레이 클래스 필드

수학에서 레이 클래스 필드는 이상적인 클래스 또는 이상 클래스의 레이 클래스 그룹과 연관된 글로벌 영역의 아벨리안 확장이다.숫자장의 모든 유한한 아벨의 확장은 그것의 레이 클래스 필드 중 하나에 포함되어 있다.

"레이 클래스 그룹"이라는 용어는 독일어 "Strahlklasengrupe"를 번역한 것이다.여기서 "Strahl"은 광선을 위한 독일어로, 종종 양성 실선을 의미하는데, 이것은 광선 등급 그룹을 정의하는 긍정의 조건에서 나타난다.하세(1926, p.6)는 긍정의 조건을 사용하여 정의한 어떤 이상 집단을 의미하기 위해 "Strahl"을 사용하고, 이 집단의 코제트를 의미하기 위해 "Strahlklasse"Strahlklasse"를 사용한다.

작가들이 무한한 프리임이 어떻게 다루어지는가에 있어 다르기 때문에 레이 클래스 분야가 무엇인지에 대한 두 가지 약간 다른 개념이 있다.

역사

베버는 1897년에 레이 클래스 그룹을 도입했다.다카기는 약 1920년에 해당 레이 클래스 필드의 존재를 증명했다.체발리는 1933년에 이단적인 측면에서 레이 클래스 그룹의 정의를 개혁했다.

이상을 이용한 레이 클래스 필드

m이 숫자 필드 K의 정수 링의 이상이고 S가 실제 위치의 하위 집합이라면, m과 S의 레이 클래스 그룹은 인용 그룹이다.

${\displaystyle I^{m}/P^{m}\,}$

여기서 나는^m m에 대한 부분적 이상들의 집단이고, "레이" P는^m S의 장소에서 양적인 ≡ 1 md m을 가진 원소 a에 의해 생성된 주요 이상들의 집단이다.S가 모든 실제 장소로 구성되어 있어서 a가 완전히 양성으로 제한될 때, 그 그룹을 m의 좁은 레이 클래스 그룹이라고 부른다.어떤 저자들은 "선반집단"이라는 용어를 "선반집단"을 의미하기 위해 사용한다.

K의 레이 클래스 필드는 클래스 필드 이론에 의한 레이 클래스 그룹과 연관된 K의 아벨리안 확장이며, 그 갈루아 그룹은 해당 레이 클래스 그룹과 이소모픽이다.주어진 레이 클래스 그룹의 레이 클래스 필드의 존재에 대한 증명은 길고 간접적이며 일반적으로 그것을 구성하는 쉬운 방법이 알려져 있지 않다(상상적 이차적 필드 등 일부 특수한 경우에서 명시적 구조는 알려져 있지만).

IDE를 사용하여 레이 클래스 필드

Chevalley는 이상적인 m의 레이 클래스 그룹과 실제 장소의 세트 S를 그룹 이미지별 이데클 클래스 그룹의 몫으로 재정의했다.

${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

U가_p 주어지는 경우:

• 복합 플레이스에 대한 0이 아닌 복합 번호 p
• S에서 실제 위치 p에 대한 양의 실수 및 S에서 p에 대한 모든 0이 아닌 실수 값
• 분할 m이 아닌 유한 장소 p에 대한_p K의 단위
• p가ⁿ p를 나누는 p의 최대 힘인 경우 1 mdⁿ p에 해당하는 K의_p 단위.

일부 저자들은 좀 더 일반적인 정의를 사용하며, 여기서 그룹_p U는 특정 실제 장소 p에 대해 모두 0이 아닌 실수가 되도록 허용된다.

이델을 사용하여 정의한 레이 클래스 그룹은 자연적으로 이상을 사용하여 정의한 그룹과 이형성이 있다.이들은 모두 단일 집단의 인용문이기 때문에 이론적으로 다루기가 더 쉬우며, 따라서 비교하기가 더 쉽다.

레이 클래스 그룹의 레이 클래스 필드는 L의 아이디얼 클래스 그룹 C의_L 규범이 K의 아이디얼 ${\displaystyle {클래스}_{}}$ 그룹에 있는$$ $∏$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$p {\$displaystyle$\pd $U_{p}\,}$의 이미지로 K의 (유일) 아벨리안 확장 L이다.

예

K가 합리적인 숫자의 분야라면 m은 0이 아닌 이성 정수, S는 K의 Archimedeanese자리, 즉 (m)와 S의 레이 클래스 그룹은 Z/mZ의 단위 그룹에 이형이며, 레이 클래스 필드는 단결의 m번째 뿌리에 의해 생성된 분야다.(m)의 레이 클래스 필드와 빈 장소 집합은 최대 실제 하위 필드 - $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ Q${\displaystyle (\cos }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$m${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \mathb {Q}(\cos({\frac {2\pi$}}{$m$

힐버트 클래스 필드는 단위 이상과 실제 장소의 빈 집합에 해당하는 레이 클래스 필드여서 가장 작은 레이 클래스 필드다.좁은 힐버트 클래스 필드는 단위 이상에 해당하는 레이 클래스 필드로, 모든 실제 장소의 집합에 해당하므로 가장 작은 좁은 레이 클래스 필드다.

참조

• Hasse, Helmut (1926), "Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Göttingen: Teubner, 35
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.