반지 제품

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수학에서, 링의 생산물 또는 링의 직접 생산물은 여러 링의 기저 세트(아마도 무한대)의 데카르트 곱에 의해 형성되는 고리로 구성 요소별 연산을 갖추고 있다.반지의 범주에 속하는 직거래 제품이다.

직접 생산물은 이소모르피즘에 따라 정의되기 때문에, 사람들은 구어체적으로 링이 이들 링의 직접 생산물에 이소모르픽이라면 어떤 링의 산물이라고 말한다.For example, the Chinese remainder theorem may be stated as: if m and n are coprime integers, the quotient ring ${\displaystyle \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} }$ is the product of ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ and ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

예

중요한 예로는 정수모듈로n의 고리인 Z/nZ가 있다.n이 primary power의 산물로 쓰여진 경우(산술의 기본 정리 참조),

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}p_{2}^{n_{2}}\cdots \p_{k}^{n_{k}},}$

p가_i 구별되는 primes인 경우, Z/nZ는 자연적으로 제품에 이형성이 있다.

${\displaystyle \mathbf {Z} /p_{1}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /p_{2}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /p_{k}^{n_{k}}\mathbf {Z} .}$

이것은 중국의 나머지 정리에서 따온 것이다.

특성.

만약 R = r_i∈Ii R이 반지의 산물이라면, I의 모든 I에 대해 우리는 제품을 i th 좌표에 투영하는 처절하게 링 동형상_i p : R → R이_i 있다.제품 R은 투영 p와_i 함께 다음과 같은 범용 특성을 가지고 있다.

S가 어떤 고리이고 F_i : S → R이_i I의 모든 I에 대한 고리 동형성이라면, I의 모든 I에 대해 정확하게 하나의 고리 동형성 f : S_i → R이_i 존재한다.

이것은 반지의 제품이 범주 이론의 의미에서 제품의 한 예라는 것을 보여준다.

내가 유한할 때, , R의_i∈Ii 기초 첨가물 그룹은 R의_i 첨가물 그룹의 직접 합과 일치한다.링의 범주에 이후 그것은 대개지 않은 부산물(정체성과)이 경우, 일부 저자들과⊕i∈I 리영호를 쓰지만, 이 범주 이론의 관점에서는 잘못 기억하고 있어:두가지나 승리의는 알고는 포함 사상 리영호 → R1대 1지도를 그리고 있지 않a이 실패하면 R은"반지의 직합 리영호"라고 부른다 반지 h전형성

(교감 링 위에 있는 교감 알헤브라의 범주에 있는 유한 조합물은 알헤브라의 텐서 제품이다.알헤브라의 범주에 속하는 코프로덕트는 알헤브라의 자유 제품이다.)

직접 생산물은 자연 이소모르피즘과 일치하며, 어떤 순서로 직접 생산물을 형성하는지는 중요하지 않다는 것을 의미한다.

I에서_i A가 각 I에 대한 R의_i 이상이라면 A = π_i∈I A는_i R의 이상이다.만약 내가 유한하다면, 그 역은 참, 즉 R의 모든 이상은 이런 형태의 것이다.그러나, 만약 내가 무한하고 링 R이_i 비경쟁적이라면, 그 반대는 거짓이다: 거의 모든 0이 아닌 좌표를 가진 원소 집합이 R의_i 이상적 직접적인 산물이 아닌 이상을 형성한다.이상_i A는 A 중 하나를 제외한 모든 것이 R과_i 같고_i 나머지_i A는 R에서 프라임 이상이라면 R에서는 프라임 이상이다.그러나 내가 무한할 때는 그 반대가 사실이 아니다.예를 들어, R의_i 직접 합은 그러한 A에 포함되지 않는 이상을 형성하지만, 선택의 공리는 그것이 어떤 최대 이상에 포함되어 있다는 것을 주는데, 그것은 포티오리의 전성기라는 것이다.

R의 원소 x는 모든 구성요소가 단위인 경우, 즉 p(x)가_i I의 모든 I에 대해 R의_i 단위인 경우에만 단위다.R의 단위 집단은_i R의 단위 집단의 산물이다.

두 개 이상의 비경쟁 링의 제품은 항상 0이 아닌 제로를 가지고 있다: x가 p_i (x)를 제외한 모든 좌표가 0인 제품의 요소이고 y가 p_j (y)를 제외한 모든 좌표가 0인 제품의 요소라면, i ≠ j를 제외하고 xy = 0인 제품 링의 xy = 0이다.

참조

• Herstein, I.N. (2005) [1968], Noncommutative rings (5th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-039-8
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 91, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001