대수수장

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비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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수학에서 대수적 숫자 필드(또는 단순히 숫자 필드)는 합리적인 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$의 필드 $K{\displaystyle }$ {\$displaystyle K$$/\mathb${Q}}의$$ 필드 확장자 $K{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$K/\mathb {$Q}이($가)가$$ 유한한 경우(따라서 대수적 필드 확장자)이다${\displaystyle .}$ 따라서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는$)$ Q {\$displaystyle$ \$mathb {Q}$을(를) 포함하는 필드이며$$$$, $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 벡터 공간으로 고려할 때 치수가 유한하다$.$

대수적 수장에 대한 연구, 그리고 보다 일반적으로 합리적 수 분야의 대수적 확장에 대한 연구는 대수적 수 이론의 중심 주제다.

정의

전제조건

대수적 수장의 개념은 한 분야의 개념에 의존한다. 필드는 두 가지 연산, 즉 덧셈, 곱셈, 그리고 일부 분배성 가정과 함께 요소 집합으로 구성된다. 필드의 두드러진 예로는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Q}$ $\}$을(를) 나타내는 합리적인 숫자의 분야와 통상적인 덧셈 및 곱셈 연산 등이 있다.

대수적 숫자 필드를 정의하는 데 필요한 또 다른 개념은 벡터 공간이다. 여기서 필요한 범위까지 벡터 공간은 시퀀스(또는 튜플)로 구성된 것으로 생각할 수 있다.

(x₁, x₂, …)

이 항목의 항목은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 필드처럼 고정된 필드의 요소임$.$ 이러한 두 시퀀스는 항목을 하나씩 추가하여 추가할 수 있다. 또한 모든 시퀀스는 고정된 장의 단일 요소 c로 곱할 수 있다. 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈으로 알려진 이 두 연산은 벡터 공간을 추상적으로 정의하는 데 도움이 되는 많은 속성을 만족시킨다. 벡터 공간은 "무한 차원"으로 허용되는데, 즉 벡터 공간을 구성하는 시퀀스가 무한 길이임을 의미한다. 그러나 벡터 공간이 유한한 시퀀스로 구성된 경우

(x₁, x₂, …, x_n)

벡터 공간은 유한 치수, n이라고 한다.

정의

대수적 숫자 필드(또는 단순히 숫자 필드)는 합리적인 수 영역의 유한도 필드 확장이다. 여기서 degree는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 벡터 공간으로서 필드의 치수를 의미한다$.$

예

• 가장 작고 기본적인 숫자 필드는 합리적인 숫자의$$ 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {Q$} }$이다. 일반 번호 필드의 많은 속성은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 속성에 따라 모델링된다$.$
• $Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle i}$) ${\displaystyle \mathb {Q}(i)}("$${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle$ $\mathb${$Q}"$로 읽음)$$로 표시된 가우스 합리성은 ${\displaystyle }$ 필드의 첫 번째 비경쟁적 예를 형성한다$.$ 그것의 요소는 형태 표현이다.

  $(\displaystyle a+bi}$

  여기서 a와 b는 모두 합리적인 수이고 나는 가상의 단위다. 그러한 표현은 일반적인 산술 규칙에 따라 추가, 빼기, 곱하기 등의 방법으로 할 수 있다.

  ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

  분명히,

  ${\displaystyle {\databi}(a+bi)+(c+di)+&(a+c)+&(a+di)\\(a+di)\cdot(c+di)&=(ad+bc)i\end{d}}}}}}$

  0이 아닌 가우스 이성적인 숫자는 그 정체성에서 볼 수 있는, 되돌릴 수 없다.

  ${\displaystyle (a+bi)\왼쪽 사진\frac {a}{a^{a^{2}+b^{2}}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}i\오른쪽)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}}=1.}$

  가우스적 $합리성$이 Q$${\$displaystyle \mathb {Q$에 걸쳐 벡터 공간으로서 2차원적인 숫자 필드를 형성하는 것이 그 뒤를 잇는다.

• 보다 일반적으로 사각형 없는 $정수{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$에 대해$$2차 필드 Q${\displaystyle (d}$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{d})$는 $d{\displaystyle }$ ${\d}$의 제곱근을 합리적인$$ 수의 필드에 결합하여 얻은 숫자 필드다$$. 이 분야의 산술 연산은 가우스 합리수인 $d{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d=-1}$의 경우와 유사하게 정의된다$.$
• 사이클로토믹장

  ${\displaystyle \mathbb{Q}}$ (${\displaystyle {\zeta n}_{}}$) ${\displaystyle \mathb {Q}(\zeta _{n$ 여기서 ${\displaystyle {\zeta n}_{}}$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle 2\mathrm{}\pi }$ ${\displaystyle i}$/ ${\displaystyle n}$ ${\$

  $원시{\displaystyle \mathbb{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mathb {Q}$에서 ${\displaystyle {\zeta n}_{}}$ {\$displaystyle$ n$}$과(와) unityn ${\$의 루트를 결합하여$$ 얻은 숫자 필드다$.$ $이{\displaystyle \mathbb{}}$ 필드는 통합의 모든 복잡한 n번째 루트를 포함하며 Q ${\$에 대한 치수는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$과 같으며$$$,$ 여기서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaysty \varphi}$은 오일러 토텐트 함수다.

비예시

• 실제 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$R {\$displaystyle \mathb$ {$R}$과$($와) 복합 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\$은$($는) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -벡터 공간으로 무한$$ 치수가 있는 필드이므로 숫자 필드가 아니다. $이$는 R ${\$과($)$ C {\$displaystyle$ \$mathb {C}을($를) 세트로서$$ 계산할 수 없는 것에서 따르며, 모든 숫자 필드는 반드시 카운트할 수 있다.
• ${\displaystyle {}^{}}$가 정해진 Q$$2 {\$displaystyle \mathb {Q} ^{2}}$의 순서와 함께 항목별 덧셈과 곱셈은 Q ${\$에 대한 2차원 교대수학이다$.$ 단, 다음과 같이 구분자가 0이므로 필드가 아니다.

  ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)}$

정수의 대수성과 링

일반적으로 추상 대수학에서 더 큰 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$의 모든 $원소{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L$에서 $계수{\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}${\$displaystystyle e_{0},\dots ,e_m}$이(가)인 경우 필드 확장자$:$

${\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m-1}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}$

유한도의 모든 필드 확장은 대수학이다. (증거: $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 x$${\$displaystyle x}$에$$$대해{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$,$x$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}{}^{}}$, x $3$,$…[\displaystyle$1, $x^{2},$ x^{$3},\dots })$ $$– 우리는 선형 의존을 얻는다. 즉, $x{\displaystyle }$ ${\displaystystystytyone$ x$}$가 뿌리인$$ 다항목이 있다. 특히 이것은 대수적 숫자 필드에 적용되므로 대수적 숫자 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$의 모든 요소 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 합리적인 계수를 가진 다항식의 0으로 작성할 수 있다$$. 따라서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 원소를 대수적 수라고도 한다$$. $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(f)=0}$과 같은 다항식 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을$($를) 부여할 경우, 필요한 경우 모든 계수를 이 계수로 나누어 선행 계수 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$이 1이 되도록$$ 배열할 수 있다. 이 특성을 가진 다항식은 일항 다항식이라고 알려져 있다. 일반적으로 그것은 합리적인 계수를 가질 것이다. 그러나 계수가 실제로 모두 정수인 경우 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$을(를) 대수 정수라고 한다$$. 임의(일반) 정수 $z{\displaystyle z\mathbb{}}$ Z ${\$ z$\in \mathb {Z} }$은(는) 대수 정수인데$$, 이는 선형 단항 다항식의 0이기 때문이다.

${\displaystyle p}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$- ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p(t)=t-z$

또한 합리적인 숫자인 대수적 정수는 실제로 정수여야 하므로 "알제브라틱 정수"라는 명칭이 되어야 함을 알 수 있다. 다시 추상 대수학, 특히 정밀하게 생성된 모듈의 개념을 사용하여, 어떤 두 대수 정수의 합과 산출물이 여전히 대수 정수임을 보여줄 수 있다. It follows that the algebraic integers in ${\displaystyle K}$ form a ring denoted ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ called the ring of integers of ${\displaystyle K}$. It is a subring of (that is, a ring contained in) ${\displaystyle K}$. A field contains no zero divisors and this property is inherited 어떤 서브링으로도 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 정수 링은 통합 도메인이다. $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$은(는) 통합 도메인 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 분수 필드다$.$ 이렇게 하면 대수적 숫자 필드 ${\displaystyle K}$와 정수 ${\displaystyle O_{}}$ ${\$mathcal${O}_{K$}}의 링 사이를 왔다갔다 할 수 있다$.$ 대수적 정수 링은 세 가지 독특한 특성을 가지고 있다. 첫째, $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$K}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}는 통합적으로 통합된 도메인이다.분수 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$에서 닫힘$.$ 둘째, $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$은(는) 노메테리아 링이다. 마지막으로 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 모든 0이 아닌 프라임 이상형은 최대치 또는 동등하게 이 링의 Krull 치수는 1이다. 이 세 가지 성질을 가진 추상적인 상호 교환적 고리는 대수적 정수의 고리에 대한 깊은 연구를 수행한 리처드 데데킨드를 기리기 위해 데데킨드 반지(또는 데데킨드 도메인)라고 불린다.

고유 인자화

일반적인 데데킨드 링, 특히 정수 링의 경우, 원초적 이상의 산물로 이상을 고유한 요소화(internative actorization이 있다. 예를 들어 링 $Z{\displaystyle \mathbf{}}$[${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle$($6)$의 이상적인${\displaystyle }$(${\displaystyle 6}$) ${\$$displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt{-5}}}}}}}$은(는) 기본 이상으로 한다.

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt{-5})(2,1-{\sqrt{-5})(3,1+{\sqrt{-5})(3,1-{\sqrt{-5)}}$

단, $Q{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle$$\mathbf${$Q}$의 정수 $링$으로 Z$${\displaystyle $\mathbf${$Q$$}}$과 달리$,$ $Q{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {Q}}$의 적절한 확장에 대한 정수 링은 소수들의 고유 인자화를 소수 또는 더 정확히 말하면 안 된다$$. $이차{\displaystyle \mathrm{}}$ 정수는 ${\displaystyle {\sqrt{\mathrm{이미}}}_{}}$ 1 =${\displaystyle O_{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$(${\displaystyle {\sqrt{}}_{}}$- 5${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= Z${\displaystyle }$[${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 1={\mathcal{O}_{\mathbf {Q}({\sqrt{-5}}})=\mathbf {Z}[{\sqrt{-5$에서 인자의 고유성이 실패한다.

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt{-5})\cdot(1-{\sqrt{-5})}$

Using the norm it can be shown that these two factorization are actually inequivalent in the sense that the factors do not just differ by a unit in ${\displaystyle O_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$. Euclidean domains are unique factorization domains; for example ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$, the ring 가우스 정수와 $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathbf {Z}[\omega$], 아이젠슈타인 정수의 링$,$ 여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은 통일의 큐브 루트(unqual to 1)로, 이 속성을 갖는다.^[1]

ζ-기능, L-기능 및 클래스 번호 공식

고유 요인화의 실패는 흔히 h로 표기되는 등급 번호, 이른바 이상적인 등급 그룹의 카디널리티로 측정된다. 이 집단은 항상 유한하다. 정수 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 링은 주 링인 경우 또는 $동등$하게 K ${\displaystyle K}$의 클래스 번호 1을 갖는$$ 경우에만 고유한 인자를 가지며$$, 숫자 필드를 지정하면 클래스 번호를 계산하기 어려운 경우가 많다. 클래스 번호 문제는 Gauss로 돌아가며, 규정된 클래스 번호의 $가상{\displaystyle \mathbf{}}$ 2차 숫자 필드(예: Q${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{d}}$ ,${\displaystyle \mathrm{d}}$≥ 1 ${\displaystyle \mathbf$ {$Q} {\sqrt{-d},d\geq$ 1$\})$의 존재와 관련이 있다. 클래스 번호 공식은 $h$와$$K {\$displaystyle$K}의 다른 기본 불변수와 관련된다$.$ 복합 변수 s의 함수인 데데킨드 제타 함수 ζ_{${\displaystyle K}$}(s)를 포함한다.

${\displaystyle \zeta _{F}s:=\prod _{\mathfrak{p}{\frac {1}{1-N({\mathfrak{p}})^{-s}}}.}$

(The product is over all prime ideals of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$ denotes the norm of the prime ideal or, equivalently, the (finite) number of elements in the residue field ${\displaystyle O_{F}/{\mathfrak {p}}}$. 무한 생산물은 일반적인 분석적 연속성에서는 Re(s) > 1에 대해서만 수렴되며, 모든 s에 대한 함수를 정의하기 위해서는 제타함수의 함수 방정식이 필요하다.) 디데킨드 제타 함수는 ζ_{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}(s) = ζ(s)에서 리만 제타 함수를 일반화한다.

등급 번호 공식에 따르면 ζ은_{${\displaystyle K}$} s = 1에 간단한 극을 가지며, 이 시점에서 잔류물은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\frac{2^{r_{1}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg}{w\cdot {\sqrt{D}}}}}.}$

여기서 r과₁ r은₂ 각각 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 실제 임베딩과 복합 임베딩의 수를 고전적으로 나타낸다$.$ 더욱이 Reg는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 조절기로서$,$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 통합의 뿌리의 수가 있고, $D$는 K ${\displaystyle$K}의 차별이다$.$

디리클레 L 기능 $L{\displaystyle }$ (${\displaystyle \chi }$, ${\displaystyle s}$ )${\displaystyle L(\chi$ ,$s)}$은 ${\displaystyle \mathrm{\zeta <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; L(\backslash chi\; ,s)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/df2ede56cb317a2561bcfa48a1ea433b274781bf"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:6.972ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="562">}}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle \zeta (s)}$의 보다 정제된 변종이다$.$ 두 유형의 함수는 $각각{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$$displaysty$ $\mathb${$Q$$}$과 K$\}$의 산술 동작을 나타낸다. 예를 들어, 디리클레의 정리는 어떤 산술적 추이에서도 그렇게 주장한다.

$a,a+m,a+2m,\ldots }$

coprime $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및 $m$ ${\displaystyle m}$과$($와) 함께, 소수들이 무한히 많다. 이 정리는 디리클레 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ -기능이$$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$= 1 ${\displaystyle s=1}$에서 0이 아니라는 사실에 함축되어 있다$.$ 대수 K 이론과 타마가와 측도를 포함한 훨씬 더 진보된 기법을 사용하여 현대 숫자 이론은 크게 추측(다마가와 수 추측 참조)한다면 mor 값들의 설명을 다룬다.e 일반 L 기능.^[2]

숫자 필드의 기준

적분기준

$도{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 숫자 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$에 대한 정수 기준이 설정됨$$

B = {b₁, …, b_n}

of n algebraic integers in ${\displaystyle K}$ such that every element of the ring of integers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ of ${\displaystyle K}$ can be written uniquely as a Z-linear combination of elements of B; that is, for any x in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ we have

x = m₁b₁ + ⋯ + m_nb_n,

여기서_i m은 정수다. $그리고{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle K$}의 어떤 요소도 다음과 같이 고유하게 쓸 수 있는$$ 경우도 있다.

m₁b₁ + ⋯ + m_nb_n,

여기서 m은_i 이성적인 숫자다. $그런{\displaystyle }$ 다음 K ${\displaystyle K}$의 대수 정수는 정확히 m이_i 모두 $정수인$ K ${\displaystyle K}$의 원소들이다$$.

현지에서 작업하고 프로베니우스 지도와 같은 도구를 사용하여 그러한 근거를 명시적으로 계산할 수 있으며, 이제는 컴퓨터 대수학 시스템에 이를 위한 프로그램이 내장되어 있는 것이 표준이 되었다.

전력기준

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) $등급{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n$의 숫자 필드로$$ 합시다. K {\$displaystyle K}$의 가능한 모든 베이스$($Q {\$displaystyle \mathb {Q} }$ -vector$$ 공간으로 표시됨)$$ 중에서 특정 베이스(Power base)로 알려진 것이 있으며, 폼의 베이스가 있다.

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots,x^{n-1}\}}$

어떤 원소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x\in K}$에 대하여$.$ 원시 원소 정리로는 원시 원소라고 하는 그런 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$가 존재한다$.$ If ${\displaystyle x}$ can be chosen in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ and such that ${\displaystyle B_{x}}$ is a basis of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ as a free Z-module, then ${\displaystyle B_{x}}$ is called a power integral basis, and the field ${\disp$$레이스타일 K}$은 모노제닉 필드라고 불린다. 모노제닉이 아닌 숫자 필드의 예는 Dedekind에 의해 처음 주어졌다. 그의 예는^[3] 다항식의 뿌리를 붙여서 얻은 분야다.

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$

정규 표현, 추적 및 판별

필드 확장자 $K{\displaystyle }$/ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$에 고유한$$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ - 벡터 공간 구조가 있는지$$ 기억해 보십시오. $기본{\displaystyle }$ 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$위에 있는$$ $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$의 요소 x ${\displaystyle x}$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times$ n$}개$의 행렬로 나타낼$$ 수 있다$.$

${\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$

요구하여

${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q}.}$

여기서 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 $Q{\displaystyle }$ ${\$ -벡터$$ 공간으로 보는$$K ${\displaystyle K}$의 고정 기반이다$$. $합리적$인 숫자 $a{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는$)$ x {\$displaystyle x}$$$및 K {\$displaystyle K}$의 어떤 요소도 기본 요소의 선형 결합으로 고유하게 나타낼 수 있으므로$$ 기준 선택에 의해 고유하게 결정된다$$. $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 필드의 모든 요소에 행렬을 연결하는 이 방법을 정규 표현이라고 한다$$. 정사각형 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 주어진 기준으로$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 의한 곱셈 효과를 나타낸다$$. $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 요소가 $행렬$ B ${\displaystyle B}$로 표시되면 x$$y ${\displaystyle$ xy$}$ $제품$이 $행렬{\displaystyle }$ $제품$ B ${\displaystyle A}$ ${\\\displaystyle BA}$로 표시되며$,$ 추적, 결정 요소 및 특성 다항식과 같은 행렬의 불변수가 표시된다. 기본이 $아닌{\displaystyle }$ 필드$$$$요소 x {\$displaystyle x}$에만 의존함. 특히 $매트릭스{\displaystyle }$ A$($){\$displaystyle A($x)}의 추적을 필드 $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 트레이스라고 하고$$$$$,$ ${\displaystyle \text{Tr}}$ $){\displaystyle{Tr}}(x)$를 나타내며, 결정인자를 x의 노르말이라 하고 $N{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaysty N(x)$을 나타낸다$.$

Now this can be generalized slightly by instead considering a field extension ${\displaystyle K/L}$ and giving an ${\displaystyle L}$-basis for ${\displaystyle K}$. Then, there is an associated matrix ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$ which has trace ${\displaystyle {\te$$xt{Tr}_{K/L}(x)}$ 및$$ norm $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {/L}_{}x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text{$$N}_{K/L}(x)}$은(는${\displaystyle )}$ $매트릭스{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {K/L}_{}}$( x ){\$displaystyle A_{K/L}(x$)}의 추적 및 결정 요소로 정의된다$.$

예

$필드{\displaystyle \mathbb{}}$ 확장자 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ (${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle \$$mathb$ ${Q}(\theta )$를 고려하십시오. 여기서$$ consider =$$$\theta {\displaystyle }$ 3${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\text{exception 25:}}$ ${\$ \theeta =\$seta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}:$ Q ${\$$}.$

${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{3}{3}}{3},\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2^{2}}\}}}}}}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ (${\displaystyle \theta }$ ) ${\displaystyle x\in \mathb {Q}(\theta )}$은(는) $일부{\displaystyle \mathbb{}}$ Q$${\$displaystyle \mathb {Q}$ -선형$$ 조합으로 표현될$$ 수 있으므로

${\displaystyle a+b\zeta _{3}{3}{3}}{{3}}}{3}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}}=a+b\theta +c\ta ^{2}}:}$

그러면 우리는 ${\displaystyle y\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ Q (${\displaystyle \theta }$ ) ${\displaystyle$ y$\in \mathb {Q} (\theta )}$을(를) 가져갈 수 있다. 여기서$$ $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$}\theta +y_{2$$}\theta ^{2}}:$ x${\displaystyle \mathrm{compute<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; y=y\_\{0\}+y\_\{1\}\backslash theta\; +y\_\{2\}\backslash theta\; ^\{2\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c72a66901f90f93edf1741ea5085f164bf38bf6d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:19.75ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="754">}}$ y ${\displaystyle x\cdot$ y$}$ 계산$.$ 이 내용을 작성하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}a(y_{0}+y_{1)}\theta +y_{2}}\theta )+\\b(2y_{2}+y_{0)}\theta +y_{1}\theta ^{2}+\\c(2y_{1}+2y_{2}}\theta +y_{0}}\theta ^{2}\end{aigned}}}$

관련$$ 행렬 방정식을 ${\displaystyle \mathrm{작성}}$하면${\displaystyle }$행렬${\displaystyle }A{\displaystyle }$( x ) {\$displaystyle$ A$(x)}$을(를) 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$

쇼잉

${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\b&a2c\c&b&a\end{bmatrix}}}}$

그러면 추적과 결정요소를 비교적 쉽게 계산할 수 있고, 추적과 규범을 제공할 수 있다.

특성.

By definition, standard properties of traces and determinants of matrices carry over to Tr and N: Tr(x) is a linear function of x, as expressed by Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y), Tr(λx) = λ Tr(x), and the norm is a multiplicative homogeneous function of degree n: N(xy) = N(x) N(y), N(λx) = λⁿ N(x). 여기서 λ은 합리적인 수이고, x, $y$는 K ${\displaystyle K}$의 어떤 두 요소다$.$

파생된 추적 형태는 추적의 수단으로 정의되는 이선형 형태로서, 다음과 같다.

${\displaystyle Tr_{K/L:$${\displaystyle {}_{}}$$\otimes _$${L}$${\displaystyle K_{}}$ $/$${\displaystyle {}_{}}$L ${\displaystyle {}_{}x}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle L_{}}$( x ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=$$TR_{K/L}(x\cdot y)}$

${\displaystyle {\text{$$Tr}}_{K/L}(x)}$. 정수 값의 대칭 행렬인 적분 추적 형식은 t ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {Q\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {(}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle t_{ij}={\text{}$로 정의된다.$Tr}}_{K/\mathb {Q}{Q}}}(b_{i}$b_$\{$$j$}}), 여기서_n b₁, …$b$는$$K {\$displaystyle K}$의 필수적 기반이다$.$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 차별성은 det(t)로 정의된다$$. 정수이며, $정수{\displaystyle }$ 기준의 선택에 따라 달라지지 않는 K ${\displaystyle K}$ 필드의 불변 속성이다$.$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 요소 x에 연결된 행렬은 대수 정수에 대한 다른 동등한 설명을 제공하는 데 사용될 수도$$ 있다. $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 원소 x는 x와 연관된 행렬 A의 특성 다항식_A p가 정수 계수를 갖는 단항식인 경우에만 대수 정수다$$. 요소 x를 나타내는 행렬 A에 어떤 기준 e의 정수 항목이 있다고 가정합시다. Cayley-Hamilton 정리에서는 p(A_A) = 0이며, p_A(x) = 0을 따르기 때문에 x는 대수 정수다. 반대로, x가 정수 계수를 가진 단일 다항식의 $루트$인 K ${\displaystyle K}$의 요소인 경우 동일한 속성이 해당 행렬 A에 대해 유지된다. 이 경우 A가 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 적절한 기준으로 정수 행렬임을 증명할 수 있다$.$ 대수적 정수라는 $특성$은 K$${\$displaystyle$ K$}$에서 기준 선택과 무관하게 정의된다$.$

적분 기준 예제

${\displaystyle 여기}$서${\displaystyle }$x가 ${\displaystyle x}$- 11x + x + 1 = 0을 $만족$하는${\displaystyle }$K $= Q$ ($x$) ${\displaystyle$ K$=\backslash$mathb {Q³}(x²)}을(를) 고려하십시오. 그러면 적분기준은 [1, x, 1/2(x² + 1)]이고 해당 적분추적형은

${\displaystyle {\displaysty}3&11&61\11&61\11&1653\nd{bmatrix}.}$

이 행렬의 왼쪽 상단 모서리에 있는 "3"은 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 $대한{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle$ K}의 정규 표현에서 첫 번째 기본 요소 (1)에 의해 정의된 지도 행렬의 추적이다$.$ 이 기본 요소는 3차원 벡터 공간 $K{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ K$}$에 대한 ID 지도를 유도한다$.$3차원 벡터 공간에 있는 아이덴티티 맵의 3배는 3이다.

이것의 결정요인은 1304 = 2³/163이고, 필드 판별이며, 근본 판별, 즉 다항식의 판별은 5216 = 2⁵/163이다.

장소

19세기의 수학자들은 대수적 숫자가 복잡한 숫자의 한 종류라고 가정했다.^[4][5] 이러한 상황은 1897년 헨젤에 의한 p-adic 숫자의 발견으로 바뀌었고, 이제 숫자 $필드{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle$ K$}$의 가능한 모든 임베딩들을 그것의 다양한 위상학적 보완 K ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$에 한번에$$ 고려하는 것이 표준이다.

K{K\displaystyle}에 절대적인 값[6]pg 9의 지진이 숫자 필드 K{K\displaystyle}의 곳은 등가성을 클래스입니다.본질적으로, 절대적 가치는 개념)요소의 크기 K{K\displaystyle}의{\displaystyle)}을 측정한다. 만약 그들이 같은 noti을 일으킬 두가지 절대 값 등가로 여겨진다.작거나 근접한 절대값 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ~${\displaystyle {}_{}\cdot }$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\$}{1$}}$ 사이의 동등성 관계는$$ 일부 R> {\$displaystyle \lambda \$in \$mathb$ {$R} _{>0}$에 의해 주어진다.

즉, 표준 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\$}의 값을 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$} -th$$ 전원에 취한다$$.

일반적으로 장소의 종류는 세 개의 정권으로 나뉜다. 첫째(그리고 대부분 무관함)₀는 0이 아닌 $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle$ x$\in K}$의 값 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $1$$}$을$($를) 취한다. 두 번째와 세 번째 클래스는 아르키메데스 장소와 비 아르키메데스(또는 초경량) 장소다. The completion of ${\displaystyle K}$ with respect to a place ${\displaystyle \cdot _{\mathfrak {p}}}$ is given in both cases by taking Cauchy sequences in ${\displaystyle K}$and dividing out null sequences, that is, sequences ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ su라고 말하다.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 무한대 경향이$$ 있을 때 0이 되는 경향이 있다. 이것은 다시 필드로 나타날 수 있는데$,$ 주어진 장소 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{\mathfrak{}}}$ ${\$에서$$${\displaystyle {K\mathfrak{}}_{}}$$$${\$라고 표기되어 있다$.$

For ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, the following non-trivial norms occur (Ostrowski's theorem): the (usual) absolute value, sometimes denoted ${\displaystyle \cdot _{\infty }}$ which gives rise to the complete topological field of the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$. On the other hand, 모든 소수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 p-adic 절대값은 다음과 같이 정의된다$.$

q = p⁻ⁿ, 여기서 q = pⁿ a/b와 a와 b는 p로 나눌 수 없는 정수다.

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ number Q ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 구성하는 데 사용되며, q를 p로 곱하면 p-adic 규범이 작아져 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$${$$p}}}}$$vis-visa-vis-vis-vis-vis-viecastyp$}의 동작이 상당히 달라진다$.$$R}$$}$ .

Note the general situation typically considered is taking a number field ${\displaystyle K}$ and considering a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ for its associated ring of algebraic numbers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. 그러면 독특한 장소 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{\mathfrak{}}}$: ${\displaystyle K}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$$K\to \mathb {R} _{\geq 0}}}}$은(는) 비아치메데스적 장소로 불린다$$. In addition, for every embedding ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ there will be a place called an Archimedean place, denoted ${\displaystyle \cdot _{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$. 이 진술은 오스트로우스키의 정리라고도 하는 정리다.

예

The field ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$ for ${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$ where ${\displaystyle \zeta }$ is a fixed 6th root of unity, provides a rich example for constructing explicit real and complex Archimedea임베딩, 비 아르키메데스 임베딩도 포함^{[6]pg 15-16}.

아르키메데스 산맥

$여기$서는 각각 사용되는 실제 및 복합 임베딩의 수에 대해 표준$$$$ 표기법 $r{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle r_{1$} 및 r 2 ${\$}}${\displaystyle {개}_{}}$를 사용한다(아래 참조).

숫자 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 아카이브 위치 계산은 $다음$과 같다. x$$ ${\displaystyle$ x}을$($를) $최소{\displaystyle }$ 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$을(를$)$ 가진 K ${\$$displaystystyle$ $K$의 원시 요소가 되도록$$ 한다($$$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ {$Q}).$ $R{\displaystyle }$ ${\$을$($를) 초과하면$일반적$으로 f {\$displaystyle$ f}은(는$)$ 더 이상 수정할 수 없지만$$, 그 불가해결(실제) 요인은 1, 2도 중 하나이다. 반복된 뿌리가 없기 때문에 반복적인 요인도 없다. 1급 인자의 루트$$ $r{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $r}$은(는) 반드시 실제여야 하며, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) r ${\displaystyle r}$로 대체하면$$ $K{\displaystyle }$ ${\\$$displaystyle K}$을(를) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\${$R$$}$에 내장할 수 있다$.$$\}\}.$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 표준 $절대값$을 K ${\displaystyle$ $K}$로 $제한$하면 K ${\displaystyle$ K}에 대한 아치형 절대값이 나타난다$$$.$ 이러한 절대값은 K ${\displaysty K}$의 실제 위치라고도 한다$.$ 한편, 2의 요인은 짝을 이룬다.$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 두 개의 결합형 임베딩을 허용하는 주그레이트 복합 숫자$.$ 이 임베딩 쌍 중 하나를 $사용$하여 K ${\displaystyle$ K$\}$에 절대값을 정의할 수 있는데, 이는 결합형이기 때문에 두 임베딩에 모두 동일하다. 이 절대값을 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 복잡한 장소라고 한다$.$^[7][8]

$위$의 ${\displaystyle f}$의 모든 루트가 실제(존중하게, 복잡하게)이거나 동등하게 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\$을(를) 내장할 수 있는 모든 가능한 임베딩은 실제로 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$resp) 안에 있어야 한다$$. ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ${\$}),$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 완전히 실제(resp. 완전 복잡)라고 부른다.^[9][10]

비 아르키메데드 또는 초경량

아르키메데스가 아닌 위치를 찾으려면 $다시{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$f} 및$$ $x{\displaystyle }${\$displaystyle x$}을(를) 위와 같이 지정하십시오$$. $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$_{p}$에서 f ${\displaystyle$ f$}$은(는) 여러 인자로 나뉘는데$$, 이 인자는 하나도 반복되지 않으며, n ${\$$displaystyle n}$에 해당하는 정도$,$ $f$의 정도$.$ 이러한 $각{\displaystyle }$ p ${\displaystystylease$p} -aduffectivene$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$.$splaystyle f_{i$ $우리$는 x ${\$을$($를) ${\displaystyle {만족}_{}}$하고 $K{\displaystyle }${\$displaystyle k}$을$($를) $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ p {\$displaystyle \mathb{$Q} _{$p}}$에 걸쳐 유한한 수준의 대수적 확장에$$ 삽입을 얻는다고 가정할 수 $있다{\displaystyle }$$.$ 그러한 국지 모른다.${\displaystyle p}$ -adic$$ 번호는 유사하게 이성들의 역할을 할 수 있다. 특히, 우리는 정확히 동일한 ${\displaystyle {}_{}}$으로 규범과 추적을 정의할 수 있으며, 이제 Q p ${\$에 매핑되는 함수를 부여한다$.$ 이 $p{\displaystyle }$ ${\$ $p}$ -adic$$ norm map $N_{f_${{{f_{i_{$i}$을 사용하여$$ p}레이스 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 우리는$$ $주어진{\displaystyle }$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adoically$$ anreducable ${\displaystyle f_{}}$ i$${\$displaystyle$ $f_{i$$}$에 해당하는$$ 절대값을 정의할 수 있다$.$

이러한 절대값을 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 초경량 비아치메데스 또는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ place라고 한다$.$

초경량 장소 v의 경우, x의 최소 다항식이 정수 인자를 가지기 때문에 O K {\$displaystyle {\mathcal{O}_{K}}$의 모든 x에 대해 x 1 1이 있으며$,$ 따라서 x의 p-adic 인자화는 Z에_p 인자를 가지기 때문이다. 따라서 각 요인의 표준 용어(정수 항)는 p-adic 정수이며, 이 중 하나가 v의 절대값을 정의하는 데 사용되는 정수다.

O의_K 프라임 이상

초경량 장소 v의 경우, x < 1에 의해$$ ${\displaystyle {정의}_{}}$된 O K$${\$displaystyle${\$mathcal{O}_{K}$의 부분 $집합$은 O ${\displaystyle K_{}}${\$displaystyle {\mathcal$ {$O}_{K}$의 $이상적$인 p$${\$displaystystyle${\\$mathcal$$}{$$p}}}$이다$.$ $이$는 p ${\$에서 주어진 x와 y의 초경량성에 의존하며$,$ 그 다음,

x + y max max ( x , y ) < 1.

사실 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 프라임 이상이기도 하다$$.

Conversely, given a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, a discrete valuation can be defined by setting ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$ where n is the biggest integer such that ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^$${{n}},$ 이상형의 n배력$.$ 이 가치평가는 초경량적인 곳으로 바뀔 수 있다. Under this correspondence, (equivalence classes) of ultrametric places of ${\displaystyle K}$ correspond to prime ideals of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. For ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, this gives back Ostrowski's theorem: any prime ideal in Z (which is necessarily by a single prime number) cor아르키메데스가 아닌 곳에도 반응하고 그 반대도 마찬가지야 그러나 더 많은 일반수 분야의 경우, 아래에서 설명하겠지만, 상황은 더 많이 관여하게 된다.

그러나 초경량 장소를 설명하는 또 다른 동등한 방법은 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 지역화에 의한 것이다$.$ 숫자 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$$}$에서 초경량적 장소 v ${\$$displaystytle$$$v$\}$을(를)를 고려할 때 해당 $지역화$는$$K {\$displaystylease$이다.$$모든 요소 $x$ ${\displaystyle x}$ 중 $K}($x$$ ≤ 1). 초경량 속성 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 의해 링이 된다$$. 게다가,}. 이후 K×/T×은 정수에 특히 지역적 T{T\displaystyle}은 이산 평가 반지, 동형는 것으로 나타날 수 있K{K\displaystyle}의 모든 요소 x 들어, 최소한 하나의 x나 x−1 T{T\displaystyle}에. 사실, 포함된은 O형 K{\displaystyle{{O\mathcal}}_{K}을 포함하고 있다. ring. Actually, ${\displaystyle T}$ is just the localization of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ at the prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, so ${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$. Conversely, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ is the maxima$나$는 T ${\displaystyle T}$의 이상이다$.$

전체적으로 초경량 절대값, 원시 이상, 숫자 필드에서의 지역화 사이에는 3방향 등가성이 있다.

정리 및 장소 위에 누워서

One of the basic theorems in algebraic number theory are the going up and going down theorems, which describe the behavior of some prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ when it is extended as an ideal in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ for some field extension ${\displaystyle L/K}$. We say that an ideal ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ lies over ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ if ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}$. Then, one incarnation of 정리가 ${\displaystyle \text{사양}({\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$) ${\displaystyle {\text{Spec}({\mathcal{O}_{L}})$에 가장 이상적인 것을 명시하므로$,$ p ${\$에 놓여$$ 있으므로 항상 돌출적인 지도가 있다.

포함 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$↪ ${\displaystyle O_{}}$ L ${\${\$mathcal {O}_{K}\hookrightarrow${\$mathcal{O}_{L$ 장소와 주요 이상 사이에 일치성이 존재하기 때문에 필드 확장에서 유도된 장소를 나누는 장소를 찾을 수 있다는 뜻이다. 즉, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$$)$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$$}$인 경우, ${\displaystyle \text{Spec}}$(O L${\displaystyle {}_{}}$) ${\di$에서 p ${\$$displaystyle p$$}$의 유도된 p {\$displaystyle$ p}의 유도된 p ${\displaystystyle$ p$\}$을 나누는 장소$$v}이 있다.$splaystyle{\text}{Spec}({\mathcal$ {O$\}$_${L$}})}. 실제로 이 $관찰$은 Q ${\$의 대수적 필드 확장이 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 기본 변경 사항을 살펴볼 때 유용하다^{[6]pg 13}.$X{\displaystyle }$ ∈${\displaystyle K}$ ${\displaystyle$X$\in K}$의 유도 요소에 대해 $for$ ${\displaystyle \$${\displaystyle {}_{}}$$}$라고 쓰고$,$ K ${\displaystyle {}_{}}$ Q ${\displaystyle Q_{}{\mathbb{}}_{}}$ p ${\$$p}}}}}$의 분해 결과를 얻는다. 명시적으로 이 분해는또한 유도 다항식 $Q{\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ Q$(X)\in \mathb {Q} _{p}[X]}$은(는) 다음과 같이 분해된다$$.헨젤의 보조정리^{[11]pg 129-131} 때문에.게다가 임베딩도 있다.여기서 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$은(는) Q ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ Q_${\displaystyle {\mathbb{}}_{}{}_{}}$을(를) 제공하는 Q ${\displaystyle v_{}}$${\$$displaystyle K_{v}=\mathb {Q}{p}(\teta _{v}})$의 루트이므로 쓸 수 있다$.$$C{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 하위 집합으로 (${\displaystyle {}_{}}$ $$p ${\displaystyle \mathb$ {$Q} _{p$})$$의 대수적 폐쇄 완료.

라미화

Ramification, 일반적으로 말해서,지만, 발생하는finite-to-one 지도(그것은,maps f:X→ Y{\displaystyle f:X\to Y}는 preimages의 모든 지점 y에서 Y로 구성된 오직 유한하게 많은 점)에 따라 발생할 수 있는 기하학적 현상:f−1(y)일반적으로 승점이 같은 것은 섬유의 기수에 대해 설명합니다., 특수 지점 y에서 이 숫자는 감소한다. 예를 들어 지도는

${\displaystyle \mathb{C} \to \mathb {C},z\mapsto z^{n}}}$

t 위에 각 섬유에 n개의 점, 즉 t의 n (iiii) 루트가 있으며, 여기서 섬유는 오직 하나의 원소, z = 0으로 구성된다. 한 사람은 그 지도가 0으로 "라믹"되어 있다고 말한다. 이것은 Riemann 표면의 분기된 커버의 예다. 이 직관은 대수적 수 이론에서 라미화를 정의하는 역할도 한다. 숫자 필드 $K{\displaystyle /L}$ ${\displaystyle K/L}$의 (필요적으로 유한한) 확장이 주어질 때$,$ $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\${\$mathcal{O}_{L}$의 프라임 이상 pO가_K $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ $\{\backslash$$displaystyle {\$mathcal${O}_{K}.$ 이 이상은 프라임 이상일 수도 있고 아닐 수도 있지만, 라스커-노에더 정리(위 참조)에 따르면, 항상 에 의해 주어진다.

pO_{${\displaystyle K}$} = q₁^e₁ q₂^e₂ q_m^e_m.

$O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 고유하게 결정된 프라임 이상 q와_i 숫자(라면 지수라고 함) e_i. 한 개의 라미화 지수가 한 개보다 클 때마다 prime p는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$로 ramming한다고 한다$.$

The connection between this definition and the geometric situation is delivered by the map of spectra of rings ${\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$. In fact, unramified morphisms of schemes in algebraic geometry are a direct generalization of unr숫자 필드의 확대.

Ramification은 순전히 지역적 재산이다. 즉, p와 q를_i 둘러싼 보완에만 의존한다. 관성 집단은 어떤 장소에 있는 지역 갈루아 집단과 관련된 유한 잔류 장의 갈루아 집단 간의 차이를 측정한다.

예

다음 예는 위에서 소개한 개념을 예시한다. $Q{\displaystyle \mathbb{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mathb {Q} (x)}$의 래미화 인덱스를 계산하려면$,$ 여기서

f(x) = x³ − x − 1 = 0,

${\displaystyle \mathrm{23}}$에서는 필드 확장자 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {23}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ Q ${\displaystyle {23}_{}}$ ${\$을(를) 고려해도 충분하다$.$ 최대 529 = 23²(즉, modulo 529) f는 다음과 같이 인수할 수 있다.

f(x) = (x + 181)(x² − 181x − 38) = gh.

첫 번째 요인 g modulo 529에서 x = y + 10을 대체하면 y + 191이 산출되므로 g가 제공한 y의 평가 y는 -191 ₂₃= 1. 반면 h에서 동일한 대체는² y - 161y - 161 modulo 529이다. 161 = 7 × 23 이후,

${\displaystyle \left \vert y\right\vert _{h}={\sqrt{1}{\sqrt{23}}}}}}}}}$

인자 h에 의해 정의된 장소의 절대값의 가능한 값은 정수 힘 23에 국한되지 않고 대신 제곱근 23의 정수 힘이기 때문에, 23에 있는 필드 확장의 래미화 지수는 2이다.

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 모든 요소의 평가는 결과물을 사용하여 이러한 방식으로$$ 계산할 수 있다. 만약 대신에 우리는 f의 요인 g와 h에 대하여 제거해 예를 들어 만약, 그건)미국 −)− 1, 이 관계와 f사이에 x 없애기 위해 합력으로 사용하여)x3 −)− 1 돌아선 05y2+4y − 1=0.y3 −만 주면 다음23-adic 평가는 상수(규범)용어에 적용될 수 있게 해 주y에 대한 다항식의 해당 요소를 얻게 된다. 로 g와 h에 대한 y의 평가(이 경우 둘 다 1임)를 계산한다.

데데킨트 판별 정리

판별의 상당부분의 ${\displaystyle {}_{}}$는 래미티드 초경량적 장소들이 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ p ${\$의 인자를 통해 얻은 모든 장소라는 사실에 있다. 여기서$$ p는 판별을 나눈다. 이것은 다항식 판별에도 해당된다. 그러나 그 반대의 경우도 마찬가지인데, 만약 prime p가 판별을 나누면, p-place가 생겨난다는 것이다. 이 역학을 위해서는 현장 차별이 필요하다. 이것이 데데킨드 판별 정리다. 위의 예에서 x - 1${\displaystyle }$= 0인 숫자$$ 필드 $($ x ) {\$displaystyle \$mathb {Q³$}(x)}$의 판별은 -23이며, 우리가 본 바와 같이 23-adic 플레이스가 반증한다. 데데킨드 차별주의자는 우리에게 그곳이 유일한 초경량적 장소라고 말한다. 다른 래미티드 플레이스는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 복합 임베딩에 있는 절대값에서 나온 것이다$.$

갈루아 집단과 갈루아 코호몰로지

일반적으로 추상 대수학에서 필드 확장자 K/L은 L ${\displaystyle L}$ $요소$를 고정시킨$$ K ${\displaystyle K}$의 필드 자동화로 구성된 갈루아 그룹 Gal(K/L)을 조사하여 연구할 수 있다. As an example, the Galois group ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$ of the cyclotomic field extension of degree n (see above) is given by (Z/nZ)^×, the group of invertible elements in Z/nZ. 이것이 이와사와 이론의 첫걸음이다.

갈루아 그룹 개념은 특정 속성을 가진 모든 가능한 확장을 포함시키기 위해 대수적 폐쇄의 (무한)장 확장자 K/K에 공통적으로 적용되어 절대 갈루아 그룹 G := Gal(K / K) 또는 just Gal(K)로 이어지며, 확장자 $K{\displaystyle /Q\mathbb{}}$ ${\${Q$\}\}\}.$ 기본 정리.갈루아 이론은 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$와 그 대수학적 폐쇄와 닫힌 부분군(K) 사이의 필드를 연결한다. 예를 들어 G의 아벨리안화(가장 큰 아벨리안 지수) G는^ab 최대 아벨리안 확장 K(더^ab 이상의 확장이 아벨리안적이지 않기 때문에 그렇게 부른다), 즉 아벨리안 갈루아 집단이 없다)라고 하는 분야에 해당한다. Kronecker-Weber 정리에 의해 Q {\$displaystyle \$의 최대 아벨리안 확장은 통합의 모든 뿌리에 의해 생성된 확장이다$$. 보다 일반적인 수 분야, 계급장 이론, 특히 아르틴 상호주의 법칙에 대해서는 이상 계급 집단의 관점에서 G를^ab 기술함으로써 답을 준다. 또 주목할 만한 것은 힐버트 클래스 필드인데, $K{\displaystyle }${\$displaystyle K$}의 최대 아벨라비어 필드 확장인 K ${\displaystyle$ K$}$에 대해 유한하다는 것을 보여줄 수 있고$,$ $K{\displaystyle }$ ${\displaysty K}$에 대한 갈루아 그룹은 특히 그 정도가 K ${\displaystyle K}$의 클래스 그룹과 이형성이 동일하다$.$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}($위 참조).

어떤 상황에서는 갈루아 집단이 예를 들어 집단과 같은 다른 수학적 물체에 작용한다. 그런 그룹을 갈루아 모듈이라고도 한다. 이를 통해 갈루아 코호몰로지라고도 알려진 갈루아 그룹 갈(K)의 집단 코호몰로지 사용이 가능해진다. 갈루아 코호몰로지(Galois cohomology)는 애초에 갈루아(K) 인바리어스를 복용하는 정확성의 실패를 측정하지만, 보다 깊은 통찰력(및 질문)도 제공한다. 예를 들어, 필드 확장자 L / K의 갈루아 그룹 G는 L의 0이 아닌 요소인 L에^× 작용한다. 이 갈루아 모듈은 Poitou-Tate 이중성과 같은 많은 산술적 이중성에서 중요한 역할을 한다. 원래 $알헤브라$를 K {\$displaystyle$ K$}$에 분류하기 위해 고안된$$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 브루어 그룹은 공동 호몰로지 그룹, 즉² H(Gal, K^×)로 재분류될 수 있다$.$

지역-글로벌 원리

일반적으로 말해서, "지역적 문제에서 지구적 문제"라는 용어는 지구적 문제가 먼저 지역적 차원에서 행해진다는 생각을 말하며, 이것은 질문을 단순화하는 경향이 있다. 그렇다면 물론, 국내 분석에서 얻은 정보를 종합해서 어떤 세계적인 진술로 돌아가야 한다. 예를 들어, 피복의 개념은 위상과 기하학에서 그 생각을 재조명한다.

로컬 및 전역 필드

숫자 장은 유한한 분야에 걸쳐 대수곡선의 함수 분야로 알려진 대수 기하학에서 많이 사용되는 또 다른 종류의 분야와 많은 유사성을 공유한다. 예로는 K_p(T)가 있다. 그것들은 많은 면에서 유사하며, 예를 들어 숫자 링이 1차원 정규 링이라는 점에서, 곡선의 좌표 링(해당 함수 필드인 지수 필드)과 유사하다. 따라서 두 가지 분야 모두 글로벌 분야라고 한다. 위에 제시된 철학에 따라, 그들은 먼저 지역적 수준, 즉 해당 지역적 분야를 살펴봄으로써 연구될 수 있다. 숫자 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$의 경우$,$ 로컬 필드는 경도를 포함한 모든 위치에서$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 보완물이다(현지 분석 참조). 함수 필드의 경우, 로컬 필드는 함수 필드의 곡선 모든 지점에서 로컬 링의 보완이다.

함수 필드에 유효한 많은 결과도 최소한 적절히 재구성된 경우 숫자 필드에 대해 유효하다. 그러나 숫자 분야 연구는 기능 분야에서는 접하지 못한 어려움과 현상을 야기하는 경우가 많다. 예를 들어 기능 분야에서는 비아치메디컬과 아치메디컬로 이분법이 있다. 그럼에도 불구하고 기능 분야는 종종 숫자 필드 사례에서 기대해야 할 직관력의 원천으로 작용한다.

하세 원리

글로벌 수준에서 제기되는 프로토타입적 질문은 일부 다항식 방정식이 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 해법이 있는지 여부$.$ 그렇다면 이 해법도 모든 보완에서 해법이 된다. 국지적-지구적 원리 또는 하세 원리는 2차 방정식의 경우 반대도 마찬가지라고 주장한다. 따라서 분석 방법(아카이브 장소의 중간값 정리, 비아카이브 장소의 p-adic 분석 등 고전적 분석 도구)을 사용할 수 있기 때문에 그러한 방정식에 해결책이 있는지 여부를 확인하는 것이 종종 더 $쉬운{\displaystyle }$ K ${\디스플레이 스타일$K$\}$의 모든 보완에 대해 수행될 수 있다. 그러나 이러한 함축적 의미는 더 일반적인 유형의 방정식에 대해서는 적용되지 않는다. 그러나, 지역 데이터에서 글로벌 데이터로 전달한다는 생각은, 예를 들어, 지역 계급 분야 이론이 위에서 언급한 글로벌 통찰력을 얻기 위해 이용되는 수업 분야 이론에서 알맞다. 이는 또한, $글로벌{\displaystyle \mathbb{}}$ 분야의 갈루아 그룹인 Q ${\$조차 훨씬 덜 이해되고 있는$$ 반면, 보완 K의_v 갈루아 그룹은 명시적으로 결정될 수 있다는 사실과 관련이 있다.

아델레스와 아델레스

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 부착된 모든 로컬 필드에 관련된 로컬 데이터를 수집하기 위해 아델 링이 설정된다$.$ 승법변형은 공법이라고 한다.

참고 항목

일반화

• 대수함수장

대수적 수 이론

• 디리클레의 단위 정리, S 단위
• 쿠메르 연장
• 민코프스키의 정리, 숫자의 기하학
• 체보타레프의 밀도 정리

계급장 이론

• 레이 클래스 그룹
• 분해군
• 속장

메모들

참조

• Cohn, Harvey (1988), A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Universitext, New York: Springer-Verlag
• Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/cmbs/gradnumty/unittheorem.pdf
• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic Number Fields (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2
• Helmut Hasse, 숫자 이론, Springer Classic in Mathical Series(2002)
• 세르게 랑, 대수적 숫자 이론, 제2판, 스프링거, 2000
• 리처드 A. 몰린, 대수적 수 이론, CRC, 1999
• Ram Murty, Springer, 2005년 제2판 대수학 수 이론의 문제점
• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (3 ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001
• André Weil, 기본 번호 이론, 제3판, Springer, 1995.