2차 정수

수 이론에서 2차 정수는 통상적인 정수를 2차 장에 일반화하는 것이다. 2차 정수는 도 2의 대수 정수, 즉 형태의 방정식 해법이다.

x² + bx + c = 0

b와 c의 정수로 대수적 정수를 고려할 때, 통상적인 정수를 합리적 정수라고 부르는 경우가 많다.

2차 정수의 일반적인 예로는 22와 같은 합리적 정수의 제곱근과 가우스 정수를 생성하는 복합수 i = ––1이 있다. 통합 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pa의 또 다른 흔한 예는 비실명 입방근.는 아이젠슈타인의 정수를 생성하 Rser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}−1+√–3/2.

2차 정수는 Pell의 방정식과 같은 많은 디오판틴 방정식의 해법 및 적분 2차 형태와 관련된 다른 질문에서 발생한다. 2차 정수의 고리에 대한 연구는 대수적 숫자 이론의 많은 문제들에 대해 기본이다.

역사

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈을 하면 도울 수 있다. (2015년 3월)

중세 인도의 수학자들은 이미 같은 D의 2차 정수의 곱셈을 발견했는데, 이것은 펠의 방정식의 몇 가지 사례를 풀 수 있게 해 주었다.^{[citation needed]}

§ 2차 정수의 명시적 표현에 주어진 특성화는 1871년 리처드 데데킨드에 의해 처음 제시되었다.^[1][2]

정의

2차 정수는 도 2의 대수 정수다. 좀 더 분명히 말하면, ${\displaystyle \frac{x}{}}$= -${\displaystyle \frac{}{}}$b${\displaystyle \frac{}{}}$± ${\displaystyle \frac{\sqrt{{b\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{{}^{}}}{}}$- 4 ${\displaystyle \frac{c}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{}}$ ${\$ x$={\b\pm {-b^{2}-4c}}{2$}}:}}}{2$\}\}:\}$ 복잡한 $숫자{\displaystyle }$ x = x² + bx + c 정수를 사용하여 형식 x + bx + c = 0을 푼다. 그건 정수 각 2차 정수가 아니다 rational—namely면, 정말 무리수 만약 b2 4c 을 –;0및 비 실만약 b24c<>–, 0—and Q{\displaystyle \mathbb{Q}({\sqrt{D}})(D)는 독특하게 결정된 2차 분야에서}, Q{\displaystyle \mathbb{Q}의 연장}은 square-root에 의해 생성된 있다.의 일부 정수 e에 대해 b² – 4c = De를² 만족하는 고유한 사각형 자유 정수 D. D가 양의 값이면 2차 정수는 실제 값이다. 만약 D < 0이라면, 그것은 가상(즉, 복잡하고 비현실적인)이다.

2차 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}(D}$) ${\displaystyle \mathb{Q}({\sqrt{D})$에 속하는 2차 정수(일반 정수 포함)는 $Q{\displaystyle \mathbb{}(D\sqrt{}}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle \mathb{Q}({\sqrt{D})$의 정수 링이라고 하는 통합 영역을 형성한다$$.$}$

주어진 2차장에 속하는 2차 정수가 고리를 형성하지만, 모든 2차 정수의 집합은 덧셈이나 곱셈으로 닫히지 않기 때문에 링이 아니다. For example, ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ and ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ are quadratic integers, but ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ and ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$ are not, as their minimal polynomials have degree four.

명시적 표현

여기서와 다음에서 고려되는 2차 정수는 2차 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}(D\sqrt{}}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{D})$에 속하며, 여기서$$ D는 제곱이 없는 정수다. 동등성 √aD² = a√D(양수 a)는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle D}$)${\displaystyle }$= Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$)를 의미하므로, 일반성을 제한하지 않는다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt {D$})({\$sqrt{a^{2}D})=\mathb {Q}({Q}).$$}$

$Q{\displaystyle \mathbb{}(D}$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{D})$의 요소 x는 다음과$$ 같은 두 개의 정수 a와 b가 있는 경우에만 2차 정수다.

${\displaystyle x=a+b{\sqrt{D},}$

또는, D – 1이 4의 배수인 경우

${\displaystyle }$x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{}}$2 + ${\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{}}$ 2${\displaystyle D\sqrt{}}$,$${\$displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{$2}}:}{\$sqrt{D$}}, a 및 b 둘 다 홀수인$$ 경우

즉, 모든 2차 정수는 + Ωb로 쓸 수 있으며, 여기서 a와 b는 정수, Ω은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \omega ={\begin{case}{\sqrt{D}{{}}D\ique 2,3{\pmod{4}\{1+{sqrt{D}}\over 2}&{{\mbox{}}}}}{}D\equiv 1}pmod{4\case{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{ndatabmod\pmod{pmod}}}}}$

(D가 정사각형이 아닌 ${\displaystyle \mathrm{것}}$으로 간주되었으므로, 사례 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ 0${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{모드}}$ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$) ${\$는 정사각형 4로 구분할 수 있음을 의미하므로 불가능하다$$.^[3]

규범과 결합

$Q{\displaystyle \mathbb{}(D}$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{D})$의 2차 정수를 쓸 수 있다$$.

a + b√D,

여기서 a와 b는 두 정수 중 하나이거나, D 1 1 (mod 4)인 경우에만, 양쪽의 절반의 홀수 정수가 된다. 그러한 2차 정수의 표준은

N(a + b√D) = a² – Db².

2차 정수의 표준은 항상 정수다. D < 0일 경우, 2차 정수의 표준은 복합수로서 절대값의 제곱이다(D > 0일 경우 이는 거짓이다). 표준은 완전히 승법함수로서, 2차 정수의 산물은 항상 그 규범의 산물이라는 것을 의미한다.

모든 2차 정수 a + b√D에는 공극이 있다.

${\displaystyle {a+b{\sqrt{D}}}=a-b{\sqrt {D}.}$

2차 정수는 그 결합과 동일한 규범을 가지며, 이 규범은 2차 정수와 그 결합의 산물이다. 합 또는 이차 정수의 곱은 합 또는 결합체의 곱(존중)이다. 즉${\displaystyle ,}$ 이 $결합$은 Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle D\sqrt{}}$ ) ${\displaystyle \mathb{Q}({\sqrt{D})$의 정수 링의 자동모형임을 의미한다 $—$아래 § 2차 정수 링을 참조한다.

2차 정수 링

모든 제곱이 없는 정수(${\displaystyle 0}$과 1) D는 2차 정수 링을 정의하는데$,$ 이는 $Q{\displaystyle \mathbf{}}$( D${\displaystyle }$)에 포함된 대수 정수인 {\$displaystyle \mathbf {Q}({\sqrt {D})$로 구성된 정수다.$}}$ 설정$$ Z[Ω] = {a + Ωb : a, b ∈ Z}이다. 여기서$$ ${\displaystyle \Omega \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle =\frac{}{}}$1 + D ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ ${\$2}}: D = 4k +1이고 Ω = Ω = dD}}}}}}}}{{d. It is often denoted ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$, because it is the ring of integers of Q(√D), which is the integral closure of Z in ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}).$$}$ 링 Z[Ω]는 모든 방정식² x + Bx + C = 0의 모든 루트로 구성되며, 이 경우 판별 B² - 4C는 정수의 제곱에 의한 D의 산물이다. 특히 ∆D는 Z[Ω]에 속하며, 4D를 판별물로 하는 x² - D = 0 방정식의 루트다.

모든 정수의 제곱근은 2차 정수로, 모든 정수는 n = mD로² 쓸 수 있고, 여기서 D는 제곱이 없는 정수이며, 그 제곱근은² x - mD² = 0의 루트다.

산술의 근본적인 정리는 2차 정수의 많은 고리에서는 사실이 아니다. 그러나 이상에는 독특한 요소화가 있는데, 이는 대수적 정수의 모든 고리가 데데킨드 영역이라는 사실에 의해 표현된다. 대수 정수의 가장 단순한 예로서, 2차 정수는 일반적으로 대수 수 이론의 대부분의 연구의 시작 예들이다.^[4]

2차 정수 링은 D의 부호에 따라 두 등급으로 나뉜다. D > 0이면 ${\displaystyle O_{\mathbf{}}}$ Q${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle D_{}}$) ${\$의 모든 요소가 실재하며$$, 링은 실제 2차 정수 링이다. D < 0이라면 O ${\displaystyle Q_{\mathbf{}}}$($){\$의 유일한 실제 원소는 일반$$ 정수이며, 링은 복합 2차 정수 링이다.

실제 2차 정수 링의 경우 고유 인자화의 실패를 측정하는 클래스 번호가 OEIS A003649에 제공되며, 가상의 경우 OEIS A000924에 제공된다.

단위

2차 정수는 표준이 1 또는 –1인 경우에만$$ $Q{\displaystyle \mathbb{}(D}$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{D})$의 정수 링에 있는 단위다. 첫번째 경우에 그것의 승수 역은 그것의 결합이다. 그것은 두 번째 경우에 그것의 결합을 부정하는 것이다.

D < 0인 경우, $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle (D\sqrt{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{D})$의 정수 링은 최대 6단위로 되어$$ 있다. 가우스 정수(D = –1)의 경우, 네 단위는 1, –1, ––1, –––1이다. 아이젠슈타인 정수(D = –3)의 경우, 6단위는 ±1, ±1 ± √–3/2이다. 다른 모든 음의 D의 경우, 1과 –1의 두 단위만 있다.

D > 0이면 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle D\sqrt{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathb{Q}({\sqrt{D})$의 정수 링은 ±u와ⁱ 같은 단위가 무한히 많고$$ 여기서 나는 임의의 정수이며 u는 기본 단위라고 불리는 특정 단위다. 기본 단위 u를 부여하면 그 기본 단위인 conjit $u{\displaystyle \stackrel{}{},}$ ${\displaystyle{\overline$${u},$$$또 - u {\$displaystyle$ -u${\displaystyle \},}{\displaystyle }$-$$}, {\$displaystyle -{\overline {u}.},$ 일반적으로$$ 1 이상의 절대값을 가지는 기본 단위라고 부른다.). a와 b 양(정수 또는 정수의 절반)을 가진 + bdD로 쓸 수 있는 고유한 기본 단위다.

가장 작은 양의 사각형 없는 D 10개의 기본 단위는 1 + √2, 2 + √3, 1 + +5/2 (황금비), 5 + 2 26, 8 + 3√7, 3 + √10, 10 + 3√11, 3 + /13/2, 15 + 4,14, 4 + are15이다. 더 큰 D의 경우, 기본 단위의 계수는 매우 클 수 있다. 예를 들어 D = 19, 31, 43의 경우 기본 단위는 각각 170 + 39 √19, 1520 + 273 √31, 3482 + 531 √43이다.

복잡한 2차 정수 링의 예

D < 0의 경우, Ω은 복합(상상적 또는 기타 비현실적) 숫자다. 따라서 2차 정수 고리를 대수적 복합수의 집합으로 취급하는 것은 당연하다.

• 대표적인 예가 가우스 정수인$$Z${\displaystyle }$[${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathbf {Z}[{\sqrt{-1}]}$인데, 칼 가우스는 그의 이차적 상호주의 법칙을 말하기 위해 1800년경에 도입했다.^[5]
• $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle Q_{\mathbf{}(\sqrt{}}}$- ${\displaystyle {\sqrt{3}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$+${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$- 3 ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$] ${\$의 원소를 에이젠슈타인 정수라고 한다$$.

위에서 언급한 두 링은 모두 그에 상응하는 사이클로토믹 필드 Q₄( and)와 Q₃( inte)의 정수 링이다. 대조적으로 Z[1998-3]는 데데킨드 도메인도 아니다.

위의 두 가지 예는 모두 규범에 대한 유클리드 영역과 주요 이상적 링이다. 에 대해서는 그렇지 않다.

${\displaystyle {\mathcal{O}_{\mathbf {Q}({\sqrt{-5}}}}=\mathbf {Z}\왼쪽[{\sqrt {-5}\right],}$

독특한 요소화 영역도 아니다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt{\mathrm{O}}}_{}}$ ${\displaystyle Q_{\mathbf{}}{\sqrt{}}_{}}$- 5${\displaystyle {}_{}}$)에서는 ${\displaystyle {\mathcal {O}_{\mathbf {Q}({\sqrt {-5})}$을(를) 참조하십시오.

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt{-5})(2-{\sqrt{-5}).}$

$요인{\displaystyle \mathrm{}}$ 3, 2${\displaystyle }$+ -${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\$ 2$+{\sqrt{-5},$ $2$ - 5 ${\$는 모두 9의 규범을 가지고 있고, 해독할 수 없는 경우 최소 4의 규범인 3의 인자를 가질 수 없기 때문에, ±1의 다른 원소의 규범은 최소 4이다. 따라서 9의 인자를 수정할 수 없는 인자로의 인자는 고유하지 않다.

The ideals ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\rangle }$ and ${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\rangle }$ are not principal, as a simple computation shows that their product is the ideal generated by 3, and, if they were principal, this would imply that 3 would not be irreducible.

실제 2차 정수 링의 예

D > 0의 경우 Ω은 양의 비합리적인 실수이며, 해당 2차 정수 링은 대수적 실수의 집합이다. 펠 방정식 X² - D² Y = 1의 해법은 널리 연구되어 온 디오판틴 방정식으로서 D ≡ 2, 3 (모드 4)에 대해 이 고리의 단위들이다.

• D = 5의 경우 Ω = 1++5/2가 황금 비율이다. 이 반지는 피터 구스타프 르주네 디리클레에 의해 연구되었다. 그것의 단위는 ±Ω 형태를ⁿ 가지고 있는데 여기서 n은 임의의 정수다. 이 링은 또한 유클리드 평면의 5배 회전 대칭 연구(예: 펜로즈 기울기)에서도 발생한다.^[6]
• 인도의 수학자 브라흐마굽타는 펠의 방정식² X - 61² Y = 1을 다루었는데, 그 반지에 해당하는 것은 Z[√61]이다. 어떤 결과는 1657년에 피에르 페르마(Pierre Fermat)에 의해 유럽 공동체에 제시되었다.^[which?]

2차 정수의 주 링

Z[1998-5]의 경우에서 위와 같이 2차 정수의 링에 대해 고유한 인자화 특성이 항상 검증되지는 않는다. 그러나 모든 데데킨드 도메인에 대해서는, 2차 정수의 링은 그것이 주요한 이상적인 도메인인 경우에만 고유한 요소화 도메인이다. 이는 해당 2차 필드의 클래스 번호가 1인 경우에만 발생한다.

가장 이상적인 고리인 2차 정수의 상상의 고리는 완전히 결정되었다. 다음은 O ${\displaystyle Q_{\mathbf{}(D}}$) ${\$에 대한 것이다.

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.

이 결과는 1967년 해롤드 스타크가 나중에 증거를 제시하기 전까지는 히그너의 증거를 믿지 않았지만 가우스에 의해 처음 추측되고 커트 히그너에 의해 증명되었다.(스타크-히그너 정리 참조) 이것은 유명한 학급 번호 문제의 특별한 경우다.

알려진 많은 양의 정수 D > 0이 있는데, 2차 정수의 링은 가장 이상적인 링이다. 그러나 전체 목록은 알려져 있지 않다. 이러한 주요 이상 고리의 수가 한정되어 있는지조차 알려져 있지 않다.

2차 정수의 유클리드 고리

2차 정수의 링이 주요 이상영역일 때, 유클리드영역인지 여부를 알 수 있어 흥미롭다. 이 문제는 다음과 같이 완전히 해결되었다.

Equipped with the norm ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}}$ as a Euclidean function, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$ is a Euclidean domain for negative D when

D = −1, −2, −3, −7, −11,^[7]

그리고, 긍정적인 D의 경우,

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73(OEIS에서 순서 A048981)

유클리드 함수로 규범을 가진 유클리드인 다른 이차 정수의 고리는 없다.^[8]

음의 D에 대해 2차 정수의 링은 규범이 그것에 대한 유클리드 함수인 경우에만 유클리드적이다. 그 다음에, 때문에.

D = −19, −43, −67, −163,

2차 정수의 4개의 해당 링은 유클리드 도메인이 아닌 주요 이상 도메인의 드물게 알려진 예들 중 하나이다.

한편, 일반화된 리만 가설은 주 이상 영역인 실제 2차 정수의 링 또한 일부 유클리드 함수에 대한 유클리드 영역이라는 것을 암시하는데, 이는 실제로 일반적인 규범과 다를 수 있다.^[9] D = 14, 69 값은 2차 정수의 링이 유클리드인 것으로 최초로 증명되었지만, 유클리드인은 아니었다.^[10][11]

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Translated by Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR 1290116.
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg. 검색된 5개. 2009년 8월
• Dummit, D. S. 그리고 Foote, R. M., 2004. 추상 대수학, 3부.
• 아르틴, M, 대수학, 2부, 13장

추가 읽기

• J.S. Milne. 대수적 숫자 이론, 버전 3.01, 2008년 9월 28일 온라인 강의 노트