미터법 공간

수학에서 메트릭 공간은 집합의 메트릭과 함께 집합입니다.메트릭은 집합의 두 멤버 사이의 거리 개념을 정의하는 함수이며, 일반적으로 점이라고 합니다.메트릭은 다음 속성을 충족합니다.

• A와 B가 같은 점일 경우에만 A에서 B까지의 거리는 0이다.
• 두 점 사이의 거리가 양수이다.
• A에서 B까지의 거리는 B에서 A까지의 거리와 같다.
• A에서 B까지의 거리는 제3의 지점 C를 통해 A에서 B까지의 거리보다 작거나 같다.

공간상의 메트릭은 열린 집합과 닫힌 집합과 같은 위상 특성을 유도하며, 이는 보다 추상적인 위상 공간의 연구로 이어진다.

가장 친숙한 메트릭 공간은 3차원 유클리드 공간이다.사실, "metric"은 유클리드 거리의 오랫동안 알려진 네 가지 특성에서 비롯된 유클리드 측정법의 일반화이다.유클리드 메트릭은 두 점 사이의 거리를 두 점을 연결하는 직선 세그먼트의 길이로 정의합니다.예를 들어, 타원 기하학과 쌍곡 기하학에서 다른 미터법 공간이 발생하는데, 각도로 측정된 구상의 거리는 미터법이고 쌍곡 기하학의 쌍곡선 모델은 속도의 미터법 공간으로서 특수 상대성에 의해 사용됩니다.비기하학적 메트릭 공간 중 일부는 다음을 갖춘 유한 문자열 공간(사전 정의된 알파벳에서 기호의 유한 시퀀스)을 포함한다.해밍 거리 또는 Levenshtein 거리, 하우스도르프 거리를 갖춘 메트릭 공간의 서브셋 공간, 단위 간격으로 $적분$할 수 있는 실제 함수의 공간${\displaystyle d}$(${\displaystyle f}$, g ) ${\displaystyle ={\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle 1{}_{}^{}}$f (${\displaystyle x}$) -$g$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle d}$ { d x \ $display style$d ( f , g ) = \ $int${ 0 }^$1$( x ) \ $vert$ f ($x$ ) \ vert f ( x )robability는 Wasserstein 메트릭_p W$(\$ p$\in \mathbb {R$}$$ $_{\geq$1)를 갖춘 임의의 메트릭스페이스의 보렐 시그마 대수 측정입니다.「메트릭 스페이스의 예」의 항도 참조해 주세요.

역사

이 섹션은 유클리드 측정법을 일반화하는 이유, 최초로 연구된 비유클리드 측정법, 수학의 결과 등과 함께 확장이 필요하다.여기에 추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2011년 8월)

1906년 Maurice Fréch는 Sur quelques points du calculptionnel에서 ^[1]미터법을 도입했다.하지만 이름은 펠릭스 하우스도르프 때문이다.

정의.

메트릭 공간은 순서쌍$,$ d$)$입니다$($$M${$displaystyle$$$M$}$은 $세트$, d {$displaystyle$ d$}$는 M$${$displaystyle$ M$\}$의 메트릭, 즉 함수).

$\displaystyle d,\colon M\times M에서\mathbb {R}까지$

$임의$의${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle \mu }$M(\$displaystyle$ x$,y,z\in$ M$)$에 대해 다음이 ^[2]유지되도록 합니다.

1.	${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$	식별 불능의 동일성
2.	${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$	대칭
3.	$\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$	부가산성 또는 삼각 부등식

위의 3가지 공리를 고려하면 임의의 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$${\displaystyle }$${\displaystyle m}$M \$displaystyle$ x,$y$ ${\displaystyle 0}$ \$displaystyle$ d $( x$ ,$y$ ) \ $geq$ 0$for$ ${\displaystyle 。}$이것은 (위에서 $아래$로) 다음과 같이 추론됩니다.

$\displaystyle d(x,y)+d(y,x)\geq d(x,x)}$	삼각 부등식으로
$\displaystyle d(x,y)+d(x,y)\geq d(x,x)}$	대칭으로
${\displaystyle 2d(x,y)\geq 0}$	분별할 수 없는 존재로
$\displaystyle d(x,y)\geq 0}$	우리는 부정적이지 않다

$\displaystyle$d는$$ 거리 함수 또는 단순 거리라고도 합니다.$d{\displaystyle }$\$displaystyle$d는$$종종 생략되고 사용되는 메트릭이 컨텍스트에서 명확할 경우 메트릭 공간에$$M\$displaystyle$M이라고$$ $씁니다{\displaystyle }$.

수학적인 세부사항을 무시하더라도, 도로와 지형 시스템의 경우, 두 위치 사이의 거리는 이러한 위치를 연결하는 최단 경로의 길이로 정의할 수 있다.미터법이 되려면 일방통행도로는 없어야 한다.삼각 부등식은 우회로가 지름길이 아니라는 사실을 표현한다.두 점 사이의 거리가 0이면 두 점을 서로 구별할 수 없습니다.아래의 예 중 많은 것들이 이 일반적인 아이디어의 구체적인 버전이라고 볼 수 있다.

메트릭 공간의 예

• 거리 함수${\displaystyle }d{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ ) $=$ -${\displaystyle }{\displaystyle x}$ (\$displaystyle$ d$(x,y$)= $y-x }$의 실수, 그리고 보다 일반적으로 유클리드 거리를 갖는 유클리드 n-공간은 완전한 메트릭 공간이다.거리 함수가 같은 유리 숫자도 메트릭 공간을 형성하지만 완전한 값은 아닙니다.
• 거리 $함수{\displaystyle }$d (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) $=$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle y}$ /${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ d$(x,y$)=\$left \log(y/x)\right}$의 양의 실수는 완전한 메트릭 공간입니다.
• 노름 벡터 공간은 d${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) $=$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle y}$ - ${\displaystyle x}$ \ $display$ d $( x$ , y )= \ $lVert$y - x \$rVert$ $\}$ 를 $정의$하는 메트릭 공간입니다. 벡터 공간에 대한 메트릭도 참조하십시오.(이러한 공간이 완성되면 바나흐 공간이라고 부릅니다.)예:
  • 맨하탄 노름은 맨하탄 거리를 발생시킵니다. 여기서 두 점 사이의 거리 또는 벡터는 대응하는 좌표 간의 차이의 합입니다.
  • 순환 만하임 메트릭 또는 만하임 거리는 맨해튼 ^[3][4]메트릭의 모듈로 변형입니다.
  • 최대 노름은 체비셰프 거리 또는 체스보드 거리를 발생시킵니다. 체스 킹이$x$에서$y$로 $이동$할 때 취할 수 있는 최소한의 움직임입니다$.$
• 노름 벡터 공간의 영국 레일 메트릭("우체국 메트릭" 또는 "SNCF 메트릭"이라고도 함)은 d${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,y}$ ) ${\displaystyle =x}$ x${\displaystyle \Vert }$ +${\displaystyle y}$ y$$ { $displaystyle$d ($x$, y ) = \ $lVert$x \ $rVert$ + \ vert$}$ (x $style )$로 $구분$됩니다$.$e 일반적으로${\displaystyle }$\$displaystyle\lVert\rVert$는 임의의$$ $집합{\displaystyle }$ S$(\displaystyle$ S$)$를 음이 아닌 실수로 설정하고 $최대{\displaystyle \mathrm{}}$ 값$0$(\$displaystyle$ 0$)$을 취하는 $함수{\displaystyle }$f(\$displaystyle$ f$)$로 대체할 수 있습니다. 그러면 메트릭은$$S${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ S$)$에 d${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle }$y )${\displaystyle }$+ f${\displaystyle )}$로 정의됩니다.$f$${\displaystyle }$(${\displaystyle y}$) \ $displaystyle$$d{\displaystyle }$$( x$ ,$y$$$$$)$$$= f$ ($x$ ) +$f$ ($y$ )$$、 $d{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle x}$ ) $=$0 \ $displaystyle$d ($x$ , x )= $0$${\displaystyle \mathrm{이<img\; alt="d(x,y)\; =\; f(x)\; +\; f(y)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e44b8ac740a7bb352af64910a98e844862b901a9"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:21.144ex;\; height:2.843ex;">}}$ 이름은 최종 목적지에 관계없이 런던(또는 파리)을 경유하는 철도 여행의 경향을 나타냅니다.
• $($ ${\displaystyle M}$,${\displaystyle d}$ )$${ $displaystyle ( M$ , $d$) 、 X$${ $displaystyle$ X$$}가 M$${ $displaystyle$ M$$}의 서브셋인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$, (${\displaystyle }$X , d$$)${\displaystyle }${ $displaystyle$( X${\displaystyle }$,$d$ )의 ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$을${\displaystyle }$X ×$X$로 제한하여 메트릭 공간이 됩니다$.$
• 이산 메트릭${\displaystyle (x,y}$ ) $=$ ${\displaystyle 0}$ {$displaystyle$ d$(x,y$)= $0$$$} $if{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $=$ y {\$displaystyle$ x$=$y$$}${\displaystyle }$및 $d{\displaystyle (x,}$y) $=$ ${\displaystyle 1}$ {$displaystyle d(x$,y)=$1})$는 간단하지만 모든 세트에 적용할 수 있습니다.이는 특히 어떤 세트에 대해서도 항상 메트릭 공간이 관련되어 있음을 나타냅니다.이 메트릭을 사용하면 임의의 포인트의 싱글톤이 오픈볼이므로 모든 서브셋이 오픈되고 공간에 이산 위상이 있습니다.
• 유한 메트릭 공간은 유한한 수의 포인트를 가진 메트릭 공간입니다.모든 유한 미터법 공간이 유클리드 ^[5][6]공간에 등각적으로 포함될 수 있는 것은 아니다.
• 쌍곡면은 미터법 공간이다.보다 일반적으로:
  • M$${\$displaystyle$ M$}$이 연결된 Riemannian 매니폴드인 $경우{\displaystyle }$ 두 점을 연결하는 경로 길이(연속 미분 가능 곡선)의 최소값으로 정의하여 M$${\$displaystyle$ M$}$을 $메트릭{\displaystyle }$ 공간으로 변환할 수 있습니다.
• X$({displaystyle$ X$}$가 어떤 $집합$이고$$M({$displaystyle$M})이 메트릭 공간인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ 모든 경계 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$({$displaystyle$ f$\display$ X$\to$M})($$즉${\displaystyle ,}$ 이미지가 M$({displaystyle$M$\})$의 $경계{\displaystyle }$ 하위 집합인 함수 f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \underset{}{\to }}$ ${\displaystyle \underset{}{M}}$({displaystyle X})의 집합을 ${\displaystyle \underset{}{메트릭}}$ 공간으로 변환할 수 ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}$.$f$ ${\displaystyle (x}$) ,${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$x )$$、 { $displaystyle$d ($f$ , g ) = \ $sup$_ {$x$ \ $in$ X $} d$$$ ($f$ ($x$ , g ($x$ ) } ） 。$유계{\displaystyle }$ 함수$$f { \ $displaystyle$f$$}$및$ g { \ $displaystyle$ g$$$}$^[7] ( sup )$$。이 메트릭을 균일한 메트릭 또는 최고 메트릭이라고 하며$,$ M(\$displaystyle$M)이$$ 완성되면 이 기능 공간도 완성됩니다.X가 토폴로지 공간인 경우$,$ M이 토폴로지 공간인 경우 X$(\displaystyle$ X)에서 M$(\displaystyle$ M$)$까지의 모든 경계 연속 함수 집합도 완전한 메트릭이 됩니다.
• G$(\displaystyle$ G$)$가 무방향 연결 그래프인 $경우{\displaystyle }$ d${\displaystyle (x,}$ $)$ {$displaystyle$ d$(x,y)}$를 $정점$과 y$(\$$displaystyle$ x$)$를 연결하는 최단 경로의 길이로 $정의$하여 G$(\displaystyle$ G$)$의 정점 $집합{\displaystyle }$V(\$displaystyle$V)를$$ 메트릭 공간으로 변환할 수 있습니다.$tyle$ y$\}$을 클릭합니다.이를 최단 경로 거리 또는 측지 거리라고도 합니다.기하학적 군 이론에서 이것은 그룹의 케일리 그래프에 적용되어 미터법이라는 단어를 만들어낸다.
• 그래프 편집 거리는 두 그래프 간의 차이를 나타내는 척도로, 한 그래프를 다른 그래프로 변환하는 데 필요한 최소 그래프 편집 작업 수로 정의됩니다.
• Levenshtein distance는 두 $문자열{\displaystyle }$u(\$displaystyle$$$u$)$와 $v{\displaystyle }$$(\displaystyle$ v$)$ $사이$의 차이를 나타내는 수치입니다.이 값은 문자 삭제, 삽입 또는 $치환$의 최소 수로$$정의됩니다$$.이는 그래프에서 최단 경로 메트릭의 특수한 경우로 생각할 수 있으며 편집 거리의 한 예입니다.
• 미터법 공간$({\displaystyle X}$,$$${\displaystyle \mathrm{d}}$$)$ {$displaystyle$ $(X, d)}$ 및 증가$$ ${\displaystyle \mathrm{오목함수}}$ f${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{}}$display$$ ${\displaystyle \to }$ [$0 ,$ display （$displaystyle f$ \ $infty ）$ \ $to$ [ 0 , \ infty$}$이 주어진 $경우{\displaystyle }$ $f{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ 0 , \ $displaystyle$$f$ ( x ) $=$ $0$$$。$(디스플레이 스타일$ X$)$
• 임의의 $A$에서 메트릭${\displaystyle }$공간 (${\displaystyle X,}$ $)$ ($X$, $d),$ $d{\displaystyle }$(${\displaystyle x),f}$(${\displaystyle y)}$ (x), f (y$)$ ($displaystyle$ d (x), f (y))에 대한 주입 $함수{\displaystyle }$f {$displaystyle$ d$(x, f(y)}$가 주어진$$ 경우$,$ A {$displaystyle$ A$\}$에 메트릭을 정의합니다.
• T이론을 사용하면 메트릭 공간의 좁은 범위도 메트릭 공간입니다.좁은 스팬은 여러 유형의 분석에 유용합니다.
• 일부 필드에 걸쳐 $n개의${\$displaystyle$ n$$$}$ 행렬에 $의한{\displaystyle }$ $모든{\displaystyle }$m {$displaystyle$ m$$$}$ 집합은 순위 ${\displaystyle \mathrm{거리}}$d$($Y ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ n ${\displaystyle k(Y}$ - X${\displaystyle }$)$=$ \$mathrm${rank$}(Y-X$에 대한 메트릭 공간입니다.
• 헬리 메트릭은 게임 이론에서 사용됩니다.

오픈 및 클로즈드 세트, 토폴로지 및 컨버전스

모든 메트릭 공간은 자연스러운 방식으로 토폴로지 공간이기 때문에 일반 토폴로지 공간에 대한 모든 정의와 이론이 모든 메트릭 공간에도 적용됩니다.

미터법 $M$의 임의의 점$x{\displaystyle }$(\$displaystyle$x$)$에 대해 x$(\displaystyle$ x$)$에 대해 반경 (여기서 r$\displaystyle$ r$)$의 오픈볼을 세트로 정의합니다.

${\displaystyle B(x;r)=\{y\in M:d(x,y)<r\}$

이 열린 공은 M 위의 토폴로지의 기초를 형성하여 토폴로지 공간이 됩니다.

만약 U의 모든 x{\displaystyle)}에{U\displaystyle} r을 존재하는 명시적으로, M{M\displaystyle}의 부분 집합 U{U\displaystyle}개방,라고 불린다 0{\displaystyle r>0}가 B){B(x;r)\displaystyle}은 에 포함된 U{U\displaystyle}. 그 보어의 열린 집합입니다.ca은닫혔다.$점{\displaystyle }$x({$displaystyle$x}) 근방은 M$({displaystyle$ M$})$의 서브셋으로 x$({displaystyle$x})에 대한 오픈볼을 서브셋으로 포함하는 임의의 서브셋입니다.

미터법 공간으로부터 이러한 방식으로 발생할 수 있는 위상 공간을 미터법 공간이라고 합니다.

만일 모든 ε>에 0{\displaystyle \varepsilon>0}, 자연수 N가 d(),))<>ε{\displaystyle d(x_{n},x)< 존재하는 계량 공간 M{M\displaystyle}의 순서()n{\displaystyle x_{n}})는 제한)∈ M{\displaystylex\in M}에 모일 것;\var다고 한다.엡실론} n $>$ \ $displaystyle$ n > $N$。따라서 모든 토폴로지 공간에서 사용할 수 있는 컨버전스의 일반적인 정의를 사용할 수 있습니다.

M(\$displaystyle$ M$)$의 한계값으로 수렴하는$A$(\$displaystyle$A$$)의 모든 시퀀스가$A$(\$displaystyle$ A$)$의 한계를 갖는 경우에만 메트릭 $공간{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$의 하위 $집합{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$가 닫힙니다.

메트릭 공간의 유형

전체 공간

모든 Cauchy 시퀀스가$$M {\$displaystyle$ M$\}$으로 수렴되는 경우 메트릭$공간{\displaystyle }$ M {$displaystyle$ M$}$은 완전하다고 합니다.즉$,$ d${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$n , ${\displaystyle {}_{}{m}_{}}$ ) ${\displaystyle \to }$ { $displaystyle$d ( $x n$ , $x _$ { $m$) \ $to$ 0$$} 이므로 n { $displaystyle$ n$$} $및$ m { $displaystyle$ m$$${\displaystyle \}}$는 각각 $독립적$으로 $무한대$로 이동합니다.${\displaystyle }$$d$ ( ${\displaystyle x_{}}$n ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle \to }$ { $displaystyle$$$d$(x_{n},y)\$ to $0$ $。$

모든 유클리드 공간은 완전한 공간의 모든 닫힌 부분집합처럼 완전하다.절대값 $메트릭{\displaystyle }$ d${\displaystyle (x}$,${\displaystyle y}$ ) $=$ - y$(x,y$)=\$vert x-y$$vert$를 사용하는 유리수는 완전하지 않습니다.

모든 미터법 공간에는 고유(등각계까지) 완성도가 있으며, 이는 주어진 공간을 조밀한 부분 집합으로 포함하는 완전한 공간입니다.예를 들어, 실수는 유리수의 완성이다.

X$(\displaystyle$ X$)$가 메트릭 $공간{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$의 완전한 서브셋인 $경우{\displaystyle }$ $(\displaystyle$ X$)$는 M$(\displaystyle$ M$)$으로 닫힙니다. 실제로 공간이 완전히 닫힌 것은 포함된 메트릭 공간 내에서 닫힌 경우뿐입니다.

모든 완전한 메트릭 공간은 Baire 공간입니다.

유계 및 완전 유계 공간

약간 수 r{r\displaystyle} 있는 것처럼 d모든 x에≤ r{\displaystyle d(x, y)\leq r}(), y), y∈ M가 존재하는 계량 공간 M{M\displaystyle}.mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}bounded.{\displaystyle x,y\in M.}가장 작은 가능하 r{년이라고 불린다.Displaystyle r}M.{M.\displaystyle} 여의 직경이라고 불립니다.E우주 M{M\displaystyle}precompact면 전적으로 모든 r을에 의해;0{\displaystyle r>0}이 이러한 공이 센터의 세트 한정되어 있는 노조다.{M.\displaystyle}을 덮어 반지름 r{r\displaystyle}의 유한하게 많은 열려 공을 존재한다면 그것의 fol 한정된 지름이라 불린다.최저 기온은(삼각형 부등식)을 사용하여 모든 완전한 유계 공간은 유계된다.어떤 무한 집합도 그것이 경계가 되어도 완전히 경계가 되지 않는 이산 메트릭(위의 예 중 하나)이 주어질 수 있기 때문에, 그 반대가 유지되지 않는다.

유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n$(\$^{$n})$의 실수 공간 및 경우에 따라서는 영역 내의 간격의 맥락에서 유계 집합을 "유한 간격" 또는 "유한 영역"이라고 합니다.그러나 일반적으로 유계성은 집합의 확장 범위가 아닌 요소의 수를 나타내는 "유한"과 혼동해서는 안 된다. 최종성은 유계성을 의미하지만, 그 반대는 아니다.${\displaystyle {}^{}}$ R n$(\displaystyle \mathbb${R}$^{n$})의 무한 서브셋은 유한 부피를 가질 수 있습니다.

콤팩트한 공간

메트릭 공간 M({$displaystyle$M})은$$M$({$displaystyle M})의 모든 시퀀스가 M$({displaystyle$M$\})$의 점으로 수렴되는 경우 콤팩트합니다.이것은 순차 콤팩트라고 불리며, 메트릭 공간(일반 토폴로지 공간에서는 제외)에서는 계산 가능한 콤팩트성의 위상 개념과 동일합니다.d 오픈 커버를 통해 정의된 콤팩트함.

콤팩트 메트릭 공간의 예로는 절대값 메트릭을 사용하는 닫힌 간격 $[{\displaystyle 0,}$ $](\displaystyle [0,$1$$$]),$ 점이 완전히 많은 모든 메트릭 공간, 칸토어 집합 등이 있습니다.콤팩트한 공간의 모든 닫힌 부분 집합은 그 자체로 콤팩트합니다.

메트릭 공간은 완전하고 완전한 경계가 있는 경우에만 컴팩트합니다.이것은 하이네-보렐 정리라고 알려져 있다.콤팩트성은 토폴로지에 의해서만 달라지는 반면, 경계성은 메트릭에 의해서 달라지는 것에 주의해 주세요.

Lebegue의 숫자 보조어는 콤팩트 미터법 $공간{\displaystyle }$M의$$$모든$ 열린 커버에 대해 "Lebegue 번호" ${\$ { $displaystyle \delta$}이 존재하며 r< { $displaystyle$ r < \$delta }$의 M$${ displaystyle M$}$의 모든 서브셋이 커버의 일부에 포함된다는 것을 나타냅니다.

모든 콤팩트 메트릭 공간은 두 번째 계산 가능하며 ^[8]칸토어 집합의 연속 이미지입니다(후자의 결과는 Pavel Alexandrov와 Uryson에 의한 것입니다).

로컬로 콤팩트하고 적절한 공간

메트릭 공간은 모든 점이 콤팩트한 근방을 가지면 로컬로 콤팩트하다고 합니다.유클리드 공간은 국소적으로 콤팩트하지만 무한 차원 바나흐 공간은 그렇지 않습니다.

모든 ${\displaystyle \mathrm{닫힌}}{\displaystyle }$볼 {${\displaystyle y}$ :${\displaystyle }$d${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$y )${\displaystyle r}$ r$$ { $displaystyle$\ {$y$ , \ $colon d$ ( $x$, y )\$leq$ r$$\} 이$$ 콤팩트한 경우 공백이 적절합니다.적절한 공간은 로컬로 압축되지만 일반적으로 그 반대는 사실이 아닙니다.

접속성

열린 서브셋과 닫힌 서브셋이 모두 빈 세트 및 $(디스플레이 스타일$ M$$$)$ 자체인 경우 메트릭 $공간{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$이 연결됩니다.

메트릭 $공간{\displaystyle }$M({$displaystyle$ M$})$은 두 점 $x{\displaystyle ,}$ y ${\displaystyle y}$M$({displaystyle$ x$,y\in$ M$)$에 대해 f${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[0,${\displaystyle 1}$]$$$→$ M({$displaystyle$ f$\display$ [$0,1]\to$ M$)$이 f ($0$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ x {$displaystyle$f($0)$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1)}및{\displaystyle }$ f(\displaystyle y$)$의 연속 $맵$이 존재하는 경우 경로로 연결됩니다.ed, 하지만 그 반대는 일반적으로 사실이 아닙니다.

로컬로 연결된 공간과 로컬 경로로 연결된 공간이라는 정의의 로컬 버전도 있습니다.

단순하게 연결된 공간은 어떤 의미에서 "구멍"이 없는 공간입니다.

분리 가능한 공간

메트릭 공간은 셀 수 있는 고밀도 서브셋이 있는 경우 분리 가능한 공간입니다.대표적인 예는 실수나 유클리드 공간이다.미터법 공간(일반 위상 공간에는 해당되지 않음)의 경우 분리성은 두 번째 계수 가능성과 동등하며 린델뢰프 특성과도 같다.

포인트 메트릭스페이스

X$(\displaystyle$ X$)$가 메트릭 공간이고 x 0(\$displaystyle x_{0$}\$in$$$X$){\displaystyle }$인 $경우{\displaystyle }$ ($,$x $)$은 포인트 메트릭 공간, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0(\$displaystyle x_{0$$})$은 식별점이라고 합니다.포인트 메트릭 공간은 특정 포인트에 주의를 기울이는 비어 있지 않은 메트릭 공간일 뿐이며, 비어 있지 않은 메트릭 공간은 포인트 메트릭 공간으로 볼 수 있습니다.특정 컨텍스트에서 인정점은 0과 유사한 동작을 하기 때문에 0$(\style$ 0$)$으로 $표시$될 수 있습니다.

메트릭 공간 간 맵 유형

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)$${ $displaystyle$($M_{1}$ , ${\displaystyle {}_{}}$${1}$)및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{d\mathrm{}}_{}}$2)$${$style$ ($M_{2}, d_{2})$이 2개의 메트릭스페이스라고 합니다.

연속 지도

$맵{\displaystyle }$f : ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$2 (\$displaystyle$ f$,\displaystyle M_{$1}\$to$M_{2})는$$ 다음과 같은 동등한 속성이 하나(따라서 모두) 있는 경우 연속됩니다.

일반적인 토폴로지 연속성

${\displaystyle {M2}_{}}$의$모든{\displaystyle {}_{}}$ 열린 $세트{\displaystyle }$U({$displaystyle$$$$M_{2$에 대해 $프리이미지{\displaystyle {}^{\mathrm{f-1}}}$[$]({displaystyle$ f$^{-1}[U])$는$$에서 $열립니다{\displaystyle {}_{}}$({$displaystyle M_{1}).$

이것이 토폴로지에서의 연속성의 일반적인 정의입니다.

시퀀셜 연속성

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle x_{}}$n )$${ $displaystyle$$$( x$_$ { $n$) $a$ 、 ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1$$（ { $displaystyle$ $M$_ {$$n${\displaystyle {}_{}}$} ） {\ in in in in in in ${\displaystyle \mathrm{in}}$ 、${\displaystyle }$f ( $x$ n$$) { $displaystyle$$$$($f ( $x _$ { n$$$$) ）${\displaystyle }$、 ${\displaystyle {M2\mathrm{}}_{}}$（${\displaystyle }$$displaystyle M$$_$$2$） $m$ ( f ( ${\displaystyle x}$) 。

이것은 Eduard Hine에 의한 순차적 연속성입니다.

θ-timeout 정의

모든 $x{\displaystyle {}_{}}$ $({$ x$\in$ M_${1})$ 및$$ >(\$displaystyle$ $\varepsilon$> $0)$에 대해$>$ (\$displaystyle \delta$> 0)이 존재하며,$$$(\$$displaystyle$ M_{1$})$의 모든 y(\$displaystyle$y$$)에 대해 0)가 존재합니다.

$$\displaystyle d_{1}(x,y) <\display \displaysylon d_{2}(f(x),f(y) <\varepsilon .}$$

이는 (,, ))-한계 정의를 사용하며, Augustin Louis Cauchy에 기인합니다.

$또한{\displaystyle }$ f$\$$displaystyle$$$f는$$ $M1의$ 콤팩트 서브셋에서 연속인 경우에만 연속입니다$.$

연속 함수 하의 모든 콤팩트 세트의 영상은 콤팩트하고 연속 함수 하의 모든 연결된 세트의 영상은 연결됩니다.

균일 연속 지도

${\displaystyle }$f : ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (\$displaystyle$ f$,\display$ M_${1}\to$ M_${2})$는 0$(\displaystyle \varepsilon$> 0$)$마다 $0(\displaystyle \varepsilon$> 0)이 존재하는 경우 균일하게 연속됩니다.

${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x,f(y))<\varepsilon \quad {mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$

${\displaystyle {}_{}}$ 균일 연속 지도${\displaystyle }f{\displaystyle }$ : ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 2 $(\$ f$,\display M_{1}\to$ M_${2}})$는 연속이다.${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1$({$ M_${1})$이 콤팩트한 $경우{\displaystyle {}_{}}$(Heine-Cantor 정리)는 그 반대입니다.

균일하게 연속되는 맵은 ${\displaystyle {M1}_{}}$의$$코시 시퀀스({$displaystyle M_{1})$를 ${\displaystyle {M2}_{}}$의$$코시 시퀀스({$displaystyle M_{2$로 변환합니다.연속적인 맵의 경우 일반적으로 잘못된${\displaystyle }$것입니다.$예$를$들어$ 열린$$간격(0$,$1)에서 실제 라인으로 연속되는 맵은 일부 코시 시퀀스를 언바운드로 변환합니다.ed 시퀀스

립시츠 연속 지도와 수축

$K{\displaystyle }$> { $display style$ K > $0$} 의 경우 맵 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { \ $displaystyle$ f , \ $display$ M _ { 1 \ $to$M _ {$2$ } 은$$ K-Lipschitz 연속입니다.

${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y)\leq Kd_{1}(x,y)\quad {mbox{for all}}\quad x,y\in M_1}.}$

모든 립시츠 연속 지도는 균일하게 연속적이지만, 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.

K< { $displaystyle$K < $1$이면$$f { $displaystyle$ f$}$는 수축이라고 불립니다.${\displaystyle {M2\mathrm{}}_{}}$ $=$ $({$}=$M_{1})$ $및$ $({$이 완료되었다고 $가정$합니다.$\displaystyle$f가 수축인$$ 경우$$f\$displaystyle$f는$$ 고유한 $고정점{\displaystyle }$(Banach 고정점 정리)을 허용합니다.${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1$({$이 컴팩트한 경우 $조건$이 다소 약해질 수 있습니다$.$ {\$displaystyle$ f$}$는 다음과 같은 경우 고유한 고정점을 허용합니다.

( () , ()< ( , ) x M < $displaystyle$ d $( f$ ($x$ ) ,$f$ ($y$ ) <$d$ ( x , y ) > < d ($x$ ,$y$ )\$quad { mbox$ { $for$all } \ $neq$y \ $in M$_ { $1$} 。

등각선

$지도{\displaystyle }$f : ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (\$displaystyle$ f$,\display$ M_${1}\to$ M_${2})$는 다음과 같은 경우 등각도이다.

${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y)=d_{1}(x,y)\display {mbox{for all}}\displaystyle x,y\in M_{1}}$

등각계는 항상 주입식이며, 등각계에서 콤팩트 또는 전체 세트의 이미지는 각각 콤팩트 또는 완전합니다.그러나 등각도가 투영적이지 않은 경우 닫힌(또는 열린) 세트의 영상을 닫거나 열 필요가 없습니다.

준등성

$맵{\displaystyle }$f : ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$2 (\$displaystyle$ f$,\display$ M_${1}\to$ M_${2})$는 다음과 같은 $상수{\displaystyle }$ A$$1$및$ $B{\displaystyle 0}$0 (\$displaystyle$ $B\geq$ 0$)$이 존재하는 경우 준등축이다.

${\displaystyle {1}{A}}d_{2}(f(x,f(y)})-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x,y)+B\quad {{text} for }}\quad xy\in M_1}$

${\displaystyle {M2}_{}}$의 모든 $({displaystyle$ $M_{2})$이 $이미지{\displaystyle }$ f$($의 어떤 점(\$displaystyle$ f$(M_{1$에서 최대 $(\displaystyle$C)의$$ 거리를 $갖도록{\displaystyle {}_{}}$ C $≥$ 0$displaystyle$ C$\geq$ 0$)$을 설정합니다.

준등축은 연속적일 필요가 없다는 점에 유의하십시오.준등축은 미터법의 "대규모 구조"를 비교한다; 그들은 미터법의 단어와 관련하여 기하학적 군 이론에서 사용된다.

미터법 공간 등가의 개념

2개의 메트릭스페이스$({\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {d1\mathrm{}}_{}}${$displaystyle(M_{1})$${\displaystyle }$및$$ (${\displaystyle {M2\mathrm{}}_{}}$ ${1$}) {displaystyle$(M_${2$},$ d_{$2$ {displaystyle$(M_${2}):

• 만약 그들 사이에 동형성이 존재한다면, 그들은 동형성(위상 동형성)이라고 불린다.
• 만약 그들 사이에 균일한 동형이 존재한다면, 그들은 균일한 동형(균일한 동형)이라고 불린다.
• 만약 그들 사이에 생체등각계가 존재한다면 그들은 등각계라고 불린다.이 경우 두 메트릭 공간은 기본적으로 동일합니다.
• 둘 사이에 준등축이 존재하는 경우 준등축이라고 합니다.

토폴로지 속성

메트릭 공간은 파라콤팩트^[9] 하우스도르프^[10] 공간이며, 따라서 정규 공간(실제로 완전히 정규 공간)입니다.중요한 결과는 모든 메트릭 공간이 단일성의 분할을 허용하고 메트릭 공간의 닫힌 부분 집합에 정의된 모든 연속 실수치 함수를 전체 공간의 연속 지도까지 확장할 수 있다는 것입니다(Tietze 확장 정리).또한 메트릭 공간의 하위 집합에 정의된 모든 실제 값 립시츠 연속 맵은 전체 공간의 립시츠 연속 맵으로 확장할 수 있습니다.

합리적인 반지름을 가진 공을 네이버베이스로 사용할 수 있기 때문에 메트릭스페이스는 처음에 셀 수 있습니다.

메트릭 $공간{\displaystyle }$ M$({displaystyle$M})의 메트릭 토폴로지는 M$({displaystyle$M})에서 가장 거친 토폴로지로, $메트릭{\displaystyle }$d({$displaystyle$ d$})$는 M$({displaystyle$ M$$$})$의 곱에서 음이 아닌 실수에 이르는 연속 맵입니다.

포인트와 세트 사이의 거리, 하우스도르프 거리와 그로모프 메트릭

닫힌 집합에서 점을 분리하는 함수를 구성하는 간단한 방법은(완전 정규 공간에 필요한 경우) 점과 집합 사이의 거리를 고려하는 것입니다.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$,${\displaystyle d}$ )$${ $displaystyle ( M$ , $d$) { displaystyle ( M , d ) 、$S{\displaystyle }$ { $displaystyle$ S$$} 、$$S { displaystyle M$$}의 $서브셋이고{\displaystyle }$x { $displaystyle$ x$\}$가$$M의 $점$일 $경우$ x { $displaystyle x}$에서$$S { $displaystyle$ S$}$까지의 거리는 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle 여기}$서$$inf$\displaystyle\$inf는 최소값을 나타냅니다$$.

$x{\displaystyle }$$(\displaystyle$ x$)$가 S$(\displaystyle$ S$)$의 닫힘에 속하는 $경우$에만 d$(x,$ ${\displaystyle S)}$ $=$, S$)$입니다. 또한 삼각 부등식의 일반화는 다음과 같습니다.

특히 맵 $x{\displaystyle d}$d (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle S}$) {$displaystyle$ x$\mapsto$ d$(x, S)}$가 연속임을 나타냅니다.

$M의$2개의 $서브셋{\displaystyle }$ S$(\$$displaystyle$ S$)$와 T$(\displaystyle$$$T$)$를 지정하면 Hausdorff 거리는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle 여기}$서$sup은$supremum을 $나타냅니다$$.$

$일반적$으로 Hausdorff $거리{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}H}$($$S${\displaystyle }$, ${\displaystyle T}$ ) { $displaystyle$d_${H}(S$ , T )는$$ 무한대로 할 수 있습니다.한 세트의 모든 요소가 다른 세트의 일부 요소에 가까운 경우, 두 세트는 하우스도르프 거리에서 서로 근접합니다.

하우스도르프 $거리{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ H$(\$H$}}$은$($는) $M$의 $모든{\displaystyle }$ 빈 콤팩트 서브셋의 $집합{\displaystyle }$ K$)$ {\$displaystyle$K$(M)}$를 메트릭 공간으로 변환합니다.M {$displaystyle$ M$}$이$($가) 완료되면 K$)$ {$displaystyle$ K$(M)}$이(가) $완료되었음$을 알 수 있습니다. (콤팩트 서브셋의 컨버전스는 Kuratowski 컨버전스에 의해 다른 개념이 제시됩니다.)

그런 다음 두 공간의 등각적으로 내장된 버전의 최소 하우스도르프 거리를 고려하여 두 메트릭 공간 사이의 그로모프-하우스도르프 거리를 정의할 수 있다.이 거리를 사용하면 콤팩트 메트릭 공간의 모든 클래스(등각 클래스)는 그 자체로 메트릭 공간이 된다.

제품 메트릭 공간

( ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$ , ( ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ , ${\displaystyle d_{}}$n$$) , \ $displaystyle$( M$_ {$1} , $d _$ { { $n$$$} ) , $\ldots$ , ( M$$$_$ { n , d $_${ n $\}$ )이$$ 메트릭 $공간$이고$,$ N { { $displaystyle$$N}$ R의 유클리드 표준일 경우$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1{}_{}}$$$×${\displaystyle }$M × ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$.$s \cdots \times$ M_${n}, N(d_{1},\ldots,d_{n}}{\Bigr}}$은 메트릭 공간입니다.여기서 제품 메트릭은 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle N(d_{1},\ldots,d_{n}){\Big (})(x_{1},x_{n}),(y_{1},\Big)=N{\Big (}d_{1}(x_1},y_{1}),{dots},{n},{big},$

유도 토폴로지가 제품 토폴로지와 일치합니다.유한 차원에서의 규범의 등가성에 의해$,$ N {\$displaystyle$ N$}$이 택시 노름, p-노름, 최대 노름 또는 $양$의$$n {\$displaystyle$ n$}$ -tuple의$$ 좌표 증가에 따라 감소하지 않는 기타 노름인 $경우{\displaystyle }$(삼각 부등식을 발생) 등가 측정된다.

마찬가지로 다음 메트릭을 사용하여 메트릭 공간의 계산 가능 곱을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty}{\frac {1}{2^{i}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_i}}}}}}}}.}$

메트릭 공간의 셀 수 없는 곱은 측정 가능해야 할 필요가 없습니다.예를 들어 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R$${\$displaystyle \mathbb {R}$^{\$mathbb {R}}}$은(는) 첫 번째 카운터가 아니므로 측정이 불가능합니다.

거리의 연속성

단일 공간$({\displaystyle M,}$ d$)$의$$경우${\displaystyle ,}$ $거리{\displaystyle }$$지도$ d$$:${\displaystyle M}$ × ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \to {}^{}}$+ {\$displaystyle$ d$\times M\times$ M$\$to $$R^{+} (정의에서)는 위의 제품 $지표{\displaystyle }$ N${\displaystyle (d,}$ $d)$ 및 D$($$d)$ 중 하나에 $대하여$ 균일하게 연속적이다.제품 토폴로지는${\displaystyle }$M ×$$ {$display style$ M$\times$ M$\}$입니다.

몫 메트릭 공간

M이 $metric{\displaystyle }$d\$displaystyle$d이고$$~\$displaystyle$$\sim$$\}$이(가)$M$의 등가 관계인 경우, 지수 $집합{\displaystyle }$M${\displaystyle }$/ $~\displaystyle$ M$/\!\sim }$에 의사 측정값을 부여할 수 있습니다.2개의 동등 클래스 $]{displaystyle [x$$]\}{\displaystyle }$및$$ [$]{displaystyle [y$를 지정하면 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\infb +d(p_{n},q_{n})\}$

여기서 최소값은 ${\displaystyle {모든\mathrm{}}_{}}$ 유한 시퀀스$({\displaystyle }$p 1, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,p_{}}$ $)$ {$displaystyle (p_{1$}, $p_{2},$ \$display, p_{n})$ 및$$ (${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}{}_{}}$,${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 2, …,${\displaystyle q_{}}$ n$)$ {$display$style ($q_{1$${\displaystyle \},}$$q_{2},$ \$display$${\displaystyle ,}$ $q_$${n$}) [$1]$ [$p][$1]${\displaystyle [}$ ${\displaystyle q_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$] ${\displaystyle =}$ [ ${\displaystyle {}_i}$ + ${\displaystyle 1_{}]}$ , ${\displaystyle i}$ $=$, $2$, $...$ ,$n$ -$$ { $displaystyle$[$q$_ { i + $1$} ${\displaystyle =}$ [ $p _$ { i + $1$} 。$일반적$으로 이것은 의사측정학${\displaystyle ([}$ $x$, [ ${\displaystyle y}$]) $=$ ${\displaystyle 0}$ [ $style$ display d$][$ x ]ns(예를 들어 면을 따라 다면체를 접착하여 얻은 것) $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ \ $displaystyle$ d$'$는 메트릭입니다.

몫 $메트릭{\displaystyle }$d(\$displaystyle$ d$)$는 다음과$$ 같은 범용 속성을 특징으로 합니다.$f{\displaystyle }$:${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle d}$ ) ${\displaystyle \to }$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle }$" )$${ $displaystyle$ f , \$delta$ ($M$ , displaystyle ( M , $d$) $\$$to$ ( X , \ $delta )$ }는 메트릭$$ 공간($즉$ f$$($x$) ,$f$($y$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle f}$, $f$( y ) \ displaysty$} displaystyle$ 、 $displaystyle$ ） 。${\displaystyle )}$ ) x$$ ~ $,$ {{$displaystyle$ x$\sim$ y$},$ 유도$$ $함수{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \stackrel{}{:}}$ :${\displaystyle }$M${\displaystyle }$/ ~${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}${ $displaystyle {f},\sim M/\to$X$\}([$ ${\displaystyle x]=f}$ (${\displaystyle }$x$$) { $displaystyle {f}[x$] ${\displaystyle \stackrel{}{=}}$$f$ ($x$에 $의해{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 지정됨)는 f, f, $map{\displaystyle \stackrel{}{}}$, map입니다.${f}},\colon (M/\!\sim,d')\to (X,\delta )$$。$$}$

위상 공간은 메트릭 ^[11]공간의 몫인 경우에만 순차적입니다.

메트릭 공간의 일반화

• 모든 미터법 공간은 자연 그대로 균일한 공간이고, 모든 균일한 공간은 자연히 위상 공간이다.따라서 균일한 토폴로지 공간은 메트릭 공간의 일반화로 간주할 수 있습니다.
• 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 아니라는 요건을 완화하면 의사 측정 공간 또는 어긋난 메트릭 ^[12]공간의 개념으로 이어집니다.대칭의 필요성을 없애면 준측정 공간에 도달한다.삼각형 부등식을 더 약한 형태로 바꾸면 반미터 공간이 생긴다.
• If the distance function takes values in the extended real number line ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$, but otherwise satisfies the conditions of a metric, then it is called an extended metric and the corresponding space is called an ${\displaystyle \infty }$-metric space.거리 함수가 (적합한) 순서 집합의 값을 취하면(그리고 삼각형 부등식이 그에 따라 조정됨), 일반화 ^[12]초변환이라는 개념에 도달합니다.
• 접근 공간은 포인트 투 포인트 거리가 아닌 포인트 투 세트 거리에 기초한 메트릭 공간의 일반화입니다.
• 연속성 공간은 메트릭 공간 및 포셋의 일반화로 메트릭 공간 및 도메인의 개념을 통합하는 데 사용할 수 있습니다.
• 부분 미터법 공간은 미터법 공간 개념의 최소 일반화로서, 각 지점으로부터의 거리가 더 이상 0이 ^[13]될 필요가 없도록 하기 위한 것이다.

미터법 공간(농축된 범주)

순서 집합$({\displaystyle }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle )}$ $)(\displaystyle$( \$mathbb {R}$ , \$geq$))은$$ a$b$의 $경우{\displaystyle }$ a ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ $a$$\to$ b$}$의 $모르피즘$을 정확히 1개 요구하면 카테고리로 볼 수 있습니다.텐서 곱으로$$+({$displaystyle$$$+}, 아이덴티티로$$0({$displaystyle$ 0$\}){\displaystyle }$을 사용하면 모노이덜 $카테고리{\displaystyle {}^{}}$ R$${\({$displaystyle$ R$^\{*\})$이 됩니다.모든 메트릭 공간$,$ $)$은 $이제{\displaystyle {}^{}}$ $카테고리$$$M ${\({$$M$$^{*})})$로 볼 수 있습니다${\displaystyle {.}^{}}$$R$

• Ob ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ) : ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle \operatorname {Ob}(M^{*}):$$=M}$
• ${\displaystyle 각}$X에 대해 Y ${\displaystyle \in }$ ( \ $displaystyle$X ,$$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \backslash }$ $in$M$$ ) :${\displaystyle =d}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle Y}$ )${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Ob}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$∗$$) \ $displaystyle \operatorname$ {$Hom$} ($X$ , Y ) : $= d$ ( X $, Y$ ) \ in$Operatorname${ Hom } ( X , Y )를$설정$합니다.
• ${\displaystyle \mathrm{구성형태론}}$ 홈${\displaystyle (Y,}$ ${\displaystyle Z)\mathrm{hom홈}(X,}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle 홈(X,}$ Z$)$ \$\operatorname {Hom}(Y,Z)\otimes \operatorname {Hom}(X,Y)\to \operatorname {Hom}(X,Z)$$yle d(y,z)+d(x,y)\geq d(x,z)}$
• 아이덴티티 $모르피즘0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle 홈}$(${\displaystyle }$X ,${\displaystyle X}$){ $displaystyle$0 \ $to \operatorname { Hom }$ ($$${\displaystyle X}$ , X )는 0$†$ (${\displaystyle }$X$$, X ){ $displaystyle$0 \ $geq$d ( X ,$X$ )$$}의 사실로부터 주어지는 고유한 모르피즘입니다.
• Since ${\displaystyle R^{*}}$ is a poset, all diagrams that are required for an enriched category commute automatically.

다음에 나열된 F.W. Lawvere의 문서를 참조하십시오.

「 」를 참조해 주세요.

• 아수아드-나가타 차원
• 알렉산드로프-라시아스 문제
• 미터법 공간 범주
• 고전 빈 공간
• 수축 매핑 – 모든 점 사이의 거리를 줄이는 기능
• 리만 기하학 용어집 - 수학 용어집
• 힐베르트 공간 – 무한 차원을 허용하는 유클리드 공간의 일반화
• 힐베르트의 네 번째 문제 – 선이 구면의 선과 유사한 모든 미터법 공간을 구성합니다.
• 등거리 측정 – 거리 유지 수학적 변환
• 리 거리
• Lipschitz 연속성– 견고한 형태의 균일한 연속성
• 측정(수학) – 질량, 길이, 면적 및 부피의 일반화
• 미터법(수학) – 거리를 정의하는 수학 함수
• 메트릭 맵
• 메트릭 시그니처 – 메트릭텐서의 양, 음 및 제로 고유값의 수
• 미터법 텐서 – 리만 다양체의 거리를 국소적으로 정의하는 구조
• 메트릭 트리
• 노름(수학) – 벡터 공간에서의 길이
• 노름 벡터 공간 – 거리가 정의되는 벡터 공간
• 프로덕트 메트릭– 메트릭스 공간이 매우 많은 데카르트 곱에 대한 메트릭
• 공간(수학) – 구조가 추가된 수학 집합
• 삼각 부등식 – 기하학의 특성으로, 미터법 공간의 "거리" 개념을 일반화하는데도 사용됩니다.
• 울트라메트릭 공간 – 미터법 공간 유형

레퍼런스

추가 정보

• Victor Bryant, 미터법 공간: Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31897-1.
• Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course of Metric Geometry, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
• 아타나세 파파도풀로스, 미터법 공간, 볼록함 및 비양성 곡률, 유럽수학회, 2004년 제1판, ISBN 978-3-03719-010-4.2014년 제2호, ISBN 978-3-03719-132-3.
• Springer 학부 수학 시리즈, 미터법 공간, 2006년, ISBN 1-84628-369-8.
• 로베어, F.William, "계량 공간, 일반화 논리, 닫힌 범주" [트렌드]준 매트, 피스Milano 43(1973), 135-166(1974), (이탈리아어 요약)

이는 기하학 및 분석 논리로 강화된 카테고리의 "이론 및 범주의 응용"에서 (저자 해설과 함께) 전재됩니다.의원님 이론 적용카테고리. No.1 (2002), 1~37.

• Weisstein, Eric W. "Product Metric". MathWorld.

외부 링크

• "Metric space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 원거리 및 근거리 — 절단 코트에서 거리 함수의 몇 가지 예입니다.