직교 프로크루스트 문제

직교 프로크루스트 문제는 선형대수의 행렬 근사 문제다.고전적인 형태에서 하나는 두 개의 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 부여받고$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) $B{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ B}에$$ 가장 가깝게$$ 매핑하는 직교 행렬$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystylean$ B$}$을 찾도록 요청된다$.$ 특히

${\displaystyle R=\arg \min \{\Oomega }\Oomega A-B\ _{F}\quad \quad \mathrm {subject\ to} \quad \Oomega ^{T}\Oomega=I,}$

여기서$$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$는 프로베니우스 규범을 나타낸다.이것은 Wahba 문제의 특별한 경우다(동일한 가중치를 갖는 경우, 두 개의 행렬을 고려하는 대신, Wahba의 문제에서 행렬의 열을 개별 벡터로 간주한다).또 다른 차이점은, 와바의 문제는 직교 행렬이 아닌 적절한 회전 행렬을 찾으려고 한다는 것이다.

프로크루스테스란 이름은 그리스 신화에 나오는 도적떼를 일컫는 말로, 희생자들을 팔다리를 뻗거나 잘라 침대에 맞게 만들었다.

해결책

이 문제는 원래 1964년 논문에서 피터 쇤네만(Peter Schönemann)에 의해 해결되었으며, 얼마 지나지 않아 사이코메트리카 저널에 실렸다.^[3]

이 문제는 주어진 행렬 $M{\displaystyle }$= B ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$T},$즉 가장 가까운 직교 근사 문제 해결

${\displaystyle \underset{}{최소}}$ ${\displaystyle \underset{}{R}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ R -${\displaystyle M{}_{}\mathrm{u}}$ b ${\displaystyle \mathrm{j}}$ e t ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ R =$$ $displaystyle \min _{R}\$ R-M\ $_{F}\quad \mathrm$ {$subject\ to}\quad$ R$^{T}R=I$

행렬 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를$)$ 찾으려면 단수 값 분해($EX{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle$ \$Sigma }$의 항목이 음수가 아님)를 사용한다.

${\displaystyle M=U\Sigma V^{T}\,\!}$

글을 쓰다

${\displaystyle R=UV^{T}\,\!}$

증명

한 가지 증거는 프로베니우스 규범을 유도하는 프로베니우스 내제품의 기본 특성에 달려 있다.

${\displaystyle {\reasoned}R&A-B\ _{F}^{2}\\& \Omega =\arg\min _{\Omega}, =\arg\min _{\Omega}\langle \Omega A-B,\Omega A-B\rangle _{F}\\&, =\arg\min _{\Omega}\ \Omega A\ _{F}^{2}+\ B\ _{F}^{2}-2\langle \Omega A,B\rangle _{F}\\&, =\arg \min _{\Omega}\ A\ _{F}^{2}+\ B\ _{F}^{2}-2\langle \Omega A,B\rangle _{F}\\&, =\arg\max _{\Omega}\langle \Omega ,BA^{T}\.rangle _{F}\\&, =\arg\max _{\Omega }\langle \Omega ,U\Sigma V^{T}\rangle _{F}\\&=\arg \max _{\Omega }\langle U^{T}\Omega V,\Sigma \rangle _{F}\\&=\arg \max _{\Omega }\langle S,\Sigma \rangle _{F}\quad {\text{where }}S=U^{T}\Omega V\\\end{aligned}}}$

이 수량 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은 직교 행렬(직교 행렬의 산물이기 때문에)이므로$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$이(가) ID $행렬{\displaystyle }$ I ${\displaystyle$ I$}$과(와) 같을 때 식이 최대화된다$.$ 따라서

${\displaystyle {\reasoned}I&=U^{T}RV\\R&=UV^{T}\\\end{정렬}}}}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는$)$${\displaystyle \Omega {}_{}^{}}$A - B {$$F 2 {\$displaystyle$ \$Oomega$}의 최적 값에 대한 솔루션으로, Ω ${\displaystyle A}$ - B 표준 ${\displaystyle {}_{}^{}}$을 최소화하고$$ \$Displaystyle \Oomega A-B\ _{F}^{2$

일반화/제약된 프로크러스트 문제

고전적인 직교 프로크루스트 문제와 관련된 많은 문제들이 있다.어떤 사람은 기둥들이 직교하는 가장 가까운 행렬을 찾음으로써 그것을 일반화할 수 있지만, 반드시 직교하는 것은 아니다.^[4]

또는 회전 행렬(즉, 결정 인자 1이 있는 직교 행렬, 특수 직교 행렬이라고도 함)만 허용함으로써 구속할 수 있다.이 경우 글씨를 쓸 수 있다($위$의 분해 M${\displaystyle }$= ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{V}}$ T ${\$ V$^{T$

${\displaystyle R=U\Sigma 'V^{T},\,\!}$

where ${\displaystyle \Sigma '\,\!}$ is a modified ${\displaystyle \Sigma \,\!}$, with the smallest singular value replaced by ${\displaystyle \det(UV^{T})}$ (+1 or -1), and the other singular values replaced by 1, so that the determinant of R is guaranteed to be positive.^[5] 자세한 내용은 Kabsch 알고리즘을 참조하십시오.

참고 항목

• 프로크루스테스 분석
• 프로크러스트 변환
• 와바의 문제
• 캅슈 알고리즘
• 포인트 세트 등록

참조