초경량 공간

In mathematics, an ultrametric space is a metric space in which the triangle inequality is strengthened to ${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$. Sometimes the associated metric is also called a non-Archimedean metric or super-metric. 초경량 공간에 대한 몇 가지 이론이 얼핏 이상하게 보일 수 있지만, 그것들은 많은 어플리케이션에서 자연스럽게 나타난다.

형식 정의

설정된 M의 초경량계(초경량계)는 실제 값 함수임

$\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathb {R}}$

(여기서 ℝ은 실수를 나타낸다.) 모든 x, y, z ∈ M:

1. d(x, y) ≥ 0;
2. d(x, y) = d(y, x) (ii)
3. d(x, x) = 0;
4. d(x, y) = 0이면 x = y ;
5. d(x, z) 최대값 {d(x, y), d(y, z)}(강력한 삼각 불평등 또는 초경량 불평등).

초경량 공간(multrametric space)은 M에 초경량 d와 함께 세트 M으로 구성된 쌍(M, d)으로, 이를 공간의 관련 거리 함수(metric이라고도 한다)라고 한다.

만약 d가 가능한 조건 4를 제외한 모든 조건을 만족한다면 d는 M에서 초고속도계라고 불린다. 초경량 공간은 M에 세트 M과 초경량 d로 구성된 쌍(M, d)이다.^[1]

M이 그룹(추가적으로 작성)이고 길이 함수${\displaystyle }$function ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \Vert }$ { { { {$$\$displaystyle \cdot \}$에 의해 d가 생성되는 경우($$$따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle x}$ - ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyd d(x,y)=\ x-y\}$ })를 사용하여^[2] 다음과 같이 마지막 속성을 더 강하게 만들 수 있다.$$

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Vert }$ max ${\displaystyle max}${${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \Vert }$}$}$ {\$displaystyle \x+y\\leq\\\leq\\leq$\\\$leq$$\},$$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$if if if if ${\displaystyle \mathrm{if}}$ if if if if if ${\displaystyle \{}$ \$$\ \ \$\\\neq$\ \ \ \ \ $\$\ \ \ \ \ \ \ $\backslash \}\}\}\}.$

우리는 만약 ‖ x+y‖ ≤ max{‖)‖, ‖ y‖}{\displaystyle)x+y\\leq\max \left\{\ x\ ,\ y\ \right\}}증명할 경우‖ x ‖ ≠ ‖ y‖{\displaystyle)x\)\neq y\}그 평등은 발생한다. 대부분의 손실 없이 그 ‖)‖하는 것으로 가정하자;‖ y‖{\displaystyle)x\>)y\}. 이것은 x‖+y‖를 암시하고 싶다.≤ ‖)${\displaystyle \ x+y\ \leq \ x\ }$. But we can also compute ${\displaystyle \ x\ =\ (x+y)-y\ \leq \max \left\{\ x+y\ ,\ y\ \right\}}$. Now, the value of ${\displaystyle \max \left\{\ x+y\ ,\ y\ \right\}}$ cannot be ${\displaystyle \$$만약$ 그렇다면$,$ 우리는 초기 가정과 ${\displaystyle \mathrm{반대}}$로 $\Vert {\displaystyle }$ x $‖$y${\displaystyle y}$ y { {${\displaystyle }${ { {$\leq$\ y$\ }$을(를) $가지고$ 있다. Thus, ${\displaystyle \max \left\{\ x+y\ ,\ y\ \right\}=\ x+y\ }$, and ${\displaystyle \ x\ \leq \ x+y\ }$. Using the initial inequality, we have ${\displaystyle \ x\ \leq \ x+y\ \leq \ x\ }$ and therefore ${\displaystyle$$\ x+y\ =\ x\$ $\}$

특성.

위의 정의에서, 몇 가지 전형적인 초경량학 특성을 결론 내릴 수 있다. For example, for all ${\displaystyle x,y,z\in M}$, at least one of the three equalities ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$ or ${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$ or ${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$ holds. 즉, 우주에 있는 모든 점의 3배는 이소셀 삼각형을 형성하기 때문에 공간 전체가 이소셀 집합이다.

$r{\displaystyle }$> ${\displaystyle r>0}$의 (개방형) 볼을 ${\displaystyle x}$∈ M$${\$displaystyle$ x$\in$ M$}$에서 ) { , y)> ${\displaystyle B(x;r$)로$$ 정의$:$$=\\{y\in$ M$\mid d(x,y)<r$ 우리는 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

• 공 안의 모든 지점은 그것의 중심이다 즉, d ( , ) < $[\displaystyle$ d $(x,y)><r}$ 그러면 ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= B${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$; ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle$ B $(x;r)=B (y;r$
• Intersecting balls are contained in each other, i.e. if ${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$ is non-empty then either ${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$ or ${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$.
• 엄격히 양의 반지름을 가진 모든 볼은 유도 위상에서 열린 세트와 닫힌 세트 둘 다이다. 즉, 오픈볼도 닫혀 있고, 클로즈드볼(대체공< ${\displaystyle <}$을(를) $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq }$로$)$도 열려 있다.
• $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$과 반경 r >0 ${\displaystyle$ r$>0}$의 닫힌 공에 중심이 있는 모든 열린 공의 집합은 후자의 분할을 형성하며, 두 개의 뚜렷한 열린 공의 상호 거리는 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$과 (또는) 같다$.$

이 진술들을 증명하는 것은 유익한 연습이다.^[3] 모두 초경량 삼각형 불평등에서 직접 유래한다. 두 번째 진술에 따르면 볼은 0이 아닌 거리를 가진 여러 개의 중심점을 가질 수 있다. 이처럼 이상하게 보이는 효과의 이면에 있는 직관은 강한 삼각 불평등 때문에 초경량학에서의 거리가 앞뒤가 맞지 않는다는 것이다.

예

• 이산형 메트릭스는 초경량 측정법이다.
• p-adic 번호는 완전한 초경량 공간을 형성한다.
• 일부 알파벳 σ에 대해 임의 길이(완료 또는 무한) σ의^* 단어 집합을 고려하십시오. 두 개의 서로 다른 단어 사이의 거리를 2가⁻ⁿ 되도록 정의하십시오. 여기서 n은 단어가 가장 먼저 다른 곳이다. 그 결과로 나온 측정기준은 극미량이다.
• 일부 알파벳 Ⅱ에 걸쳐 길이의 끝이 접착된 단어 집합은 p-close 거리에 관한 초경량 공간이다. x와 y 두 단어는 p 연속 문자의 하위 문자열(p < n)이 x와 y 둘 다에서 같은 횟수(역시 0일 수 있음)로 나타날 경우 p-close이다.^[4]
• r = (r_n)이 0으로 감소하는 실수의 시퀀스라면, x := 림 sup_n→∞ x는_n 그것이 유한한 모든 복잡한 시퀀스의 공간에 초계수를 유도한다. (이것은 동질성이 없기 때문에 세미몬이 아니라는 점에 유의하십시오 — r이_n 0이 되도록 허용된다면, 0⁰=0이라는 다소 특이한 관례를 여기서 사용해야 한다.)
• G가 에지 가중치 비방향 그래프인 경우 모든 에지 가중치는 양의 값이고 d(u,v)는 u와 v 사이의 미니맥스 경로의 무게(즉, 이 가장 큰 가중치를 최소화하기 위해 선택한 경로에서 가장 큰 가중치)이며, 그래프의 정점(d)은 d로 측정된 거리로 초경량 공간을 형성하며, 모든 유한한 초경량 공간 m을 형성한다.이런 식으로 대표된다.^[5]

적용들

• 수축 매핑은 (Banach 고정점 정리에 의해 존재할 수 있다고 보장될 수 있는) 연산의 최종 결과에 근사치하는 방법으로 생각할 수 있다. 유사한 아이디어는 도메인 이론에서도 찾을 수 있다. p-adic 분석은 p-adic 메트릭스의 초계량적 특성을 많이 이용한다.
• 응축물리학에서 스핀안경의 SK 모델에서 스핀들 사이의 자기 평균화 중첩은 초경량 구조를 보이며, 조르지오 파리시와 동료들이 먼저 설명한 전체 복제본 대칭 파괴 절차에 의해 주어진 해결책이 제시된다.^[6] 초경량성은 또한 주기 고형물 이론에서도 나타난다.^[7]
• 분류학 및 계통생성 트리 구성에서도 UPGMA와 WPGMA 방식으로 초경량 거리를 활용한다.^[8] 이러한 알고리즘은 일정한 비율의 가정을 필요로 하며 뿌리부터 가지 끝까지의 거리가 동일한 나무를 생성한다. DNA, RNA, 단백질 데이터를 분석하면 초계량 가정을 분자시계라고 한다.
• 유체의 3차원 난류에서 간헐성 모델은 이른바 계단식(cascade)을 사용하며, 초경량 구조인 디아디드 계단식(diadius cascade)의 이산형 모델에서 사용한다.^[9]
• 지리·경관생태학에서는 초경량 거리를 적용해 경관 복잡성을 측정하고 한 경관 기능이 다른 것보다 얼마나 중요한지를 평가해 왔다.^[10]

참조

참고 문헌 목록

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

추가 읽기

위키미디어 커먼스는 비-아키메데스 기하학과 관련된 미디어를 보유하고 있다.

• Kaplansky, I. (1977), Set Theory and Metric Spaces, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.