블록 LU 분해

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선형대수학에서 블록 LU 분해는 블록 행렬을 하위 블록 삼각 행렬 L과 상위 블록 삼각 행렬 U로 분해하는 행렬이다.이 분해는 블록 행렬 공식의 복잡성을 줄이기 위해 수치 분석에 사용된다.

블록 LDU 분해

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1B\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{pmatrix}}$

블록 숄스키 분해

블럭 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}I\\\CA^{-1}\end{pmatrix}\,A\,{\begin{pmatrix}I&A^{-1B\end{pmatrix}+{\begin{pmatrix}0&0\\\0&D-CA^{-1B\end{pmatrix},}$

$여기$서 행렬 A ${\$$A\end{matrix}}$은(는) 비송음, I ${\$인 것으로 가정한다$$.$I\end{matrix}}}$은(는) 적절한 치수의 ID 매트릭스이며$$, $0{\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{}\end{array}}$ ${\$은 원소가 모두 0인 매트릭스다$$.

우리는 또한 절반의 행렬을 사용하여 위의 방정식을 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}\\\CA^{-{\frac {*}{2}}:\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac{*}{2}}&A^{-{\frac{1}{2}}:B\end{pmatrix}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&#0&#0&#0&#0&#0&#>Q^{\frac {1}{1}:{2}}:\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}0&0\\0&#0&#0&#0&#0&#&#1&#&#1}Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix},}$

$여기$서 A ${\$의 슈르 보충제블록 매트릭스의$$ $A\end{matrix}}$은(는) 다음을 통해 정의된다.

${\displaystyle {\begin{matrix}Q=D-CA^{-1}B\end{matrix}}$

그리고 절반 행렬은 Cholesky 분해 또는 LDL 분해로 계산할 수 있다.절반의 행렬은 그것을 만족시킨다.

${\displaystyle {\display}A^{\frac{1}{2}}\,A^{\frac{*}{2}}=A;\end{matrix}}\begin{matrix}A^{\frac {1}{1}:{2}}\,A^{-{\frac {1}{1}:{2}}=I;\end{matrix}\begin{matrix}A^{-{\frac{*}{2}}\,A^{\frac{*}{2}}=I;\end{matrix}\qquad {\begin{matrix}Q^{\frac{1}{1}:{1},Q^{*}{2}}=Q.\end{{11}}}$

그러므로, 우리는

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=LU,}$

어디에

${\displaystyle LU={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}:0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac{*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}:}B\\0&0\end{pmatrix}+{\begin{pmatrix}0&0\\0>Q^{\frac {1}{1}:{2}}:\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}0&0\\0&#0&#0&#0&#0&#&#1&#&#1}Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \begin{array}{c}L\end{array}}$ U ${\$ 행렬$LU\end{matrix}}$은(는) 대수적 방법으로 분해할 수 있으며$$

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{-{\frac {*}{2}}:}&Q^{\frac {1}{1}:{1}\end{pmatrix}\mathrm{~and~} U={\begin{pmatrix}A^{\frac{*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}:}B\\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.}$

참고 항목

• 행렬 분해