클래스 1이 있는 숫자 필드 리스트

이것은 클래스 1이 있는 숫자 필드의 불완전한 목록이다.

그런 숫자 분야가 무한히 많다고 생각되지만, 이는 증명되지 않았다.^[1]

정의

숫자 필드의 클래스 번호는 정의에 따라 정수 링의 이상적인 클래스 그룹의 순서다.

따라서 정수 링이 주 이상 영역(따라서 고유한 요인화 도메인)인 경우에만 숫자 필드가 클래스 1을 갖는다.산술의 기본 정리는 Q가 1등급을 가지고 있다고 한다.

2차 숫자 필드

이것들은 제곱이 없는 정수 d에 대한 K = Q((d) 형식이다.

실제 이차장

k는 d > 0이면 real 2차라 불린다. K는 d의 다음 값에 대한 클래스 1을 가지고 있다(OEIS의 sequence A003172).

2*, 3, 5*, 6, 7, 11, 13*, 14, 17*, 19, 21, 22, 23, 29*, 31, 33, 37*, 38, 41*, 43, 46, 47, 53*, 57, 59, 61*, 62, 67, 69, 71, 73*, 77, 83, 86, 89*, 93, 94, 97*, ...^[1]^[2]

(d = 100까지 완료)

*: 좁은 클래스 번호도 1이다(OEIS의 관련 시퀀스 A003655 참조).

이러한 작은 값의 경우처럼 보이는 것에도 불구하고, 1모듈로 4에 해당하는 모든 소수점들이 이 목록에 나타나는 것은 아니며, 특히 d = 229와 d = 257의 Q((d)^[3] 필드는 모두 1보다 큰 등급 번호를 가지고 있다(사실상 두 경우 모두 3과 동일).Q(√d)가 클래스 1을 갖는 그러한 프리타임의 밀도는 0이 아닌 것으로 추측되며, 실제로 76%^[4]에 가깝지만 클래스 1을 가진 실제 2차 필드가 무한히 많은지는 알 수 없다.^[1]

상상의 이차장

K는 다음의 음수 값인 d에 대한 클래스 1을 정확히 가지고 있다.

−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.^[1]

(정의에 따르면, 이 모든 것은 1등급이 좁다.)

입방장

완전 리얼 큐빅 필드

(차별에 의해 정렬된) 처음 60개의 실제 입방체 필드는 1등급을 가지고 있다.즉, 0과 1944년 사이의 판별의 모든 입방체 장에는 1등급이 있다.그 다음으로 완전히 실제의 세제곱 영역(판별 1957년)은 2등급을 가지고 있다.등급 1의 판별이 500개 미만인 완전 실제 입방체 필드를 정의하는 다항식은 다음과 같다.^[5]

x³ - x² - 2x + 1(제곱 49)
x³ - 3x - 1(일반적으로 81)
x³ - x² - 3x + 1(약 148)
x³ - x² - 4x - 1(약 169개)
x³ - 4x - 1(일반적으로 229개)
x³ - x² - 4x + 3(일반 257)
x³ - x² - 4x + 2(일반적으로 316)
x³ - x² - 4x + 1(하위 321개)
x³ - x² - 6x + 7(일반 361)
x³ - x² - 5x - 1(일반적으로 404)
x³ - x² - 5x + 4(대략 469)
x³ - 5x - 1(일반적으로 473)

복합입방장

-500보다 큰 판별을 가진 모든 복합 입방체 필드는 1등급이지만, 2등급인 판별이 있는 필드는 -283, -331, -491등급이다.클래스 1번과 차별성이 -500보다 큰 복잡한 입방체 필드를 정의하는 다항식은 다음과 같다.^[5]

x³² - x + 1(제곱 -23)
x³ + x - 1(일반 -31)
x³ - x² + x + 1(제곱 -44)
x³ + 2x - 1(제곱 -59)
x³ - 2x - 2(제곱 -76)
x³ - x² + x - 2(제곱 -83)
x³ - x² + 2x + 1(간격 -87)
x³ - x - 2(제곱 -제곱)
x³ - x² + 3x - 2(제곱 -제곱)
x³ - 2(수평 -수평)
x³² - x - 2(제곱 -제곱)
x³ + 3x - 1(간격 -135)
x³ - x² + x + 2(제곱 -제곱)
x³ + 2x - 2(일반 -140)
x³ - x² - 2x - 2(제곱 -제곱)
x³ - x² - x + 3(제곱 -제곱)
x³ - x² + 2x - 3(제곱 -제곱)
x³ - x² + 4x - 1(제곱 - 199)
x³ - x² + 2x + 2(간격 -200)
x³ - x² + x - 3(제곱 -제곱)
x³ - 2x - 3(일반 -211)
x³ - x² + 4x - 2(일반 -212)
x³ + 3x - 2(반복 -216)
x³² - x + 3(제곱 -231)
x³ - x - 3(제곱 -239)
x³ - 3(일반 -243)
x³ + x - 6(반복 -244)
x³ + x - 3(반복 -247)
x³² - x - 3(제곱 -제곱)
x³ - x² - 3x + 5(반복 -268)
x³ - x² - 3x - 3(반복 -300)
x³ - x² + 3x + 2(반복 -307)
x³ - 3x - 4(일반 -324)
x³ - x² - 2x - 3(제곱 -327)
x³ - x² + 4x + 1(제곱 -335)
x³ - x² - x + 4(일반 -339)
x³ + 3x - 3(제곱 -351)
x³ - x² + x + 7(제곱 -제곱)
x³ + 4x - 2(일반 -364)
x³ - x² + 2x + 3(간격 -367)
x³ - x² + x - 4(반복 -379)
x³ - x² + 5x - 2(일반 -411)
x³ - 4x - 5(일반 -419)
x³² - x + 8(반복 -424)
x³ - x - 8(일반 -431)
x³ + x - 4(제곱 -436)
x³ - x² - 2x + 5(제곱 -439)
x³ + 2x - 8(제곱 -제곱)
x³ - x² - 5x + 8(제곱 -451)
x³ + 3x - 8(반복 -459)
x³ - x² + 5x - 3(간격 -460)
x³ - 5x - 6(제곱 -472)
x³ - x² + 4x + 2(제곱 -484)
x³ - x² + 3x + 3(반복 -492)
x³ + 4x - 3(반복 -499)

사이클로토믹장

다음은_n Q(() 필드가 클래스 1을 가지는 n의 전체 목록이다.^[6]

1 ~ 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 44, 45, 45, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.^[7]

반면 2파워 사이클로토믹 필드 Q(cos_2ⁿ(2π/2ⁿ)의 최대실제 서브필드 Q(cos(2π/2)는 n≤8에 대한 클래스 1을 갖는 것으로 알려져 있으며,^[8] 모든 n에 대한 클래스 1을 보유하고 있는 것으로 추측된다.Weber는 이 들판에 홀수 등급 번호가 있다는 것을 보여주었다.2009년 후쿠다와 고마쓰 씨는 이들 분야의 등급 번호가 10개⁷ 이하의 주요 요인이 없다는 것을 보여주었고,^[9] 이후 이 제한을 10개로⁹ 개선했다.^[10]이 필드는 Q의 사이클로토믹 Z 확장의₂ n번째 층이다.또한 2009년에 모리사와는 Q의 사이클로토믹 Z-확장₃ 층의 등급 번호가 10 이하의⁴ 주요 인자를 가지고 있지 않다는 것을 보여주었다.^[11]Coates는 모든 primes p에 대해 Q의 사이클로토믹 Z 확장의_p 모든 층에 1등급이 있는지 여부에 대해 문제를 제기해 왔다.^{[citation needed]}

CM 필드

가상의 2차장과 사이클로토믹 필드의 경우를 동시에 일반화하는 것은 CM 필드 K의 경우, 즉 완전히 실제 필드의 완전히 가상의 2차 확장이다.1974년에 해롤드 스타크는 1등급의 CM 분야가 상당히 많다고 추측했다.^[12]그는 확실히 고정된 학위가 많다는 것을 보여주었다.그 직후, 앤드류 오들리즈코는 1등급의 갈루아 CM 분야가 아주 많다는 것을 보여주었다.^[13]2001년에 V. 쿠마르 머티는 갈루아 폐쇄가 해결 가능한 갈루아 그룹을 가진 모든 CM 분야 중에서 오직 많은 사람들만이 1등급을 가지고 있다는 것을 보여주었다.^[14]

클래스 1의 172 아벨리안 CM 분야 전체 목록은 야마무라 켄에 의해 1990년대 초에 결정되었으며, 이 주제에 대한 그의 기사 915–919페이지에서 확인할 수 있다.^[15]이 리스트를 스테판 루부틴과 오카자키 료타로의 작품과 결합하면 1등급의 쿼티크 CM 필드의 전체 리스트가 제공된다.^[16]

참고 항목

메모들

^ ^a ^b ^c ^d 제1장 1999년 노이키르흐 제6장 페이지 37
^ Dembélé, Lassina (2005). "Explicit computations of Hilbert modular forms on $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ " (PDF). Exp. Math. 14 (4): 457–466. doi:10.1080/10586458.2005.10128939. ISSN 1058-6458. Zbl 1152.11328.
^ H. Cohen, 연산 대수학 수 이론 과정, GTM 138, Springer Verlag(1993), 부록 B2, 페이지 507
^ H. Cohen과 H. W. Lenstra, Huuristics, Class groups of number generations, Noordwijkerhout 1983, Proc. 13th Journales Arithmétique, ed.H. 제거, 렉트.1068, Springer-Verlag, 1984, 페이지 33-62
^ ^a ^b Pari 소스 코드에서 사용 가능한 테이블
^ Washington, Lawrence C. (1997). Introduction to Cyclotomic Fields. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 83 (2nd ed.). Springer-Verlag. Theorem 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047.
^ n이 홀수일 때 Q(수치_2n) = Q(수치_n)이기 때문에 2 modulo 4에 대한 n의 값은 중복된다.
^ J. C. 밀러, 베버 클래스 번호 문제에 대한 완전한 실제 필드 및 응용 프로그램의 클래스 번호, https://arxiv.org/abs/1405.1094
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참조

Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

[neu-1] 제1장 1999년 노이키르흐 제6장 페이지 37

[2] Dembélé, Lassina (2005). "Explicit computations of Hilbert modular forms on $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ " (PDF). Exp. Math. 14 (4): 457–466. doi:10.1080/10586458.2005.10128939. ISSN 1058-6458. Zbl 1152.11328.

[3] H. Cohen, 연산 대수학 수 이론 과정, GTM 138, Springer Verlag(1993), 부록 B2, 페이지 507

[4] H. Cohen과 H. W. Lenstra, Huuristics, Class groups of number generations, Noordwijkerhout 1983, Proc. 13th Journales Arithmétique, ed.H. 제거, 렉트.1068, Springer-Verlag, 1984, 페이지 33-62

[pari-5] Pari 소스 코드에서 사용 가능한 테이블

[6] Washington, Lawrence C. (1997). Introduction to Cyclotomic Fields. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 83 (2nd ed.). Springer-Verlag. Theorem 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047.

[7] 이 홀수일 때 Q(수치_2n) = Q(수치_n)이기 때문에 2 modulo 4에 대한 n의 값은 중복된다.

[8] J. C. 밀러, 베버 클래스 번호 문제에 대한 완전한 실제 필드 및 응용 프로그램의 클래스 번호, https://arxiv.org/abs/1405.1094

[Exp2009-9] Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2009). "Weber's class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{2}$ -extension of $\mathbb {Q}$ ". Exp. Math. 18 (2): 213–222. doi:10.1080/10586458.2009.10128896. ISSN 1058-6458. MR 2549691. Zbl 1189.11033.

[10] Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2011). "Weber's class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{2}$ -extension of $\mathbb {Q}$ III". Int. J. Number Theory. 7 (6): 1627–1635. doi:10.1142/S1793042111004782. ISSN 1793-7310. MR 2835816. Zbl 1226.11119.

[11] Morisawa, Takayuki (2009). "A class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{3}$ -extension of $\mathbb {Q}$ ". Tokyo J. Math. 32 (2): 549–558. doi:10.3836/tjm/1264170249. ISSN 0387-3870. MR 2589962. Zbl 1205.11116.

[12] Stark, Harold (1974), "Some effective cases of the Brauer–Siegel theorem", Inventiones Mathematicae, 23 (2): 135–152, Bibcode:1974InMat..23..135S, doi:10.1007/bf01405166, hdl:10338.dmlcz/120573

[13] Odlyzko, Andrew (1975), "Some analytic estimates of class numbers and discriminants", Inventiones Mathematicae, 29 (3): 275–286, Bibcode:1975InMat..29..275O, doi:10.1007/bf01389854

[14] Murty, V. Kumar (2001), "Class numbers of CM-fields with solvable normal closure", Compositio Mathematica, 127 (3): 273–287, doi:10.1023/A:1017589432526

[15] Yamamura, Ken (1994), "The determination of the imaginary abelian number fields with class number one", Mathematics of Computation, 62 (206): 899–921, Bibcode:1994MaCom..62..899Y, doi:10.2307/2153549, JSTOR 2153549

[16] Louboutin, Stéphane; Okazaki, Ryotaro (1994), "Determination of all non-normal quartic CM-fields and of all non-abelian normal octic CM-fields with class number one", Acta Arithmetica, 67 (1): 47–62, doi:10.4064/aa-67-1-47-62

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