 0 $.3333,\dots})$ 는 $1/3.$ 1/ $1/3.$ 로 $1/3.$ 됩니다 $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ $.\displaystyle$ 1/ $3}$ 소수점 $1/3.$ $0.3333...$ 0. $0.3333...$ $(\displaystyle 0.3333...$ }은 $0.3333...$ (는) 이전 시퀀스의 제한으로, 다음과 같이 정의됩니다 $.$ $(\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to\infty}\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$
시퀀스의 한계를 찾는 것이 항상 명확한 것은 아닙니다.두 가지 예로는 $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ n $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ ( $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ + $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ n $)$ { $displaystyle \lim _ {n\$ to \ $infty$ }\ $left(1+{\tfrac {1}{n}}}\right)$ 가 $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ . $^{n}($ 한계는 숫자 e) 및 산술-기하 평균.스퀴즈 정리는 종종 그러한 한계를 설정하는 데 유용하다.

형식적 정의

다음 조건이 충족될 경우 $(x_{n})$ x $($ $(x_{n})$ 를 시퀀스 $x$ 제한( $xn)$ 이라고 $(x_{n})$ $부릅니다$ .

$\varepsilon >0,$ 실수 $\varepsilon >0,$ 에 $\varepsilon >0,$ 대해 $자연수$ N(\ $displaystyle$ $\varepsilon$ > $0,)$ 이 $\varepsilon > 0,$ $N$ 존재하며, 각 $n\geq N,$ $(\$ $displaystyle$ n $\geq$ N $)$ 에 $n\geq N,$ $|x_{n}-x|<\varepsilon .$ x $|x_{n}-x|<\varepsilon .$ - $|x_{n}-x|<\varepsilon .$ $<.\display$ style x_{ $n-x.\varepsilon.$

즉, $\varepsilon ,$ 도 $,,$ \ $displaystyle \varepsilon의$ 모든 $\varepsilon ,$ 척도에 대해 시퀀스의 조건은 결국 한계에 가깝습니다. $(x_{n})$ ( $(x_{n})$ n ) $(x_{n})$ { $displaystyle (x_{n})$ { $displaystyle$ (x_ ${n$ })} $displaystyle$ $x$ $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$ → x {\ $displaystyle$ $}$ \ $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$ $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$ } 또는 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$ n $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$ x . ${displaystyle \lim$ _{n $\to$ \infty } x_n} x $=x$ } {n} {n} {x} {x}의 한계로 수렴하거나 그 경향이 있다고 합니다.

상징적으로 다음과 같습니다.

\displaystyle \forall \varepsilon > 0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}-x <\varepsilon \right)\right).}

시퀀스 $(x_{n})$ ( $(x_{n})$ ) $(x_{n})$ { $displaystyle (x_{n})$ { $displaystyle$ (x_n)}이(가) x $,$ { $displaystyle$ x $,}$ 로 $x,$ 수렴하면 $(x_{n})$ $x$ 되고x { $displaystyle$ x $}$ 만이 $x$ 유일한 제한이며, 그렇지 않으면 $(x_{n})$ n $)$ { $displaystyle (x_{n$ }) {n $}$ 이 $(x_{n})$ )은 발산됩니다.0을 한계로 하는 시퀀스를 늘 시퀀스라고 부르기도 합니다.

일러스트

$제한$ a로 수렴하는 시퀀스의 예 $.$ {\ $displaystyle$ a $}$
$\varepsilon >0$ $(\displaystyle \varepsilon$ > $0)$ 에 $\varepsilon >0$ 관계없이 $N_{0},$ $N_{0},$ 0 $(\$ $displaystyle$ $N_{0})$ 이 $N_{0},$ 존재합니다.이것에 의해, 시퀀스는 $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$ $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$ - $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$ a + $。{ displaystyle$ ( $a$ - \ varepsilon , a $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$ ）。 $}$
또한 $\varepsilon _{1}>0$ > $\varepsilon _{1}>0$ (\ $displaystyle \varepsilon$ _ ${1}$ > $0)$ 에는 $\varepsilon _{1}>0$ $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).$ $,$ (\ $displaystyle N_$ ${1})$ 이 $N_{1},$ 있으므로 시퀀스는 나중에 엡실론 튜브 $a$ - $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).$ † $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).$ , $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).$ + † $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).$ ) 안쪽에 놓입니다 $.\displaystyle$ ( $a-\varepsilon _1).$ $}$
$\varepsilon >0$ $>$ 0 { $displaystyle$ \ $varepsilon$ > $0$ }에 $\varepsilon >0$ 대해 엡실론 튜브 바깥쪽에 있는 시퀀스 멤버는 완전히 수 밖에 없습니다.

속성(실수)

시퀀스의 한계는 일반적인 산술 연산에 대해 잘 작동합니다. $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ n $a_{n}\to a$ { $displaystyle a$ $a_{n}\to a$ _ { $n$ $b_{n}\to b,$ } \ $to$ $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ a $a_{n}\to a$ 、 $b_{n}\to b,$ $b_{n}\to b,$ $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ $→$ $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ , n + $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ , $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ + b , $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ { $displaystyle a _$ { n } + b _ { $n }$ \ $to$ a + $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ , n ⋅ $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ n $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ \ $displaystyle$ a _ { n \ $to$ } b $cdot$ $b.$ $}$ ^[5]

연속 함수 f의 경우 x $x_{n}\to x$ $x_{n}\to x$ {\ $displaystyle x_{n}\to$ x $}$ 이면 $x_{n}\to x$ $f(x_{n})\to f(x).$ f ( $f(x_{n})\to f(x).$ ) $f(x_{n})\to f(x).$ ( $f(x_{n})\to f(x).$ ) $f(x_{n})\to f(x).$ . \ $displaystyle$ f $(x_{n}\to$ f( $x)$ 입니다.} 실제로 $f(x_{n})\to f(x).$ 실수값 함수 f는 시퀀스의 한계를 보존하는 경우에만 연속적입니다 $($ 단, 보다 일반적인 연속성 개념을 사용하는 경우에는 반드시 해당되지 않음).

실제 시퀀스의 한계에 대한 다른 중요한 특성에는 다음이 포함됩니다(아래의 각 방정식에서 오른쪽의 한계가 존재하는 경우).

시퀀스의 제한은 ^[5]고유합니다.
$\displaystyle \lim _{n}(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$ ^[5]
$\displaystyle \lim _{n\to\infty}ca_{n}=c\cdot\lim _{n\to\infty}a_{n}$ ^[5]
$\displaystyle \lim _{n}(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})}$ ^[5]
$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ n $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ n $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ n $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ n $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ lim $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ \ $display$ style \ $lim$ _ { $n$ \ $to$ \ $infty$ } \ $left$ \ $frac$ { a $_$ { $n$ } { $b$ _ { $n$ } } \ $right$ ) = $limfrac { lim$ frac \ lim \ $lim$ \ lim $_$ { n \ lim _ { n \ lim _ { n \ lim _ { n \ to \ to \ lim $} _$ n }
$\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
$a$ $n$ $≤$ n \ display $n$ style a $_$ { $n$ } \ $display style$ n $a_{n}\leq b_{n}$ $N,$ 、 \ display style N $}$ some $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.$ n $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.$ . { $display$ style \ $lim$ _ ${ n$ \ $to$ \ $infty }a$ _ { $n$ } \ $leq$ $b$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.$ to \ $lim$ { $n$ } \ lim { n } \ lim { n } \ lim { n } \ to \ to \ lim { n } \ lim { n } \ lim { n } \ lim { n } $}$
(샌드위치 정리)만약 모든 n을에 대한 n≤ cn≤ bn{\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}};N,{\displaystyle n>, N,}과lim n→ ∞ nxlim n→ ∞ bnxL,{\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim _{\inftyn\to}b_{n}=L,}그때lim n→∞ cnxL.{\displaystyle \lim_{n\to.\inft $y }c_{n}=L.$ $}$
시퀀스가 한정되어 있고 단조로운 경우 수렴된 것입니다.
시퀀스는 모든 서브시퀀스가 컨버전스인 경우에만 컨버전스 됩니다.
시퀀스의 모든 시퀀스가 동일한 포인트로 수렴되는 자체 시퀀스를 갖는 경우 원래 시퀀스는 해당 포인트로 수렴됩니다.

이러한 속성은 번거로운 공식 정의를 직접 사용할 필요 없이 한계를 증명하기 위해 광범위하게 사용됩니다.예를들면.1 $1/n\to 0,$ / $1/n\to 0,$ $1/n\to 0,$ $1/n\to 0,$ 이 $1/n\to 0,$ 되면, $상기$ 의 속성을 사용해 ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ + ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ $n$ ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (\ $displaystyle {a}$ { $b+{\frac {c}}}}$ ~ b ${\$ $frac$ ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ {a $}$ { $b$ $}}}}$ $b\neq 0$ 의 $표시$ 를 $1/n\to 0,$ $용이$ 하게 할 수 있습니다 $.$

무한 한계

일련()n){\displaystyle(x_{n})}무한대로 처리해야 할 x n →∞{\displaystyle x_{n}\to \infty}또는lim n→ ∞)nx∞,{\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=\infty,}모든 케이에게, 모든 n에 대한 N이 ≥ N,{n\geq N\displaystyle,})n을, K{\d 바 있다.isp $laystyle x_{n}>K$ 즉, 시퀀스 항은 최종적으로 고정 K보다 커집니다.

$x_{n}\to -\infty$ 로 x $x_{n}\to -\infty$ $x_{n}\to -\infty$ - ${\$ { $displaystyle$ x $_$ { $n$ $n\geq N,$ \ $to$ - $infty$ }는 $x_{n}\to -\infty$ $n\geq N,$ 마다 N이 존재하며 $,$ \ $displaystyle$ n \ $geq$ N $,$ $n\geq N,$ $x_{n}<K.$ < $x_{n}<K.$ . $x_{n}<K.$ \ $displaystyle x$ _ { $n}$ < K .\ displaystyle x _ { n } < K $x_{n}<K.$ }의 $x_{n}<K.$ 연속이 무한대 또는 마이너스 무한대인 경우는 N이 됩니다.단, 발산 배열은 무한대를 플러스 또는 마이너스일 필요는 없으며, $x_{n}=(-1)^{n}$ n $x_{n}=(-1)^{n}$ ( $x_{n}=(-1)^{n}$ - 1) $x_{n}=(-1)^{n}$ {\ $style x_$ {n} = $parament1)^{n}$ $x_{n}=(-1)^{n}$ 는 $x_{n}=(-1)^{n}$ 그러한 예 중 하나이다.

미터법 공간

정의.

시퀀스()n){\displaystyle(x_{n})}의 계량 공간(X, d){\displaystyle(X,d)}의 포인트={\displaystyle)}으로 정한 모든ϵ하는 경우;0,{\displaystyle \epsilon>;0,}N은{N\displaystyle}마다 n에 대한, ≥ N,{n\geq N\displaystyle,}d(), 있다.x=<> $§$ . {\ $displaystyle d(x_{n},$ $d(x,y)=|x-y|.$ ) <\silon $d(x_{n},x)<\epsilon .$ .} 이것은 $d(x_{n},x)<\epsilon .$ $X=\mathbb {R}$ $=$ R $X=\mathbb {R}$ = \ $displaystyle$ X = $\mathbb$ {R $d(x,y)=|x-y|.$ 및 $d(x,y)=|x-y|.$ ( $d(x,y)=|x-y|.$ , $d(x,y)=|x-y|.$ ) $d(x,y)=|x-y|.$ = $d(x,y)=|x-y|.$ - $d(x,y)=|x-y|.$ y . { $displaystyle d(x$ , y ) = x - $d(x,y)=|x-y|.$ y }일 때 주어진 $X=\mathbb {R}$ 에 대한 정의와 $일치$ 합니다.

속성(메트릭 공간)

연속 함수 f의 경우 x $x_{n}\to x$ $x_{n}\to x$ {\ $displaystyle x_{n}\to$ x $}$ 이면 $x_{n}\to x$ $f(x_{n})\to f(x).$ f ( $f(x_{n})\to f(x).$ ) $f(x_{n})\to f(x).$ ( $f(x_{n})\to f(x).$ ) $f(x_{n})\to f(x).$ . \ $displaystyle$ f $(x_{n}\to$ f( $x)$ 입니다.} 실제로 $f(x_{n})\to f(x).$ 함수 f는 수열의 한계를 유지하는 경우에만 연속이다 $.$

시퀀스의 한계는 고유한데, 서로 다른 점이 일정한 양의 거리로 분리되어 있기 때문에 이 거리의 절반 미만인 $\epsilon$ {\ $displaystyle \epsilon }$ 에 $\epsilon$ 대해서는 시퀀스 항이 두 점의 $\epsilon$ ${\$ {\ $displaystyle \epsilon$ } 내에 $\epsilon$ 있을 수 없습니다.

위상 공간

정의.

그 위상 공간(X, τ){\displaystyle(X,\tau)}의 포인트=∈ X{\displaystyle Xx\in}은 .mw-parser-output .vanchor&gt은 이 순서에 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}limit거나 제한하기 point[7][8]()n)n∈ N{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}}모든 이웃이 만약에.x의 후드 U{U\displaystyle},{\displaystyle x}이 som 존재한다.EN마다 n에 ∈ N{\displaystyle N\in \mathbb{N}}가 ≥ N,{n\geq N\displaystyle,})n∈ U.{\displaystyle x_{n}\in 미국}만약(X, d){\displaystyle(X,d)}은 미터 법 공간과 τ{\displaystyle \tau}[9]이것은 정의 미터 공간기 위해, 일치하는 토폴로지. 생성된y $.$ $}$

$위상공간$ T(\ $displaystyle$ T $)$ 내의 $T$ 일련의 점 $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ n) $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ N(\ $displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N}})$ 의 $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ 제한은 함수의 제한의 특수한 경우로서, N $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace ,$ $displaystyle \mathbb$ { $N$ $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace ,$ 의 $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ 에서는 N $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace ,$ displaystyle $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace ,$ {n})이다 $.$ $fty \rbrace ,}$ with the induced topology of the affinely extended real number system, the range is $T,$ and the function argument $n$ tends to $+\infty ,$ which in this space is a limit point of $\mathbb {N} .$

속성(토폴로지 공간)

하우스도르프 공간에서는 시퀀스의 한계는 존재할 때마다 고유합니다.이것은 Hausdorff 이외의 공간에서는 필요하지 않습니다.특히, $x$ 의 점 x $(\style$ x)와 $x$ y $(\displaystyle$ y $)$ 를 $y$ 위상적으로 구별할 수 없는 경우 x $(\displaystyle$ x $)$ 로 $x$ 수렴하는 시퀀스는 y $(\displaystyle$ y $)$ 로 $y$ 수렴해야 합니다.

코시 수열

파란색으로 표시된 코시 시퀀스(x_n)의 플롯은 x

x_{n}

(\

displaystyle x_{n})

대

x_{n}

n입니다.시각적으로 수열 내의 항이 n이 증가함에 따라 서로 가까워짐에 따라 수열이 한계점으로 수렴되는 것을 알 수 있습니다.실수에서는 모든 코시 시퀀스가 어느 정도 한계로 수렴됩니다.

코시 수열은 충분한 수의 초기 항이 폐기된 후 최종적으로 서로 임의로 가까워지는 수열입니다.코시 수열의 개념은 미터법 공간에서의 수열 연구, 특히 실제 분석에서 중요하다.실제 분석에서 특히 중요한 결과 중 하나는 시퀀스의 수렴을 위한 코시 기준입니다.실수의 시퀀스는 코시 수열일 경우에만 수렴됩니다.이는 다른 완전한 메트릭 공간에서도 마찬가지입니다.

초실수의 정의

초실수 값을 사용한 한계의 정의는 지수의 "매우 큰" 값에 대해 해당 항이 한계에 "매우 근접"하다는 직관을 공식화한다.보다 정확히 말하면 $(x_{n})$ $(x_{n})$ 무한 초자연 H에 $x_{H}$ x H $(\$ $n})$ 라는 $(x_{n})$ $x_{H}$ 가 L을 나타내는 경향이 있다. $H}}$ 는 $x_{H}$ L에 무한히 가깝습니다( $x_{H}-L$ , $x_{H}-L$ x $x_{H}-L$ H $x_{H}-L$ - $x_{H}-L$ ({ $displaystyle x_{H}-L})$ 은 $x_{H}-L$ 극소수입니다).마찬가지로 L은 x $x_{H}$ 의 $x_{H}$ 부품입니다(x { $display style$ x $x_{H}$ _ { $H}}$

{\displaystyle L=syslogrm {st}}(x_{H}).,

따라서 한계는 다음 공식에 의해 정의될 수 있다.

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=syslogrm {st}}(x_{)H } ) )

여기서 한계는 무한 H의 선택과 무관할 경우에만 존재한다.

「」를 참조해 주세요.

함수의 한계 – 함수가 토폴로지로 수렴되는 지점
한계점
상한 상한 및 하한 하한 하한 하한
컨버전스 모드
[Limit of net] :넷은 시퀀스의 토폴로지적인 일반화입니다.
집합 이론 한계
시프트 규칙
Successive limit(후속 제한) – 일부 후속 제한

메모들

^ ^a ^b Courant(1961), 페이지 29.
^ Weisstein, Eric W. "Convergent Sequence". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-18.
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^ 밴 루이, H. (1984년)그레고리우스 a Sancto Vincentio (1584–1667)의 수학 원고에 대한 연대기와 역사적 분석.Historia Mathematica, 11(1), 57-75.
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증명서

^ 증명: N $N=1.$ . $N=1.$ { $displaystyle$ N $=1 .$ } $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ $n\geq N,$ $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ $n\geq N,$ N $n\geq N,$ \ $display$ $style$ n \ $geq$ N $n\geq N,$ 、 x $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ - $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ < $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ \ $display$ style x $_$ { $n$ } - c $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ = $0$ < \ varepsilon $}$ 을 $N=1.$ 합니다.
^ $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ : N $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ 1 $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ + $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ { $displaystyle$ N = \ $left$ \ $lfloor }$ \ $frac$ {1} ${\ varepsilon$ } \ right \ $loor$ + $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ 1 ( $플로어$ 기능)을 선택합니다. $n$ 마다 $,$ {\ $style$ n\ $geq$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $n\geq N,$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $,}$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ n - $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ 1 $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ 1 / $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ + $1$ .. $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ { $displaystyle x$ _ { $n$ } - $0 \leq x _$ { N } = $frac$ {1} ${\loor$ 1/\ $varepsilon$ + 1 } . $arevilon$

레퍼런스

Császár, Ákos (1978). General topology. Translated by Császár, Klára. Bristol England: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Courant, Richard(1961년).글래스고, Blackie & Son, Ltd., "미적분 1권"
Frank Morley와 James Harkness 함수 이론에 관한 논문 (뉴욕: Macmillan, 1893)

외부 링크

"Limit", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
한계를 포함한 미적분의 역사

[Courant_(1961),_p._29-1] Courant(1961), 페이지 29.

[2] Weisstein, Eric W. "Convergent Sequence". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-18.

[3] Courant(1961), 39페이지.

[4] 밴 루이, H. (1984년)그레고리우스 a Sancto Vincentio (1584–1667)의 수학 원고에 대한 연대기와 역사적 분석.Historia Mathematica, 11(1), 57-75.

[:0-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h "Limits of Sequences Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-18.

[8] Weisstein, Eric W. "Limit". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-18.

[FOOTNOTEDugundji1966209–210-9] Dugundji 1966, 페이지 209~210.

[FOOTNOTECsászár197861-10] CsaaSzar 1978, 페이지 61. sfn 오류: 대상 없음: CITREFCsaaSsaaSr1978(도움말)

[11] Zeidler, Eberhard (1995). Applied functional analysis : main principles and their applications (1 ed.). New York: Springer-Verlag. p. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.

[5] 증명: N $N=1.$ . $N=1.$ { $displaystyle$ N $=1 .$ } $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ $n\geq N,$ $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ $n\geq N,$ N $n\geq N,$ \ $display$ $style$ n \ $geq$ N $n\geq N,$ 、 x $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ - $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ < $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ \ $display$ style x $_$ { $n$ } - c $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$ = $0$ < \ varepsilon $}$ 을 $N=1.$ 합니다.

[7] $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ : N $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ 1 $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ + $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ { $displaystyle$ N = \ $left$ \ $lfloor }$ \ $frac$ {1} ${\ varepsilon$ } \ right \ $loor$ + $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ 1 ( $플로어$ 기능)을 선택합니다. $n$ 마다 $,$ {\ $style$ n\ $geq$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $n\geq N,$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $,}$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ n - $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ 1 $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ 1 / $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ + $1$ .. $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon .$ { $displaystyle x$ _ { $n$ } - $0 \leq x _$ { N } = $frac$ {1} ${\loor$ 1/\ $varepsilon$ + 1 } . $arevilon$

[1]

[2]

[3]

[4]

[proof 2]

[5]

v t 미적분학.
계산 전	이항 정리 오목함수 연속 함수 요인 유한차이 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 섹트 경사 접선
한계	부정 형식 함수의 한계 단측 한계 시퀀스의 제한 근사순서 제한의 정의(약어, ))-한도의 정의
미적분	파생상품 이차 도함수 편도함수 차동 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합 체인 로피탈스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타 기술 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련 요금 정지점 제1도함수 검정 2차 도함수 극단값 정리 맥시멈과 미니마 기타 응용 프로그램 뉴턴의 방법 테일러의 정리 미분 방정식 상미분 방정식 편미분 방정식 확률 미분 방정식
적분학	반파생적 호 길이 리만 적분 기본 속성 통합 상수 미적분의 기본 정리 적분 기호로 구분 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각형의 오일러 접선 반각 치환 적분에서의 부분 분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방법 셸 방식 적분 방정식 적분 미분 방정식
벡터 미적분	파생상품 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 인테그레이션 녹색의 스토크스 가우스
다변수 미적분	발산 정리 기하학 헤시안 행렬 야코비 행렬과 행렬식 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 편도함수 표면적분 볼륨 적분 상세 토픽 미분 형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분
시퀀스 및 시리즈	산술-기하수열 시리즈의 종류 교대로 이항 푸리에 기하학 고조파 인피니트 힘 마크로린 테일러 텔레스코핑 수렴 테스트 아벨스 교대 급수 코시 응축 직접 비교 디리클레즈 일체형 한계 비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 및 숫자	베르누이 수 e(역학적 상수) 지수 함수 자연 로그 스털링 근사
미적분의 역사	적절성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소수 미적분학 아이작 뉴턴 플럭션 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션법 역학적 이론의 방법
리스트	차별화 규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡선 함수의 적분 목록 역쌍곡선 함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 비합리함수 적분 목록 로그 함수 적분 목록 합리적인 함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 섹트 세컨트 큐브 제한 목록 적분 목록
기타 토픽	복소 미적분 등고선 적분 미분 지오메트리 다지관 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-마클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 22/7이 †를 초과하는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 슈타인메츠 고체

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