회전면

기하학에서 회전 평면은 공간에서의 회전을 설명하거나 시각화하는 데 사용되는 추상 객체입니다.3차원에서는 회전축 대신이지만 회전축과는 달리 2차원, 4차원 또는 그 이상의 다른 차원에서도 사용할 수 있습니다.

수학적으로 그러한 평면은 여러 가지 방법으로 설명될 수 있다.평면 및 회전 각도로 설명할 수 있습니다.그것들은 기하학 대수의 바이벡터와 연관될 수 있다.이러한 값은 회전 행렬의 고유값 및 고유 벡터와 관련이 있습니다.그리고 특히 그것들은 다른 차원으로 일반화 될 수 있는 다른 대수적, 기하학적 특성과 관련이 있습니다.

회전면은 2차원 및 3차원에서는 많이 사용되지 않는다. 2차원에서는 1개의 평면만 존재하기 때문에 회전면을 식별하는 것은 단순하고 거의 수행되지 않는 반면, 3차원에서는 회전축이 동일한 목적을 수행하며 보다 확립된 접근법이다.이러한 장치의 주요 용도는 보다 복잡한 회전을 고차원으로 기술하는 것입니다. 여기서 회전을 보다 단순한 부품으로 분해하는 데 사용할 수 있습니다.이것은 기하학적 대수를 사용하여 행해질 수 있으며,^[1] 대수의 단순한 바이벡터와 관련된 회전 평면과 함께 행해질 수 있다.

정의들

비행기

이 문서의 경우, 모든 평면은 원점을 통과하는 평면, 즉 제로 벡터를 포함합니다.n차원 공간에서의 이러한 평면은 공간의 2차원 선형 부분 공간이다.그것은 평면에 있는 두 개의 0이 아닌 벡터 및 평행하지 않은 벡터, 즉 다음과 같은 두 개의 벡터 a와 b에 의해 완전히 지정된다.

$\displaystyle \mathbf {a} \displaystyle \mathbf {b} \neq 0,}$

여기서 θ는 외부 대수 또는 기하학 대수에서 얻은 외부 곱이다(3차원에서 교차 곱을 사용할 수 있음).보다 정확하게는 a θ b는 a와 b에 의해 특정되는 평면에 관련지어지는 바이벡터이며, b sin θ(여기서 θ는 벡터 사이의 각도)를 가진다.따라서 벡터는 0이 아닌 ^[2]비평행이어야 한다.

바이벡터 a µ b가 B라고 쓰여져 있는 경우, 점이 B와 관련된 평면에 놓여 있는 조건은 다음과^[3] 같습니다.

$\displaystyle \mathbf {x} \displaystyle \mathbf {B} = 0}$

이는 모든 차원에 해당하며 평면상의 정의로 간주할 수 있습니다.특히, 외부 제품의 특성으로부터, 그것은 a와 b에 의해, 그리고 그래서 형태의 어떤 벡터에도 의해 충족된다.

${\displaystyle \mathbf {c} =\displayda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ,}$

δ 및 μ 실수의 값을 사용합니다.θ와 μ는 모든 실수에 걸쳐 있으므로 c는 평면 전체에 걸쳐 있으므로 이는 평면의 또 다른 정의로 간주할 수 있습니다.

회전면

특정 회전의 회전 평면은 회전에 의해 자신에게 매핑되는 평면입니다.평면은 고정되지 않지만 평면의 모든 벡터는 회전에 의해 동일한 평면의 다른 벡터에 매핑됩니다.평면에 대한 이러한 변환은 항상 평면의 회전 각도인 각도를 통해 원점에 대한 회전입니다.

항등회전을 제외한 모든 회전(행렬의 항등행렬)은 최소 1개의 회전면을 가지며 최대

$(\displaystyle\lfloor\frac {n}{2}}\right\loor)$

회전 평면, 여기서 n은 치수입니다.다음 표에는 최대 8차원 평면 수가 나와 있습니다.

치수	2	3	4	5	6	7	8
평면수	1	1	2	2	3	3	4

회전 평면이 여러 개 있는 경우 회전 평면은 항상 서로 직교하며 원점만 공통입니다.이것은 평면들이 직각이라고 말하는 것보다 더 강한 조건입니다. 대신에 평면들은 공통적으로 0이 아닌 벡터를 가지고 있지 않으며, 한 평면의 모든 벡터는 다른 평면의 모든 벡터와 직교한다는 것을 의미합니다.이것은 4차원 이상에서만 발생할 수 있습니다.2차원에서는 평면이 하나만 있는 반면, 3차원에서는 모든 평면이 ^[4]교차선을 따라 0이 아닌 벡터를 하나 이상 공통으로 가진다.

3차원 이상에서 회전 평면이 항상 고유한 것은 아닙니다.예를 들어, 4차원에서의 항등 행렬의 음수(중앙 반전),

$({displaystyle {pmatrix}-1&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\\\0&1\end{pmatrix})$

는 원점을 통과하는 모든 평면이 각도θ를 통과하는 회전 평면이기 때문에 직교 평면 쌍이 회전을 생성하는 4차원의 회전을 나타냅니다.그러나 일반 회전의 경우 적어도 이론적으로 각 점이 각도를 통해 회전하는 고유한 직교 평면 집합을 식별할 수 있으므로 평면과 각도의 집합이 ^[5]회전을 완전히 특징짓습니다.

2차원

2차원 공간에는 공간 자체의 평면인 회전 평면이 하나밖에 없다.데카르트 좌표계에서 그것은 데카르트 평면이고, 복소수에서는 복소 평면이다.따라서 모든 회전은 전체 평면, 즉 공간의 원점만 고정되도록 한다.완전히 부호 있는 회전각(예: - - ~ for)으로 지정됩니다.따라서 각도가 θ이면 복소평면의 회전은 오일러의 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle e^{i\theta}=cos {theta }+i\sin {theta },}$

데카르트 평면의 회전은 2 × 2 회전 ^[6]행렬에 의해 주어진다.

$(*displaystyle {pmatrix} cos \theta &-\sin \theta &\cos \theta \end {pmatrix} )}$

3차원

3차원 공간에는 무한대의 회전 평면이 있으며, 그 중 한 면만 주어진 회전과 관련이 있습니다.즉, 일반 회전의 경우 그것과 관련되거나 회전하는 평면이 정확히 한 개 있습니다.유일한 예외는 회전하지 않는 등식행렬에 대응하는 사소한 회전입니다.

모든 3차원 회전에는 항상 고정축, 즉 회전축이 있습니다.회전은 회전하는 각도와 함께 이 축을 지정함으로써 설명할 수 있습니다. 이것이 회전의 축 각도 표현입니다.회전면은 이 축에 직교하는 평면이므로 축은 평면의 표면 법선입니다.그러면 회전은 이 평면을 축을 중심으로 회전하는 것과 같은 각도로 회전시킵니다. 즉, 평면의 모든 것이 원점에 대해 같은 각도로 회전합니다.

다이어그램에 한 가지 예가 나와 있으며, 여기서 z축을 중심으로 회전이 이루어집니다.회전 평면은 xy 평면이기 때문에 그 평면 내의 모든 것이 회전에 의해 평면 내에 유지됩니다.이는 다음과 같은 행렬로 설명할 수 있으며, 회전은 각도 θ(축 주위 또는 평면 내)를 통과합니다.

$({displaystyle}{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &\cos \theta &\cos \theta &0&1\end {pmatrix})}$

또 다른 예는 지구의 자전이다.회전축은 북극과 남극을 잇는 선이고 회전면은 북반구와 남반구 사이의 적도를 통과하는 평면이다.다른 예로는 자이로스코프나 플라이휠과 같은 기계 장치를 들 수 있는데, 이 장치는 보통 회전면을 따라 질량에 회전 에너지를 저장합니다.

모든 3차원 회전에서는 회전 평면이 고유하게 정의됩니다.회전 각도와 함께 회전을 완전히 설명합니다.또는 연속적으로 회전하는 물체에서는 회전속도 등의 회전특성을 회전평면으로 나타낼 수 있다.회전축에 수직이며, 회전축에 의해 정의되고 정의되므로 회전평면에 관한 회전에 대한 설명은 회전축의 관점에서 설명될 수 있으며, 그 반대도 마찬가지입니다.그러나 회전축과는 달리 평면은 다른, 특히 더 높은 ^[7]차원으로 일반화됩니다.

4차원

4차원 공간에서의 일반 회전은 원점이라는 하나의 고정점을 가지고 있다.따라서 회전축을 4차원으로 사용할 수 없습니다.그러나 회전 평면을 사용할 수 있으며, 4차원의 각 비사소한 회전에는 1개 또는 2개의 회전 평면이 있습니다.

심플한 회전

회전 평면이 하나만 있는 회전은 단순 회전입니다.단순 회전에는 고정 평면이 있으며, 회전은 이 평면에서 일어난다고 할 수 있으므로 회전하는 점에 따라 이 평면에서 거리가 변경되지 않습니다.회전면은 이 평면에 직교하며, 회전은 이 평면에서 일어난다고 할 수 있습니다.

예를 들어, 다음 행렬은 xy 평면을 수정합니다. 해당 평면의 점과 해당 평면의 점만 변경되지 않습니다.회전 평면은 zw 평면이며, 이 평면의 점은 각도 θ를 통해 회전합니다.일반 점은 zw 평면에서만 회전합니다. 즉, z 및 w 좌표만 변경하여 xy 평면을 중심으로 회전합니다.

$(\displaystyle {pmatrix} 1&0&0&1&0&0\cos \theta &-\sin \theta &\cos \theta \end {pmatrix})$

2차원 및 3차원에서는 회전 평면이 1개뿐이기 때문에 모든 회전이 단순합니다.단순한 회전이 아닌 회전은 4차원 이상에서만 가능합니다.특히 4차원에서는 이중 및 등사정형 회전도 있습니다.

이중 회전

이중 회전에는 고정 평면이 없는 두 개의 회전 평면이 있으며, 유일한 고정점은 원점입니다.회전은 두 회전 평면에 있는 점이 평면 내에서 회전하므로 두 회전 평면에서 모두 발생한다고 할 수 있습니다.이 평면들은 직교입니다. 즉, 공통 벡터가 없기 때문에 한 평면의 모든 벡터는 다른 평면의 모든 벡터에 직각입니다.두 회전 평면이 4차원 공간에 걸쳐 있으므로 공간의 모든 점을 각 평면에 하나씩 두 개의 점으로 지정할 수 있습니다.

이중 회전에는 각 회전 평면에 하나씩 두 개의 회전 각도가 있습니다.회전은 두 개의 평면과 0이 아닌 두 개의 각도인 α와 β를 제공하여 지정됩니다(각도가 0이면 회전은 간단함).첫 번째 평면의 점은 α를 통해 회전하고, 두 번째 평면의 점은 β를 통해 회전합니다.다른 모든 점들은 α와 β 사이의 각도를 통해 회전하기 때문에, 어떤 의미에서 이들은 함께 회전량을 결정한다.일반 이중 회전의 경우 회전 평면과 각도는 고유하며, 일반 회전이 주어지면 이러한 평면을 계산할 수 있습니다.예를 들어 xy 평면에서 α, zw 평면에서 β의 회전이 매트릭스에 의해 주어진다.

$\displaystyle \cos \alpha &-\sin \alpha & 0 &\sin \alpha &\cos \alpha & 0 &\cos \alpha &-\sin \cos \end {pmatrix}.}$

등사선 회전

이중 회전의 특별한 경우는 각도가 동일한 경우, 즉 α = β 0 0일 경우이다.이것은 등사선 회전이라고 불리며, 여러 가지 면에서 일반적인 이중 회전과는 다릅니다.예를 들어 등사정형 회전에서는 0이 아닌 모든 점이 동일한 각도인 α를 통해 회전한다. 가장 중요한 것은 회전 평면이 고유하게 식별되지 않는다.대신 회전 평면으로 취급할 수 있는 직교 평면 쌍이 무한히 많습니다.예를 들어, 모든 점을 취할 수 있으며, 해당 점이 회전하는 평면과 직교하는 평면을 두 개의 회전 ^[8]평면으로 사용할 수 있습니다.

고차원

이미 언급한 바와 같이 n차원에서의 최대 회전 평면 수는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\left\lfloor\frac {n}{2}}\right\loor,}$

따라서 복잡도는 4차원 이상에서 빠르게 증가하고 위와 같은 회전을 분류하는 것은 너무 복잡해 실용적이지는 않지만 일부 관측은 가능하다.

단순한 회전은 모든 차원에서 하나의 회전 평면만으로 회전으로 식별할 수 있습니다.회전 평면에 직교하는 (n - 2)차원 부분공간에 대해 (고정 거리에 있는) n차원의 단순 회전이 발생합니다.

일반 회전은 단순하지 않으며 위와 같이 최대 회전 평면 수를 가집니다.일반적인 경우 이러한 평면의 회전 각도가 구별되고 평면이 고유하게 정의됩니다.각도가 동일한 경우 평면이 고유하지 않습니다(등사각형 회전이 있는 4차원).

(n=2,4,6...)심지어차원이 있.sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-ou .mw-parser-output 예정이다.그래서 일반 로테이션이는 유일한 고정된 포인트는 기원을 제외한 모든 포인트를 회전한다. 회전 Tput.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}n/2 비행기 우주로 확장.홀수 치수(n = 3, 5, 7, ...)에는 하나 낮은 짝수 치수와 동일한 n - 1/2 평면과 회전 각도가 있습니다.이러한 선들은 공간을 가로지르지 않고 회전하지 않는 선을 남깁니다. 단, 3차원 회전축과 같은 선은 이 선 주위에서 회전하지 않고 ^[1]선과 직교하는 여러 평면에서 회전합니다.

수학적 특성

위에 제시된 예시는 3차원 및 4차원에서 일반적으로 좌표 축에 평행한 평면을 가진 명확하고 단순한 회전 예시로 선택되었습니다.그러나 일반적으로는 그렇지 않습니다. 평면은 보통 축과 평행하지 않으며 행렬은 간단히 적을 수 없습니다.모든 차원에서 회전은 회전 평면과 관련 각도에 의해 완전히 설명되므로, 이러한 각도를 결정하거나 적어도 수학적으로 설명할 수 있는 방법을 찾는 것이 유용합니다.

리플리케이션

모든 간단한 회전은 두 번의 반사에 의해 생성될 수 있습니다.반사하는 (n - 1)차원 서브스페이스를 주어 n차원으로 반사를 지정할 수 있으므로 2차원 반사는 일직선상에, 3차원 반사는 평면상에 있는 것처럼 할 수 있다.그러나 이는 점점 더 고차원에 적용하기가 어려워지기 때문에 다음과 같이 벡터를 대신 사용하는 것이 좋습니다.

n차원에서의 반사는 (n-1)차원 부분공간에 수직인 벡터에 의해 특정된다.단순 회전을 생성하려면 원점을 고정하는 반사만 필요하므로 벡터에는 위치가 없고 방향만 지정됩니다.또, 어느 쪽을 향하고 있는지는 중요하지 않습니다.결과를 변경하지 않고, 네거티브로 교환할 수 있습니다.마찬가지로 단위 벡터를 사용하여 계산을 단순화할 수 있습니다.

따라서 (n - 1)차원 공간에서의 반사는 이에 수직인 단위 벡터 m에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {x} '=-\mathbf {sqm} ,}$

여기서 곱은 기하학 대수의 기하학 곱이다.

xθ가 다른 (n - 1)차원 공간에 반사된다면, 그 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {x} '=-\mathbf {nx} '\mathbf {n} =\mathbf {n}$

이것은 부분 공간 사이의 두 배의 각도를 통해 n차원으로 단순 회전한 것이며, 이는 벡터 m과 n 사이의 각도이기도 합니다.기하학적 대수를 사용하여 이것이 회전이며 예상대로 모든 벡터를 회전시킨다는 것을 확인할 수 있습니다.

mn의 양은 로터이고 nm은 로터의 역수입니다.

$\displaystyle(\mathbf {mn})(\mathbf {nnm})=\mathbf {mm} =1}$

그래서 회전수를 쓸 수 있다.

$\displaystyle \mathbf {x} '=R\mathbf {x} R^{-1}'$

여기서 R = mn은 로터이다.

회전면은 m과 n을 포함하는 평면이며, 그렇지 않으면 반사가 동일하고 회전하지 않는다.어느 하나의 벡터가 음수로 치환될 수 있기 때문에 이들 사이의 각도는 항상 예각일 수 있으며, 최대 µ/2가 될 수 있습니다.회전은 벡터 간 각도의 2배, 최대 θ 또는 반바퀴를 통과합니다.회전의 감각은 m에서 n으로 회전하는 것이다: 기하학적 곱은 가환성이 없으므로 곱 nm은 n에서 m까지의 역회전이다.

반대로 모든 단순 회전은 원하는 회전각도의 절반으로 분리된 회전면 내의 2개의 단위 벡터에 의해 2개의 반사로 생성될 수 있다.각 회전 ^[9][10]평면에서 두 벡터에 의해 주어진 반사 쌍을 선택함으로써 차원 n이 짝수이면 n - 2의 반사를 사용하여 보다 일반적인 회전을 생성하도록 구성할 수 있다.

바이벡터

바이벡터는 기하학 대수, 클리포드 대수, 외부 대수에서 나온 양으로 벡터의 개념을 2차원으로 일반화한다.벡터가 선에 있듯이 바이벡터도 평면에도 마찬가지입니다.그래서 모든 평면은 (어느 차원의) 바이벡터와 연관지을 수 있고 모든 단순한 바이벡터는 평면과 연관지을 수 있습니다.따라서 회전 평면을 설명하는 데 적합합니다.

회전의 모든 회전 평면에는 이와 관련된 단순한 쌍방향 벡터가 있습니다.이는 평면에 평행하며 평면의 회전 각도와 같은 크기를 가집니다.이 쌍방향 벡터는 전체 회전에 대해 일반적으로 단순하지 않은 단일 쌍방향 벡터를 생성하도록 합산됩니다.이것은 지수 맵을 통해 로터를 생성할 수 있으며, 이것은 물체를 회전시키는 데 사용될 수 있습니다.

바이벡터는 지수 맵을 통해 로터와 관련이 있습니다(바이벡터는 De Moivre의 공식을 사용하여 로터와 회전을 생성합니다).특히 어떤 바이벡터 B가 주어진 경우, 그것과 관련된 로터는

${\displaystyle R_{\mathbf {B} }=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}.}$

이 회전은 바이벡터가 단순할 경우 단순 회전이고 그렇지 않을 경우 보다 일반적인 회전입니다.제곱할 때,

${\displaystyle {R_{\mathbf {B}}}^2}=e^{\frac {\mathbf {B}}{2}}e^{\frac {\mathbf {B}}}=e^{\mathbf {B}}}}$

두 배의 각도를 통해 회전하는 회전자를 제공합니다.만약 B가 단순하다면, 이것은 곱 mn이 벡터 사이의 두 배의 각도를 통해 회전을 주기 때문에 두 번의 반사에 의해 발생하는 것과 같은 회전이다.이것들은 동일할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {mn} = e^{\mathbf {B} }$

따라서 m에서 n으로 회전하는 m과 n을 포함하는 회전면과 관련된 쌍방향 벡터는

$\displaystyle \mathbf {B} =\log(\mathbf {mn}).}$

이것은 간단한 바이벡터로, 설명한 간단한 회전과 관련되어 있습니다.4차원 이상의 일반 회전은 위와 같이 각 회전 평면에 하나씩 단순 이중 벡터의 합계와 관련된다.

예를 들어 위에 제시된 4차원의 2회전이 있습니다.zw 평면에서 각도 θ에 의한 단순 회전에는 단순 이중 벡터인 바이벡터 eθ가₃₄ 있습니다.xy-평면과 zw-평면에서 α와 β에 의한 이중 회전은 두 회전 평면에 평행하고 회전 각도와 동일한 크기를 갖는 두 개의 단순 이중 벡터 eα와₁₂ eβ의₃₄ 합인 이중 벡터 eα₁₂ + eβ를₃₄ 가진다.

로터가 주어졌을 때, 로터의 대수를 취함으로써 그와 관련된 바이벡터를 복구할 수 있으며, 로터는 간단한 바이벡터로 분할하여 회전면을 결정할 수 있지만, 가장 단순한 경우를 제외하고는 실제로는 불가능할 수 있다.그러나 간단한 바이벡터 기하학 대수는 ^[1][11]위와 같은 대수를 이용하여 회전면을 연구하는 데 유용한 도구이다.

고유값 및 고유평면

고유값을 사용하는 특정 회전의 회전 평면입니다.n차원의 일반 회전 행렬이 주어졌을 때, 특성 방정식은 1개의 (홀수 차원) 또는 0개의 (짝수 차원) 실제 루트를 가진다.다른 뿌리는 복잡한 켤레 쌍으로 이루어져 있어요 정확히는

$(\displaystyle\left\lfloor\frac {n}{2}}\right\loor,}$

그런 쌍들이들은 행렬의 고유 평면인 회전 평면에 해당하며, 이는 대수 기법을 사용하여 계산할 수 있습니다.또한 복소근의 인수는 회전면과 관련된 이원 벡터의 크기이다.특성 방정식의 형태는 평면과 관련이 있으며, 반복된 루트와 같은 대수적 특성을 반복된 이벡터와 연관시킬 수 있으며, 반복된 이벡터 크기는 특정한 기하학적 ^[1][12]해석을 가지고 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• SO(3) 차트
• 기븐스 회전
• 쿼터니온스
• 회전 그룹 SO(3)
• 4차원 유클리드 공간에서의 회전

메모들

레퍼런스

• Hestenes, David (1999). New Foundations for Classical Mechanics (2nd ed.). Kluwer. ISBN 0-7923-5302-1.
• Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7.
• Dorst, Leo; Doran, Chris; Lasenby, Joan (2002). Applications of geometric algebra in computer science and engineering. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4267-6.