단순연장

장 이론에서 단순 확장은 단일 원소의 결합에 의해 생성되는 장 확장이다.단순한 확장은 잘 이해되고 완전히 분류될 수 있다.null

원시 요소 정리는 유한한 단순 확장의 특성화를 제공한다.null

정의

L에 원소 θ이 있는 경우 필드 확장자 L/K를 단순 확장자라 한다.

$L=K(\displaystyle L=K(\theta).}$

원소 θ은 연장에 대해 원시 원소, 즉 생성 원소라고 부르는데, 우리는 또한 by에 의해 K에 걸쳐 L이 생성된다고 한다.

모든 한정된 장은 동일한 특성의 프라임 영역의 단순한 확장이다.좀 더 정확히 말하면 p가 $소수$이고${\displaystyle }$q = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$디스플레이스타일 q$=p^{d$}} 필드 F$$q$$ {\${\displaystyle {}_{}}$ $\$ q}는 ${\displaystyle {}_{}}$ $p{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$. ${\디스플레이스타일 \mathb {F} _{p}$의 간단한 확장이다.$}$ 이는$$ θ 원소 degree에 의해 degree의 원소 d의 ir에 의해 생성됨을 의미한다.그러나 이 경우 θ은 일반적으로 앞의 항에서 주어진 정의에 들어맞아도 원시적 요소로 언급되지 않는다.null

그 이유는 유한 장의 경우 원시 원소의 경쟁적 정의가 있기 때문이다.실제로 유한장의 원시적 요소는 보통 그 장의 승수집단의 발생기로 정의된다.보다 정확히 말하면, 작은 페르마 정리로는 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$즉, 그 승수군)의 논제로 원소가 방정식의 뿌리가 된다.

${\displaystyle x^{q-1}-1=0,}$

그것이 통합의 (q-1)번째 뿌리다.따라서 이러한 맥락에서 원시 원소는 원시적 (q-1)-단일성의 뿌리로서, 이 원소의 0이 아닌 원소들의 승수집단의 생성물이다.분명히 집단 원시 원소는 밭 원시 원소지만 그 반대는 거짓이다.null

따라서 일반적 정의에서는 전장의 모든 원소가 발전기에서 다항식으로 표현될 수 있는 반면, 유한장의 영역에서는 전원의 모든 0이 아닌 원소가 원시 원소의 순수한 힘이다.이러한 의미를 구별하기 위해 일반적 개념에는 L의 필드 원시 요소를 사용하고 유한한 필드 개념에는 그룹 원시 요소를 사용할 수 있다.^[1]null

단순 확장 구조

L이 θ에 의해 생성된 K의 단순한 확장이라면 K와 θ을 모두 포함하는 가장 작은 필드인 것이다.이는 L의 모든 요소를 K와 θ의 요소로부터 정밀하게 많은 필드 연산(추가, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)으로 얻을 수 있다는 것을 의미한다.null

다항 링 K[X]를 고려하십시오.그것의 주요 특성 중 하나는 독특한 고리 동형성이 존재한다는 것이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\varphi :K[X]&\오른쪽 화살표 L\\p(X)&\mapsto p(\teta )\,\end{정렬}}}$

두 가지 경우가 발생할 수 있다.null

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 주입식인 경우, K[X]의 분수 K(X) 영역으로 확장될 수 있다.우리가 θ에 의해 L이 생성된다고 가정했듯이, $이것$은 {$${\$displaystyle \varphi}$이(가) K(X)에서 L에 이르는 이형성임을 암시한다.이는 L의 모든 요소가 θ에서 다항식의 불가역적인 분수와 같으며, 그러한 불가역 분수는 분자와 분모를 K의 동일한 비영점 원소에 곱하여 한 개에서 다른 개로 통과할 수 있는 경우에만 동일하다는 것을 의미한다.

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 주입되지 않는$$ 경우 p(X)를 kernel의 최소 다항식인 커널의 생성자가 되게 하십시오.$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 이미지는 L의 하위 문자열이므로 통합$$ 도메인이다.이는 p가 불가역 다항식이라는 $것$을 의미하며, 따라서 지수 링 K${\displaystyle }$[ X ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$⟨ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle K[X]/\langle p\angle }}$이(가) 필드임을$$ 의미한다.L은 θ에 의해 생성되므로 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 추월적이며, $\phi {\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $\varphi }$은(는) $K{\displaystyle }$[ X ${\displaystyle ]}$/ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaysty K[X]/\langle p\angle }$에서 L로 이형태를 유도한다$$.이는 L의 모든 요소가 extension의 고유한 다항식과 동일하며, 확장 정도보다 낮은 정도라는 것을 암시한다.null

예

• C:R (i에 의해 생성됨)
• Q(${\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$Q($2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 의해 생성됨),$$ 보다 일반적으로 모든 숫자 필드(즉, Q의 유한 확장)는 일부 α에 대한 단순한 확장 Q(α)이다.예를 들어 ${\displaystyle Q\sqrt{\mathrm{}}(}$3${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 7\sqrt{\mathrm{}}}$ ) ${\displaystyle \mathbf{Q}({\sqrt{3},{\sqrt{7})$는 3${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 7\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 의해 생성된다$.$
• F(X):F(X에서 생성됨).

참조

• Roman, Steven (1995). Field Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 158. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001.