비정형 형태론

대수 기하학에서, 비묘사형 형태론은 (a) ${\displaystyle \mathrm{유한}}$ 표시의 국부적이고 (b) 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle$ x$\in X}$ 및 $y$ = ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaysty y=f(x$에 대한 체계들의$$ 형태론 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle X}$ → Y $[\displaystystystyle f:X\to$ Y$}$이다.

1. 잔류물 $필드{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle k(x)}$은 $k{\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$)$${\$displaystyle$ k$(y)}$의 분리 가능한 대수적 확장이다$.$
2. ${\displaystyle f^{\#}({\mathfrak {m}}_{y}){\mathcal {O}}_{x,X}={\mathfrak {m}}_{x},}$ where ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{y,$$Y}\to {\mathcal{O}_{X},$ m$$ ${\displaystyle y_{}}$ m ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 로컬 링의 최대 이상이다$$.

평면 미묘사 형태론을 엣테일 형태론이라고 한다.덜 강하게, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$$}$이$($가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$x} 및 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 작은 이웃으로 제한되었을 때 조건을 충족한다면$,$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaysty x}$ 근처에 프로그래밍되지 않은 것으로 알려져$$ 있다$.$

어떤 저자들은 더 약한 조건들을 사용하는 것을 선호하는데, 이 경우 그들은 위의 G-미화 형태론을 만족시키는 형태론이라고 부른다.

간단한 예

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 링으로$$ 하고 $B$를 A의 일체적 요소(즉, B = A${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle B=A[t]/(F)})$와 결합하여 얻은 링으로 한다.${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음${\displaystyle }$다항식 F가 분리 가능한 경우에만$($즉, 그것과 그 $파생상품$은 $A{\displaystyle }$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$$\operatorname {Spec}(B)\$$to$ $\operatorname {Spec}($$$$A$$)$을 구성하지 않는다$$.

커브 케이스

Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a finite morphism between smooth connected curves over an algebraically closed field, P a closed point of X and ${\displaystyle Q=f(P)}$. We then have the local ring homomorphism ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{Q}\to {\mathcal {O}}_{P$$}}$ where ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{Q},{\mathfrak {m}}_{Q})}$ and ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{P},{\mathfrak {m}}_{P})}$ are the local rings at Q and P of Y and X.$O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$은(는) 이산 평가 링이므로 고유한 정수 > 0${\displaystyle e_{{}$가 있다.$F$ #${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle m_{}}$Q${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$= ${\displaystyle {{\mathfrak{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{{}_{}}}$ ${\displaystyle {P_{}}^{}}$ ${\${m}}}}={\$mathfrak${m$}}_{P}}^{e_{{$e_{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}P}}}. 그 정수 eP{\displaystyle e_{P}}는 이름으로 불리는데 Q{Q\displaystyle}.[1]에 k(P))k(Q){\displaystyle k(P)=k(Q)}이후 P{P\displaystyle}는 필드 대수적으로 닫혔을 결과가 지수, f{\displaystyle f}P{P\displaystyle}unramified은(사실,étale에). 만약그리고 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle e_{P}=1}$일 경우에만$.$ 그렇지 않으면 $p$에서$$f {\$displaystyle$f}을(를) ramised한다고 하고$$ Q를 분기점이라고 한다.

특성화

${\displaystyle \mathrm{유한}}$ 표시의 국부적인$$ $형태론{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) 감안할 때 다음과 같다.^[2]

1. f는 명문화되지 않았다.
2. 대각선 지도 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \delta _{f:$$X\to X\times _{Y}X}$는 개방적인 몰입이다.
3. 상대 코탄젠트 쉐이프 ${\displaystyle {X/Y}_{}}$ ${\$는 0이다$$.

참고 항목

• 국부장의 유한확장
• 라미화(수학)

참조

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157