대수수장 판별

수학에서 대수적 수장의 판별은 느슨하게 말하면 대수적 수장의 (정수의 고리) 크기를 측정하는 숫자 불변성이다.구체적으로는, 정수의 링의 기본 영역의 제곱 부피에 비례하며, 어떤 프리임이 래밍되는지를 조절한다.

판별은 숫자 분야의 가장 기본적인 불변제 중 하나이며, K의 데데킨드 제타함수의 함수 방정식과 K의 분석 등급 번호 공식과 같은 몇 가지 중요한 분석 공식에서 발생한다.Hermite의 한 정리는 한정된 판별의 숫자의 분야만 아주 많이 존재한다고 하지만, 이 양을 결정하는 것은 여전히 열린 문제이고, 현재 연구 대상이다.^[1]

K의 판별을 K의 절대판별이라고 하여 숫자 필드의 확장 K/L에 대한 상대판별과 구별할 수 있다.후자는 L의 정수 링에서 이상적이며, 절대판별처럼 K/L에서 어떤 프리임이 적중되는지를 나타낸다.L이 Q보다 클 수 있도록 하는 절대판별의 일반화인데, 실제로 L = Q일 때 K/Q의 상대판별은 K의 절대판별에 의해 생성되는 Z의 주요 이상이다.

정의

K를 대수적 숫자장이 되게 하고, O를_K 정수의 링이 되게 하라.b₁, ..., b는_n O의_K 일체적 기초(즉, Z-모듈로서의 기초)가 되고, { {, ..., σ_1n}은 복잡한 숫자에 K의 임베딩 집합(즉, 주입 고리 동형체 K → C)이 되게 한다.K의 판별은 (i,j)-진입이_i b_j(b)인 n 행렬 B에 의한 n의 결정인자의 제곱이다.상징적으로

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

동등하게 K에서 Q까지의 추적을 사용할 수 있다.특히 추적 양식을 (i,j)-entry가 Tr_K/Qij(bb)인 행렬로 정의하십시오.이 행렬은 BB와^T 같으므로 K의 판별은 이 행렬의 결정 요인이다.

예

• 2차 숫자 필드: d를 제곱이 없는 정수로 하고, $K{\displaystyle }$= Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle K=\mathbf {Q}({\sqrt{d})}$의 판별은 다음과$$^[2] 같다.

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{\begin{array}{ll}d&{\text{{}d&{\pmod{4}}{\d&{\text{{}}}}d\d}{}d\pmod {4}}.\\end{array}\right.}$

2차수 필드의 판별으로서 발생하는 정수를 근본 판별이라고 한다.^[3]

• 사이클로토믹 필드: n > 2를 정수로 하고, ζ을_n 원초적인 n번째 단결의 n번째 루트로 하고, K_n = Q(ζ_n)를 n번째 사이클로토믹 필드로 한다.K의_n 차별은 다음과 같다^[2][4].

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}}{\frac {n^{\varphi (n)}}{pn}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \varphi (n)}$는 오일러의 토텐트 함수이며, 분모에 있는 제품은 primes p를 초과하여 n을 나눈다.

• 전원 기준:정수의 링이 동력_K 적분 기초를 가지고 있는 경우, 즉 O = Z[α]로 쓸 수 있는 경우, K의 판별은 α의 최소 다항식의 판별과 같다.이를 보려면 O의_K1 적분 기준을 b = 1, b = α₂, b = α₃², ..., b_n = α로ⁿ⁻¹ 선택할 수 있다.그 다음, 정의의 행렬은 α_i = α_i(α)와 연관된 Vandermonde 행렬로, 결정인자 제곱은

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\reason _{i}-\reason _{j}^{2}}$

최소 다항식의 판별의 정의가 바로 그것이다.

• Let K = Q(α)는 다항식³ x² - x - 2x - 8의 루트 α를 결합하여 얻은 숫자 필드다.이것은 정수의 링이 파워 베이스를 가지고 있지 않은 숫자 필드의 원래 예다.적분기준은 {1, α, α(α + 1)/2}에 의해 주어지며 K의 차별성은 -503이다.^[5][6]
• 반복적인 차별: 2차적 영역의 차별이 그것을 고유하게 식별하지만, 일반적으로 더 높은 수준의 숫자 필드에 대해서는 사실이 아니다.예를 들어, 판별 3969의 두 개의 비이형 입방체가 있다.다항식 x³ - 21x + 28 또는 x³ - 21x - 35의 루트를 각각 결합하여 얻는다.^[7]

기본결과

• 브릴의 정리:^[8]판별의 부호는 (-1)^r₂이며 여기서 r은₂ K의 복잡한 장소의 수입니다.^[9]
• p가 Δ를_K 나누는 경우에만 prime p가 K에서 dramis한다.^[10]
• 스틱벨버거의 정리:^[11]

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ 또는 }1}{\pmod {4}.}$

• 민코프스키의 속박:^[12]n은 확장 K/Q의 정도와 K의 복잡한 장소의 수를₂ 나타내도록 한다.

${\displaystyle \Delta _{K}^{1/2}\geq {\frac{n^{n}}{n!}}}\왼쪽 \frac {\pi }{4}\오른쪽)^{r_{2}}\geq {\frac{n^{n}}{n!}}}\왼쪽 \frac {\pi }{4}\오른쪽)^{n/2}.}$

• 민코프스키의 정리:^[13]K가 Q가 아니면 Δ_K > 1 (이것은 민코프스키 바운드에서 직접 따라온다.
• 헤르미트-밍코프스키 정리:^[14]N을 양의 정수로 한다.Δ_K < N. 다시 말하지만, 이것은 Hermite의 정리(정연한 판별을 가진 대수적 숫자 필드만 매우 많음)와 결합한 민코프스키에서 비롯된다.

역사

일반 대수적 숫자장 K의 판별의 정의는 1871년 데데킨드에 의해 주어졌다.^[15]이쯤에서 그는 이미 판별과 횡설수설의 관계를 알고 있었다.^[16]

에르미테의 정리는 1857년에 그것에 대한 증거를 출판한 찰스 에르미테와의 판별에 대한 일반적인 정의보다 앞서 있다.^[17]1877년 알렉산더 폰 브릴은 판별의 기호를 정했다.^[18]레오폴드 크로네커는 1882년 처음 민코프스키의 정리를 진술했지만,^[19] 최초의 증거는 1891년 헤르만 민코프스키에 의해 제시되었다.^[20]같은 해, 민코프스키도 판별에 대한 자신의 바운드를 발표했다.^[21]19세기 말에 루드비히 스틱벨베르거는 판별모듈로 4의 잔재에 대한 정리를 얻었다.^[22][23]

상대판별

위에서 정의한 판별을 K/L의 연장에 대한 상대 판별 Δ와_K/L 구별하기 위해 K의 절대 판별이라고 부르기도 하는데, 이는 O에서_L 이상적이다.상대적 차별은 절대적 차별과 유사한 방식으로 정의되지만, O의_L 이상은 주체가 아닐 수 있고 O의_K O근거가_L 없을 수도 있다는 점을 고려해야 한다.{σ₁, ..., σ_n}을(를) L에 있는 신분인 C에 대한 K의 임베딩 집합으로 한다. b₁, ..., b가_n L에 대한 K의 어떤 기초라면 d(b₁, ..., b)는_n (i,j)-entry가 σ_i(b_j)인 n 매트릭스의 결정요인의 제곱으로 한다.그렇다면 K/L의 상대적 판별은 {b₁₁, ..., b_nn}이(가) K/L의 모든 적분 베이스에 걸쳐 다르기 때문에 d(b_i, ..., b)가 생성하는 이상이다(즉, 모든 i에 대해 b ∈ O인_K 속성을 갖는 베이스).대안으로 K/L의 상대적 판별은 K/L의 차이의 규범이다.^[24]L = Q일 때 상대판별 Δ는_K/Q 절대판별 Δ에_K 의해 생성되는 Z의 주요 이상이다. K/L/F 필드의 탑에서 상대판별은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal{N}_{L/F}\왼쪽({\Delta _{K/L}\오른쪽)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$

여기서 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 상대적인 규범을 나타낸다$$.^[25]

라미화

상대판별은 필드 확장자 K/L의 래미화 데이터를 조절한다.L의 주요 이상 p는 상대적 판별 Δ를_K/L 나눌 경우에만 K로 나타난다.단위가 이상적일 경우에만 확장이 구성되지 않는다.^[24]위에서 묶은 민코프스키를 보면 Q의 비종교적인 확장자가 없다는 것을 알 수 있다.Q보다 큰 필드의 경우, 예를 들어 클래스 번호가 1보다 큰 필드의 경우 해당 힐버트 클래스 필드는 비대칭 비대칭 확장자일 수 있다.

뿌리 판별

도 n수 필드 K의 루트 판별은 공식에 의해 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {rd} _{K}= \Delta _{K} ^{1/n}.}$^[26]

들판 탑에서 상대적 판별의 관계는 뿌리 판별이 비결정적 연장선상에서 변하지 않는다는 것을 보여준다.

점근 하한

Given nonnegative rational numbers ρ and σ, not both 0, and a positive integer n such that the pair (r,2s) = (ρn,σn) is in Z × 2Z, let α_n(ρ, σ) be the infimum of rd_K as K ranges over degree n number fields with r real embeddings and 2s complex embeddings, and let α(ρ, σ) = liminf_n→∞ α_n(ρ, σ).그러면

${\$$3^{\chma$ $\}\},$

일반화된 리만 가설은 더 강한 경계선을 의미해

$\displaystyle \cho ,\jeq 215.3^{\rho }44.7^{\buffma }}$^[27]

또한 무증상으로만 볼 수 있는 것이 아니라 모든 정도를 지탱하는 하한선이 있다.완전히 실제적인 분야의 경우, 뿌리 판별은 1229개의 예외를 제외하고 14보다 높다.^[28]

점근상구

반면에 무한계급 야전탑의 존재는 α(ρ, σ)의 값에 상한을 줄 수 있다.예를 들어, m = 3,5·7·11·19의 Q((-m) 위에 있는 무한계급 필드 타워는 임의로 큰 수준의 필드를 생성하며, 뿌리 판별형 2mm ≈ 296.276,^[27] 따라서 α(0,1) < 296.276.길들여진 함몰탑을 사용하여 하지르와 마이어는 α(1,0) < 954.3과 α(0,1) < 82.2를 보여주었고,^[26] 마르티넷의 이전 경계에서 개선되었다.^[27][29]

타수량과의 관계

• 언제 K에 내장되 ⊗ QR{\displaystyle K\otimes_{\mathbf{Q}}\mathbf{R}}, 좋아의 근본적인 도메인의 부피는Δ K{\displaystyle{\sqrt{\Delta_{K}}}}(때때로 다른 조치와 부핀 2− r2Δ K{\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt 사용된다.${\Delta _{K$ 여기서 r은₂ K의 복잡한 장소 수입니다.
• 이 책에서의 외관상 K의 데데킨드 제타함수의 함수 방정식에서도 판별이 나타나며, 따라서 분석 등급 번호 공식, 브루어-시겔 정리에서도 판별이 나타난다.
• K/L의 상대적 판별은 K/L의 갈루아 집단의 정규표현 아르틴 지휘자다.이는 K/L의 갈루아 그룹 캐릭터의 아르틴 도체와의 관계를 제공하며, 도체 차별식이라고 한다.^[30]

메모들

참조

일차 출처

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• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg, retrieved 2009-08-05
• Dedekind, Richard (1878), "Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 23 (1), retrieved 2009-08-20
• Hermite, Charles (1857), "Extrait d'une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés", Crelle's Journal, 1857 (53): 182–192, doi:10.1515/crll.1857.53.182, retrieved 2009-08-20
• Kronecker, Leopold (1882), "Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen", Crelle's Journal, 92: 1–122, JFM 14.0038.02, retrieved 2009-08-20
• Minkowski, Hermann (1891a), "Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen", Crelle's Journal, 1891 (107): 278–297, doi:10.1515/crll.1891.107.278, JFM 23.0212.01, retrieved 2009-08-20
• Minkowski, Hermann (1891b), "Théorèmes d'arithmétiques", Comptes rendus de l'Académie des sciences, 112: 209–212, JFM 23.0214.01
• Stickelberger, Ludwig (1897), "Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper", Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zürich, pp. 182–193, JFM 29.0172.03

이차 출처

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• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206
• Cohen, Henri; Diaz y Diaz, Francisco; Olivier, Michel (2002), "A Survey of Discriminant Counting", in Fieker, Claus; Kohel, David R. (eds.), Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, July 2002, Lecture Notes in Computer Science, vol. 2369, Berlin: Springer-Verlag, pp. 80–94, doi:10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN 0302-9743, MR 2041075
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934
• Koch, Helmut (1997), Algebraic Number Theory, Encycl. Math. Sci., vol. 62 (2nd printing of 1st ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-63003-1, Zbl 0819.11044
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• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
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• Voight, John (2008), "Enumeration of totally real number fields of bounded root discriminant", in van der Poorten, Alfred J.; Stein, Andreas (eds.), Algorithmic number theory. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canada, May 2008, Lecture Notes in Computer Science, vol. 5011, Berlin: Springer-Verlag, pp. 268–281, arXiv:0802.0194, doi:10.1007/978-3-540-79456-1_18, ISBN 978-3-540-79455-4, MR 2467853, Zbl 1205.11125
• Washington, Lawrence (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2 nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR 1421575, Zbl 0966.11047

추가 읽기

• Milne, James S. (1998), Algebraic Number Theory, retrieved 2008-08-20