직교 행렬

선형대수에서 직교행렬 또는 직교행렬은 열과 행이 직교 정규 벡터인 실제 정사각형 행렬입니다.

이것을 표현하는 한 가지 방법은

Q^{\mathrm {T}}Q=QQ{\mathrm {T}=I,

여기

서^T Q는

Q

의 전치이고

I

는 항등 행렬입니다.

$따라서$ 행렬 Q의 전치가 역행렬과 같으면 직교 행렬 Q가 됩니다.

Q^{\mathrm {T}}=Q^{-1}

여기

서⁻¹ Q는

Q

의 역수입니다.

직교 $행렬$ Q는 반드시 반전할 수 $있고 -1$ ( $역 T$ Q = Q), 단일 행렬( $Q -1$ = $Q *$ ), $여기$ 서^∗ Q는 $Q$ 의 에르미트 인접(환산 전치)이며, 따라서 실수에 대한 정규(QQ= $QQ * *$ )이다.직교 행렬의 행렬식은 +1 또는 -1입니다.선형 변환으로서, 직교 행렬은 벡터의 내적곱을 보존하고, 따라서 회전, 반사 또는 회전 굴절과 같은 유클리드 공간의 등간격으로 작용합니다.즉, 이것은 단일 변환입니다.

$n$ × $n$ 직교 행렬 집합은 직교 그룹으로 알려진 O $(n) 그룹$ 을 형성합니다.행렬식이 +1인 직교 행렬로 구성된 $부분군$ SO $(n)$ 를 특수 직교 행렬이라고 하며, 각 요소는 특수 직교 행렬입니다.선형 변환에서는 모든 특수 직교 행렬이 회전 역할을 합니다.

개요

직교 행렬은 단일 행렬의 실제 특성화 행렬이며, 따라서 항상 정규 행렬입니다.여기서는 실제 매트릭스만 고려하지만 정의는 모든 필드의 엔트리가 있는 매트릭스에 사용할 수 있습니다.그러나 직교 행렬은 점곱에서 자연스럽게 발생하며, 대신 유니터리 요구 사항을 유도하는 복소수 행렬의 경우 발생합니다.직교 행렬은 점곱을 ^[1]보존하기 때문에, n차원 실제 유클리드 공간의 $벡터$ $u$ 와 v에 대해

\displaystyle {\mathbf {u}\cdot {mathbf {v} =\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} } \right)}

여기

서 Q는 직교 행렬입니다.내부곱 연결을 보려면 n차원 실 유클리드 공간의 벡터 v를

고려

하십시오.직교 정규 기저를 기준으로 했을 때, v의

제곱

길이는

vv

이다^T.행렬

Qv

형식의 선형 변환이 벡터 길이를 보존하는 경우,

{{displaystyle {mathbf {v}^{\mathbf {V}}=(Q{\mathbf {v} } }(Q{\mathbf {v} }) =mathbf {v}^{\mathrm {T} } =mathbf {T}

따라서 유한 차원 선형 등각선(회전, 반사 및 이들의 조합)은 직교 행렬을 생성합니다.직교 행렬은 직교 변환을 의미합니다.그러나 선형대수는 유한 차원도 동일 차원도 아닌 공간 간의 직교 변환을 포함하며, 이들은 직교 행렬 등가물을 가지지 않는다.

직교 행렬은 이론적으로나 실제적으로나 여러 가지 이유로 중요합니다.n × $n$ 직교 행렬은 $행렬$ 곱셈 하에서 그룹을 형성한다. 직교 그룹은 O $(n)$ 로 표시되며, 그 부분군과 함께 수학과 물리 과학에서 널리 사용된다.예를 들어 분자의 점군은 O(3)의 서브그룹이다.직교 행렬의 부동소수점 버전은 유리한 특성을 가지기 때문에 QR 분해와 $같은$ 수치 선형 대수의 많은 알고리즘에 핵심입니다.다른 예로서 적절한 정규화를 통해 이산 코사인 변환(MP3 압축에 사용)을 직교 행렬로 나타낸다.

예

다음은 작은 직교 행렬과 가능한 해석의 몇 가지 예입니다.

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$ $]$ { $displaystyle { bmatrix$ } $1$ & $0$ \ \ $0$ & $1$ \ \ $end$ { $bmatrix$ } ( ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$ 변환)
$(\displaystyle {bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &\cos \theta \\end {bmatrix})$
${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$ - $]$ { $displaystyle { bmatrix$ } $1$ & $0$ \ \ 0 & $1$ \ \ $end$ { $bmatrix$ } ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$ (x축에 걸친 반사)
${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ 0 ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ 0 0 ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ 0 ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ 0 0 0 0 0 ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ]{ $displaystyle {$ displaystyle { $bmatrix }$ & $1$ & $1$ \ 0 & 1 & 0 \ $0$ & 0 $}$ (좌표축의 $변환$ )

기초 구조

저차원

가장 간단한 직교 행렬은 1 × 1 행렬 [1]과 [-1]로, 원점을 가로지르는 실선의 동일성과 반사로 해석할 수 있습니다.

2 × 2 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

{\displaystyle {bmatrix} p&t\q&u\end {bmatrix},

직교성이 요구하는 것이 세 가지 방정식을 만족시키는가?

{\displaystyle {\p^{2}+t^{2}+u^{2},\0&=pq+tu.\end { aligned}

첫 번째 방정식을 고려할 때, 일반성의 손실 없이 p= $cos$ $δ$ , q= sin $δ$ , t = $-q$ 또는 $t$ = $q$ , $u$ = $-p$ 중 $하나$ 를 $허용$ 한다.우리는θ(어디 θ)0은 정체성)회전하는 등 줄을 가로질러.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .nu의 각도로를 반영한 것으로번째가 첫번째 사건 해석할 수 있습니다.M,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}θ/2.

{bmatrix} \cos \theta \sin \theta \sin \sin \theta \\sin \sin \theta \cos \text {\text}, }\qquad \s {bmatrix}\cos \theta \sin \sin \theta \tatrix {\matrix {\}}}

$θ$ = $90°$ 인 반사 행렬의 특수한 경우 y = $x$ 가 $주는$ 45°에서 라인에 대한 반사가 생성되므로 $x$ 와 y를 $교환$ 할 수 있습니다. 각 열과 행에 1개씩(및 0) 있는 순열 행렬입니다.

(\displaystyle\displaystyle\bmatrix\1\end{bmatrix})}

동일성도 순열 행렬입니다.

반사는 그 자체 역행렬이며, 이는 반사 행렬이 직교할 뿐만 아니라 대칭(전치 행렬과 동일)임을 의미합니다.두 회전 행렬의 곱은 회전 행렬이고 두 반사 행렬의 곱 또한 회전 행렬입니다.

고차원

차원에 관계없이 직교 행렬을 순수하게 회전 또는 비회전 행렬로 분류하는 것은 항상 가능하지만, 3 × 3 행렬 이상의 경우 비회전 행렬은 반사 행렬보다 복잡할 수 있습니다.예를들면,

{bmatrix}-1&0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&1&0\\0&0&0&0&0&0\0&0&0&0&1&0\end{bmatrix}}{\text {\text

z 축에 대한 원점을 통한 반전 및 회전 반전을 각각 나타냅니다.

고차원에서는 회전이 더욱 복잡해집니다.회전은 더 이상 하나의 각도로 완전히 특징지을 수 없으며 둘 이상의 평면 서브스페이스에 영향을 미칠 수 있습니다.3 × 3 회전 행렬을 축과 각도로 설명하는 것이 일반적이지만, 이는 3차원에서만 작동합니다.3차원 이상에서는 각각 회전 평면과 관련된 두 개 이상의 각도가 필요합니다.

그러나 일반적으로 적용되는 순열, 반사 및 회전에 대한 기본 구성 요소가 있습니다.

원어민

가장 기본적인 순열은 두 행을 교환하여 항등 행렬에서 얻은 전치입니다. $임의$ 의n × $n$ 치환 행렬은 n - $1$ $이하$ 의 전이의 곱으로 구성될 수 있다.

세대주 반사는 다음과 같이 null이 아닌 $벡터$ v로 구성된다.

{{displaystyle Q=I-2{\mathbf {v}} {\mathbf {v}} {{\mathbf {T}}} {{\mathbf {T}} {\mathbf {v}}}} {\mathbf {v}}}}.}

여기서 분자는 대칭행렬인 반면 분모는 v의 $제곱$ 크기인 숫자입니다.이것은 $v$ 에 수직인 하이퍼플레인에서의 반사입니다( $v$ 에 평행한 벡터 성분을 부정합니다). $v$ 가 단위 벡터일 $경우$ $Q$ = I - $2v$ 로^T 충분합니다.세대주 반사는 일반적으로 열의 하단 부분을 동시에 영점화하는 데 사용됩니다.크기 n × n의 직교행렬은 $최대$ n개의 이러한 반사의 곱으로 구성할 수 있다.

기븐스 회전은 2개의 좌표 축에 걸쳐 있는 2차원(평면) 부분 공간에서 선택한 각도만큼 회전합니다.일반적으로 단일 서브대각 엔트리를 0으로 설정하는 데 사용됩니다. $크기$ n × $n$ 의 회전행렬은 $이러한$ 회전의 $최대 n(n$ - 1)/2의 곱으로 구성할 수 있다.3 × 3 행렬의 경우, 3개의 회전으로 충분합니다. 따라서 시퀀스를 고정함으로써 3 × 3 회전 행렬 모두를 종종 오일러 각도라고 불리는 3개의 각도로 설명할 수 있습니다.

자코비 회전은 기벤스 회전과 동일한 형태를 가지지만, 2 × 2 대칭 서브매트릭스의 오프 대각선 엔트리를 모두 영점화하는 데 사용된다.

특성.

매트릭스 속성

실제 정사각형 행렬은 열이 일반 유클리드 점곱과 함께 유클리드 $공간 n$ R의 $직교 n$ 기저를 형성하는 경우에만 직교한다.직교(정규 행렬이 아님) 열이 있는 행렬을 직교 행렬이라고 가정하는 것이 바람직할 수 있지만, 이러한 행렬은 특별한 관심이나 이름이 없습니다. 즉, $MM$ = D만 $충족$ 하고^T D는 대각 행렬입니다.

직교 행렬의 행렬식은 +1 또는 -1입니다.이는 다음과 같이 결정 요인에 대한 기본적인 사실에서 비롯된다.

1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm {T}}Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T}}\right)\det(Q)=bigl(}\det(Q){\bigr)}^{2}.

그 반대는 사실이 아니다. ±1의 행렬식을 갖는다고 해서 다음 반례에서 알 수 있듯이 직교 컬럼을 사용하더라도 직교성을 보장하지는 않는다.

{bmatrix} 2&0&{\frac {1}{2}}\end {bmatrix}

치환행렬에서는 행렬식이 +1 또는 -1인 시그니처에 일치합니다.치환의 패리티는 짝수 또는 홀수이기 때문입니다.행의 교대함수이기 때문입니다.

행렬식 제한보다 더 강한 것은 직교 행렬을 복소수 위에 대각화하여 전체 고유값 집합을 나타낼 수 있다는 사실이며, 모든 행렬은 (복소수) 계수 1을 가져야 합니다.

그룹 속성

모든 직교 행렬의 역행렬은 두 직교 행렬의 행렬 곱과 마찬가지로 다시 직교 행렬입니다.사실, 모든 $n$ × $n$ 직교 행렬의 집합은 그룹의 모든 공리를 만족시킨다.이는 직교 군이라고 불리며 O(n $)$ 로 $표시$ 되는 n $(n -$ $1$ )/ $2$ 차원의 콤팩트 Lie 군입니다.

행렬식이 +1인 직교 행렬은 회전의 특수 $직교 그룹$ SO(n $)$ 인 지수2의 O( $n)$ 의 경로 연결 정규 부분군을 형성합니다. $몫군 O (n)/ SO$ (n $)$ 는 O( $1)$ 와 동형이며 투영 지도는 결정식에 따라 [+1] 또는 [-1]을 선택한다.행렬식 -1이 있는 직교 행렬은 항등식을 포함하지 않으므로 부분군을 구성하지 않고 코세트만 구성하며, (별도로) 연결됩니다.따라서 각 직교 그룹은 두 부분으로 나뉩니다. 투영 맵이 분할되기 $때문$ 에 O $(n$ )는 O(1)에 의한 SO $($ $n)$ 의 반직접 곱입니다.실질적으로, 2 × 2 행렬에서 보았던 것과 같이, 어떤 직교 행렬도 회전 행렬을 취하여 그 열 중 하나를 부정함으로써 생성될 수 있다는 것이다.n이 홀수일 $경우$ 반직접곱은 사실상 직접곱이며 회전행렬을 취하여 모든 열을 부정함으로써 직교행렬을 생성할 수 있습니다.이것은 열을 부정하면 행렬식이 부정되고, 따라서 홀수 열(짝수 아님)을 부정하면 행렬식이 부정된다는 결정식의 특성에서 비롯됩니다.

$이제$ 오른쪽 아래 항목이 1인 (n + 1 $)$ × ( $n +$ 1) 직교 행렬을 고려합니다.마지막 열(및 마지막 행)의 나머지 부분은 0이어야 하며 이러한 두 행렬의 곱은 동일한 형식을 가집니다.행렬의 나머지 부분은 $n$ × $n$ 직교 $행렬이므로,$ O( $n)$ 는 O( $n$ + 1)의 $부분군$ (및 모든 상위 그룹의 부분군)입니다.

\displaystyle \begin {bmatrix} &\mathrm {O} (n) &\vdots \&0&\cdots & 0&1\end {bmatrix}

Householder 행렬 형태의 기본 반사는 직교 행렬을 이 제약된 형태로 줄일 수 있기 때문에 일련의 반사가 직교 행렬을 항등식에 가져올 수 있습니다. 따라서 직교 그룹은 반사 그룹입니다.마지막 열은 임의의 단위 벡터에 고정할 수 있으며, 각 선택 항목에 따라 $O (n$ + 1)의 $다른$ 복사본이 나타납니다. $이렇게$ 해서 O $(n$ + 1)는 $섬유 O(n$ )를 가진 단위 구 $S n$ 위의 번들입니다.

마찬가지로 SO $(n)$ 는 SO $(n + 1)$ 의 부분군이며, 모든 특수 직교 행렬은 유사한 절차를 사용하여 Givens 평면 회전에 의해 생성될 수 있습니다.묶음 구조는 $지속$ 된다 $:$ SO( $n) \to SO(n n$ + 1) → S. 단일 회전은 마지막 열의 첫 번째 행에 0을 생성할 수 있으며, 연속 n - $1$ $회전$ 은n × $n$ $회전$ 행렬의 마지막 행의 마지막 행을 제외한 모든 열을 0으로 만든다.평면이 고정되어 있기 때문에 각 회전에는 자유도, 즉 각도가 1개만 있습니다.따라서 $유도$ 에 의해 SO( $n)$ 는

(n-1)+(n-2)+\cdots +1=black {n(n-1)}{2}

자유도와 O(

n)

도 마찬가지입니다.

순열 행렬은 더 단순합니다. 행렬은 Lie 그룹이 아니라 유한 그룹, 즉 n! $대칭 n$ 그룹 $S$ 를 형성합니다.같은 논거로 $S$ 는_n $S$ 의_{n + 1} 부분군이다.짝수 순열은 행렬 +1의 치환 행렬 부분군, $순서$ n $!/ 2$ 교대 그룹을 생성합니다.

표준 형식

더 넓게는 직교 행렬의 효과가 직교 2차원 부분 공간에 대한 독립적인 작용으로 분리됩니다.즉, Q가 특수 직교인 $경우$ Q를 블럭 대각선 형태로 $만드는$ (회전) 기저의 변화인 $직교$ 행렬 P를 항상 찾을 수 있습니다.

P^{\mathrm {T}}QP=subgin{bmatrix}R_{1}&\dots&\end{bmatrix}}\(nbtext{even}}),\P^{\mathrm {T}{T}}QP_gin{MATrix}

여기서 $행렬 1$ R, $...,$ $R$ 은_k 2 × 2 회전 행렬이고 나머지 항목은 0입니다.예외적으로 회전 블록은 대각선 ± $I일$ 수 있다.따라서, 필요한 경우 하나의 열을 부정하고, 2 × 2 반사가 +1과 -1로 대각선화되는 것에 주목하면, 어떤 직교 행렬도 그 형태로 가져올 수 있다.

{\displaystyle P^{\mathrm {T}}QP=svegin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&\dots &\end{matrix}}&0&{\begin{matrix}&\dots

$행렬 1$ R, $...,$ $R$ 은_k 복합 평면의 단위 원에 놓여 있는 고유값의 켤레 쌍을 제공합니다. 따라서 이 분해는 모든 고유값이 절대값 1을 갖는 것을 확인합니다.n이 홀수일 $경우$ +1 또는 -1이라는 최소 하나의 실제 고유값이 있는 것입니다. 3 × 3 회전의 경우 +1과 관련된 고유 벡터가 회전 축입니다.

리 대수

Q의 $항목$ 이 t의 $미분$ 가능한 함수이고 t = $0$ 이 Q = $I$ 를 $제공$ 한다고 가정합니다.직교성 조건 미분

Q^{\mathrm {T}}Q=I

수율

{Q}^{\mathrm {T}}Q+Q^{\mathrm {T}}{\dot {Q}=0

t = $0$ ( $Q$ = $I$ )에서의 평가는 다음을 의미한다.

{{displaystyle {Q}{\mathrm {T}}=-{\dot {Q}}}.}

Lie 그룹 항에서 이는 직교 행렬 그룹의 Lie 대수가 스큐-대칭 행렬로 구성됨을 의미합니다.반대로, 스큐-대칭 행렬의 행렬 지수 행렬은 직교 행렬(실제로 특수 직교 행렬)입니다.

예를 들어, 3차원 물체 물리학은 각 속도를 미분 회전이라고 부릅니다. $따라서$ 라이 ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\mathfrak {so}}(3)$ ( 3 ${\mathfrak {so}}(3)$ ) \ $displaystyle$ \ $mathfrak {so}(3$ $)$ $θ =$ ( $xθ, yθ$ $,$ zθ $)$ 가 $단위$ 벡터일 때, θ의 올바른 스큐-스큐 행렬 형식은 다음과 같다.

(\displaystyle \Omega = 0&-z\theta & y\theta & 0&-x\theta & 0\end{bmatrix} )}

이것의 지수는 축 $v$ 를 각도 $θ$ 로 회전하기 위한 직교 행렬이다. $설정$ c = $cos δ$ / $2$ , $s$ = $sin δ$ / $2$ ,

\exp(\Omega)=param{bmatrix}1-2s^{2}+2xys^{2}-2xysc&2xzs^{2}+2xys^{2}+2zsc&1-2s^{2}+2y^{2}&2xysc&2}

수치 선형 대수

혜택들

수치 분석은 수치 선형 대수에 대한 직교 행렬의 많은 특성을 이용하고, 그것들은 자연스럽게 발생한다.예를 들어, 공간에 대한 직교 기준 또는 기저의 직교 변화를 계산하는 것이 바람직합니다. 둘 다 직교 행렬의 형태를 취합니다.행렬식 ±1과 진도 1의 모든 고유값을 갖는 것은 수치 안정성에 큰 도움이 된다.한 가지 의미는 조건 번호가 1(최소값)이므로 직교 행렬을 곱해도 오차가 확대되지 않는다는 것입니다.이러한 이유로 많은 알고리즘에서 Houseader 반사 및 Givens 회전과 같은 직교 행렬을 사용합니다.또한 직교 행렬이 반전될 수 있을 뿐만 아니라 인덱스를 교환함으로써 그 역행렬을 기본적으로 자유롭게 사용할 수 있다는 점도 도움이 됩니다.

순열은 부분 피벗(순열이 피벗을 하는 곳)으로 작업용 가우스 제거를 포함한 많은 알고리즘의 성공에 필수적이다.그러나 행렬로 명시적으로 나타나는 경우는 거의 없으며, n개의 $지수$ 목록과 같이 특수 형식이 보다 효율적으로 표현된다.

마찬가지로 Houseader 행렬과 Givens 행렬을 사용하는 알고리즘은 일반적으로 특수한 곱셈 및 저장 방법을 사용합니다.예를 들어, Givens 회전은 곱하는 행렬의 두 행에만 영향을 미쳐 $n차수$ 의³ 전체 곱셈을 훨씬 더 $효율적$ 인 n차수로 변경합니다.이러한 반사 및 회전을 사용하여 행렬에 0을 도입하면 빈 공간은 변환을 재현하기에 충분한 데이터를 저장하기에 충분하며, 이를 강력하게 수행하기에 충분합니다. (Stewart(1976년)에 이어, 우리는 비용이 많이 들고 동작이 불량한 회전 각도를 저장하지 않습니다.)

분해

특히 다음을 포함한 다수의 중요한 행렬 분해(Golub & Van Loan 1996)에는 직교 행렬이 포함된다.

$QR$ 분해: $M$ = $QR$ , $Q$ 직교, $R$ 상부 삼각
특이값 분해: $M$ = $UΩV T$ , $U$ 및 $V$ 직교, $Ω$ 대각 행렬
대칭행렬의 아이젠드 분해(스펙트럼 정리에 따른 분해): $S$ = $QΩQ T$ , $S$ 대칭, $Q$ 직교, $δ$ 대각선
극성 분해: $M$ = $QS$ , $Q$ 직교, $S$ 대칭 양-반 유한

예

실험 오류를 보상하기 위해 물리적 현상의 반복 측정에서 발생할 수 있는 지나치게 결정된 선형 방정식 시스템을 고려합니다.Ax = $b$ 로 $적습니다$ . $여기$ 서 A는 $m$ × $n$ , $m$ > $n$ . QR 분해는 $A$ 를 삼각 R $상단$ 으로 $감소$ 시킵니다. $예$ 를 들어, A가 5 × $3$ 이면 R은 다음과 같은 형태를 갖는다.

(\displaystyle R=bgin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\0&\cdot \\0&0&\cdot \\0&0&\end{bmatrix})}

선형 최소 제곱 문제는 A의 $열$ 에 걸쳐 있는 부분 공간에 b를 $투영$ 하는 것과 동일한 Ax - $b$ 를 $최소화$ 하는 x를 $찾는$ 것입니다.A( $따라서$ R)의 열이 독립적이라고 가정하면 투영 용액은 $AAx T$ = $Ab$ 에서^T 구할 수 있다. $이제 T$ AA는 정사각형( $n$ × $n$ )으로 반전 가능하며 RR과도 $같다 T$ .그러나 $R$ 의 0의 아래쪽 행은 곱에서 불필요한 것으로, 가우스 소거(콜레스키 분해)와 같이 이미 아래쪽-삼각형 상부-삼각형 인자 형태로 되어 있다.여기서 직교성은 AA = ( $RQ T T)$ 를^T 줄이는 데에만 중요한 것이 아니다. $QR$ 부터^T RR까지 수치 문제 없이 해결 가능.

충분히 결정되지 않은 선형 시스템 또는 다른 경우에는 반전되지 않는 행렬의 경우, 특이치 분해(SVD)는 동등하게 유용하다.A를 $UΩV$ 로^T $인수분해하면$ 만족스러운 용액은 무어-펜로즈 유사 $역류$ 인⁺^T VΩU를 사용하며, 여기서 $δ$ 는⁺ 단지 각각의 0이 아닌 대각 엔트리를 역수로 치환할 뿐이다.x 를 $VΩUb + T$ 로 $설정$ 합니다.

정사각형 역행렬의 경우도 관심을 갖는다.예를 들어, A가 수많은 트위스트와 턴의 구성으로 계산된 3 × 3 회전 행렬이라고 $가정$ 합니다.부동 소수점은 실수의 수학적 이상과 일치하지 않기 $때문$ 에 A는 점차 진정한 직교성을 잃었습니다.그램-슈미트 프로세스는 기둥을 직교시킬 수 있지만, 가장 신뢰할 수 있고, 가장 효율적이며, 가장 불변한 방법은 아니다.극분해는 행렬을 쌍으로 인수한다.그 중 하나는 주어진 행렬에 고유한 가장 가까운 직교 행렬이다.또는 주어진 행렬이 단수일 경우 가장 가까운 행렬 중 하나이다. (밀도는 스펙트럼 노름이나 프로베니우스 노름과 같은 직교 기저 변화 하에서 어떤 행렬 노름 불변량에 의해 측정될 수 있다.)거의 직교 행렬의 경우, Higham(1986)(1990)으로 인한 "Newton's method" 접근법에 의해 직교 인자에 대한 신속한 수렴이 달성될 수 있으며, 역 전치 행렬을 반복하여 평균화한다.Dubrulle(1994) harvts 오류: 대상 없음: CITREFDubrulle1994(도움말)는 편리한 수렴 테스트와 함께 가속 방법을 발표했다.

예를 들어, 단순 평균 알고리즘이 7단계를 수행하는 비직교 행렬을 고려합니다.

({displaystyle}{bmatrix}3&1&5end{bmatrix}}\rightarrow{bmatrix}1.8125&0.0625\end{bmatrix}\rightarrow\cdots\rightarrow{bmatrix}0.8&0.06&6.8\end {bmatrix}}

가속이 두 단계로 트림됩니다(

θ

= 0.353553, 0.565685).

({displaystyle}{bmatrix}3&1&5end{bmatrix}}\rightarrow{bmatrix}1.41421&-1.06066\end{bmatrix}\rightarrow{bmatrix}0.8&06.06.8\end {bmatrix}}

그램-슈미트는 최소 8.12404가 아닌 8.28659의 프로베니우스 거리로 나타나는 열등한 용액을 산출한다.

(\displaystyle {bmatrix} 3&1&5\end {bmatrix}\rightarrow {bmatrix} 0.393919&-0.919145\end {bmatrix})

랜덤화

몬테카를로 방법 및 고차원 데이터 공간 탐색과 같은 일부 수치 애플리케이션은 균일하게 분포된 랜덤 직교 행렬의 생성을 요구한다.이 맥락에서 "균일"은 Haar 측정의 관점에서 정의되며, 이는 기본적으로 자유롭게 선택된 직교 행렬에 곱해도 분포가 변경되지 않아야 한다.독립적인 균등하게 분포된 랜덤 엔트리를 가진 행렬을 직교화하면 균일하게 분포된 직교^{[citation needed]} 행렬이 되지 않지만, $R$ 의 대각선이 양의 엔트리만을 포함하는 한 독립 정규 분포 랜덤 엔트리의 QR 분해가 $이루어진다$ (Mezadri 2006).Stewart(1980)는 이것을 Diaconis & Shahshahani(1987)가 나중에 "부분군 알고리즘"으로 일반화한 보다 효율적인 아이디어로 대체했다(이 알고리즘은 순열과 회전에도 유효하다). $(n + 1)$ × ( $n +$ 1) 직교 행렬을 생성하려면 n × $n$ $1$ 과 차원 n + 1의 균등 분포 단위 벡터를 취합니다. 벡터로부터 세대주 반사를 구성한 다음 더 작은 행렬에 적용합니다(오른쪽 아래 구석에 1과 함께 큰 크기로 포함).

가장 가까운 직교 행렬

주어진 $행렬$ M에 가장 가까운 직교 $행렬$ Q를 찾는 문제는 직교 행렬 문제와 관련이 있습니다.고유한 솔루션을 얻는 방법은 여러 가지가 있는데, 그 중 가장 간단한 $방법$ 은 M의 특이값 분해를 취하여 특이값을 1로 바꾸는 것입니다.다른 방법은 R을 $명시적$ 으로 나타내지만 행렬 ^[2]제곱근을 사용해야 합니다.

Q=M\left(M^{\mathrm {T}}M\right)^{-{\frac {1}{2}}}

이것은 행렬의 제곱근을 추출하기 위한 바빌로니아 방법과 결합되어 직교 행렬에 직교 행렬로 수렴되는 반복을 제공할 수 있다.

Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T}}Q_{n}\right)^{-1

여기

서₀ Q =

M

입니다.

이러한 반복은 M의 $조건$ 수가 ^[3]3 미만일 경우 안정적입니다.

역초기화와 같은 초기화의 1차 근사치를 사용하면 다음과 같이 수정 반복이 발생합니다.

N_{n}=Q_{n}^{\mathrm {T}}Q_{n

P_{n}=black {1}{2}}Q_{n}N_{n

Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}}N_{n}-3P_{n}

스핀 앤 핀

직교 행렬의 일부 사용에는 미묘한 기술적 문제가 있습니다.행렬식이 +1과 -1인 그룹 구성요소는 서로 연결되어 있지 않을 뿐만 아니라, +1 $구성요소인$ SO $(n$ )도 단순하게 연결되어 있지 않습니다(SO(1)는 제외).따라서 SO(n)의 $커버$ 그룹, 스핀 그룹, Spin( $n)$ 과 함께 작업하는 것이 때로는 유리하거나 심지어 필요하다.마찬가지로 O $(n)$ 에는 커버 그룹, 핀 그룹, 핀(n)이 있습니다.n > $2$ 의 $경우$ Spin $(n)$ 은 단순하게 연결되며, 따라서 SO $(n)$ 에 $대한$ 범용 피복기이다.지금까지 스핀 그룹의 가장 유명한 예는 $스핀(3)$ 으로 $SU(2),$ 즉 4원소 단위 그룹입니다.

핀 및 스핀 그룹은 클리포드 대수에 있으며, 클리포드 대수는 직교 행렬에서 직접 구성할 수 있습니다.

직사각형 행렬

Q가 정사각형 행렬이 $아니면$ 조건 $QQ T =$ I와 $QQ T =$ I가 동일하지 않습니다.조건 $QQ T =$ 나는 Q의 열이 직교라고 말한다.이는 Q가 n $µm$ 의 $m$ × $n$ 행렬인 $경우$ 에만 발생할 수 있다(선형 의존성 때문에).마찬가지로, $QQ T =$ $Q$ 의행은 n $µm$ 가 $필요$ 한 직교 정규 행이라고 합니다.

이 매트릭스에는 표준 용어가 없습니다.그것들은 다양하게 "반직교 행렬", "정규 행렬", "정규 행렬", "정규 행렬"이라고 불리며, 때로는 단순히 "정규행/열이 있는 행렬"이라고도 불린다.

$n µm$ 의 경우, 직교 기둥을 가진 행렬은 직교 k-프레임이라고 할 수 있으며, 그것들은 스티펠 다지관의 요소이다.

「」를 참조해 주세요.

쌍직교계

메모들

^ "Paul's online math note",^{[full citation needed]} Paul Dawkins, Lamar University, 2008.정리 3(c)
^ MIT 버톨드 K.P . 혼의 "가장 가까운 직교 행렬 찾기 "
^ "Newton's Method for the Matrix Square Root" 2011-09-29 Wayback Machine, Nicholas J.에 보관되어 있습니다.하이암, 계산의 수학, 제46권, 174, 1986.

레퍼런스

Diaconis, Persi; Shahshahani, Mehrdad (1987), "The subgroup algorithm for generating uniform random variables", Probability in the Engineering and Informational Sciences, 1: 15–32, doi:10.1017/S0269964800000255, ISSN 0269-9648, S2CID 122752374
Dubrulle, Augustin A. (1999), "An Optimum Iteration for the Matrix Polar Decomposition", Electronic Transactions on Numerical Analysis, 8: 21–25
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3/e ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
Higham, Nicholas (1986), "Computing the Polar Decomposition—with Applications" (PDF), SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7 (4): 1160–1174, doi:10.1137/0907079, ISSN 0196-5204
Higham, Nicholas; Schreiber, Robert (July 1990), "Fast polar decomposition of an arbitrary matrix", SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 11 (4): 648–655, CiteSeerX 10.1.1.230.4322, doi:10.1137/0911038, ISSN 0196-5204, S2CID 14268409 [1]
Stewart, G. W. (1976), "The Economical Storage of Plane Rotations", Numerische Mathematik, 25 (2): 137–138, doi:10.1007/BF01462266, ISSN 0029-599X, S2CID 120372682
Stewart, G. W. (1980), "The Efficient Generation of Random Orthogonal Matrices with an Application to Condition Estimators", SIAM Journal on Numerical Analysis, 17 (3): 403–409, Bibcode:1980SJNA...17..403S, doi:10.1137/0717034, ISSN 0036-1429
Mezzadri, Francesco (2006), "How to generate random matrices from the classical compact groups", Notices of the American Mathematical Society, 54, arXiv:math-ph/0609050, Bibcode:2006math.ph...9050M

외부 링크

"Orthogonal matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
직교 행렬에 대한 자습서 및 대화형 프로그램

[1] "Paul's online math note",^{[full citation needed]} Paul Dawkins, Lamar University, 2008.정리 3(c)

[2] MIT 버톨드 K.P . 혼의 "가장 가까운 직교 행렬 찾기 "

[3] "Newton's Method for the Matrix Square Root" 2011-09-29 Wayback Machine, Nicholas J.에 보관되어 있습니다.하이암, 계산의 수학, 제46권, 174, 1986.

[1]

[2]

[3]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
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