O-최소 이론

O-minimal theory

수학적 논리학에서, 더 구체적으로 모델 이론에서, 모든 정의 가능한 부분 집합 X ⊆ M (M에서 가져온 매개변수)이 구간과 점의 유한 결합인 경우에만 <에 의해 완전히 순서가 정해진 무한 구조 (M,<,...)를 o-최소 구조라고 합니다.

O-최소성은 정량자 제거의 약한 형태로 간주될 수 있습니다.구조 M은 M에 하나의 자유 변수와 매개 변수가 있는 모든 공식이 순서만 포함하고 M에도 매개 변수가 있는 정량자가 없는 공식과 동일한 경우에만 최소입니다.이것은 최소 구조와 유사합니다. 이 구조는 동일성에 대한 정확한 유사한 특성입니다.

이론 T는 T의 모든 모델이 최소인 경우 최소 이론입니다.o-최소 구조의 완전한 이론 T는 o-최소 이론이라고 알려져 [1]있습니다.이 결과는 대조적으로, 최소 구조의 완전한 이론이 강력하게 최소화될 필요가 없기 때문에, 즉 최소화되지 않은 기본적으로 동등한 구조가 있을 수 있기 때문에 주목할 만합니다.

집합론적 정의

O-최소 구조는 모델 이론에 의존하지 않고 정의될 수 있습니다.여기서 우리는 집합론적 방법으로 비어있지 않은 집합 M에 대한 구조를, 수열n S = (S), n = 0, 1, 2, ...와 같이 정의합니다.

  1. S는n M의 부분n 집합들의 부울 대수입니다.
  2. A ∈ S이면n M × A와 A × M은 S에 있습니다n+1.
  3. 집합 {(x1,...,xn) ∈ Mn : x1 = xn}이(가) S에 있음n
  4. A ∈ Sn+1 및 πn+1 : M → M이n 첫 번째 n 좌표의 투영 맵이면 π(A) ∈ S입니다n.

만약 M이 끝점이 없는 조밀한 선형 순서를 가지고 있다면, <와 같이, M의 구조 S가 여분의 공리를 만족한다면, o-minimal이라고 불립니다.

  1. 집합 < (={(x,y) ∈ M2 : x < y}는 S입니다2.
  2. S의1 집합은 정확하게 구간과 점의 유한 결합입니다.

"o"는 "순서"를 나타냅니다. 모든 o-minimal 구조는 기본 집합에 대한 순서를 요구하기 때문입니다.

모델 이론적 정의

O-최소 구조는 모델 이론에서 비롯되었으므로 모델 [2]이론의 언어를 사용하여 더 간단하지만 동등한 정의를 가집니다.특히 L이 이진 관계 <, (M,<,...)를 포함하는 언어이고, (M,<,...)이 밀도가 높은 선형 [3]순서의 공리를 만족하도록 해석되는 L-구조라면, (M,<,...)는 임의의 정의 가능한 집합 X ⊆ M에 대해 열린 구간1 I, ..., M ∪ {±}과r 같은 유한 집합0 X가 유한한 경우 o-최소 구조라고 합니다.

예

최소 이론의 예는 다음과 같습니다.

  • 순서만 있는 언어의 조밀한 선형 순서에 대한 완전한 이론.
  • RCF, 실제 닫힌 [4]장 이론.
  • 제한된 분석 기능이 추가된 실제 필드의 완전한 이론(즉, [0,1]nn로 제한된 [0,1]의 이웃에 대한 분석 기능. 제한되지 않은 사인 함수는 무한히 많은 루트를 가지고 있으므로 o-minimal 구조에서 정의할 수 없습니다.)
  • 윌키 정리에 의한 지수 함수에 대한 기호를 가진 실제 필드의 완전한 이론.더 일반적으로, 파피안 함수가 있는 실수의 완전한 이론이 추가되었습니다.
  • 마지막 두 가지 예를 결합할 수 있습니다. 실제 필드(제한된 분석 기능을 가진 실제 필드 등)의 o-minimal 확장이 주어지면 다시 o-minimal [5]구조인 파피안 폐쇄를 정의할 수 있습니다.(특히, 구조의 파피안 폐쇄는 다항식 대신 임의의 정의 가능한 함수가 사용되는 파피안 사슬 아래에서 폐쇄됩니다.)

RCF의 경우 정의 가능한 집합은 반 대수 집합입니다.따라서 o-최소 구조와 이론에 대한 연구는 실제 대수 기하학을 일반화합니다.현재 연구의 주요 라인은 최소화된 실제 순서 필드의 확장을 발견하는 것에 기초합니다.응용 프로그램의 일반성에도 불구하고 o-minimal 구조에서 정의할 수 있는 집합의 기하학적 구조에 대해 많은 것을 보여줄 수 있습니다.세포 분해 정리,[6] 휘트니와 베르디에 층화 정리, 차원과 오일러 특성에 대한 좋은 개념이 있습니다.

더욱이, o-minimal 구조에서 연속적으로 미분 가능한 정의 가능한 함수는 (일부 가벼운 [8][9][10]가정 하에서) 확률적 하위 그레이디언트 방법과 같은 일부 매끄럽지 않은 최적화 방법의 수렴을 보장하는 데 사용된 속성인 워자시에비치 [7]불평등의 일반화를 충족합니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 나이트, 필레이와 스타인혼 (1986), 필레이와 스타인혼 (1988).
  2. ^ Marker (2002) p.81
  3. ^ <의 해석이 엄격하게 필요한 것은 아니지만, 이산 순서가 본질적으로 사소한 o-minimal 구조로 이어진다고 알려져 있습니다. 예를 들어, MR0899083 및 MR0943306.
  4. ^ Marker (2002) p.99
  5. ^ Patrick Speissger, Pafian 세트와 o-minimality, in: o-minimal 구조와 실제 분석 기하학에 대한 강의 노트, C. Miller, J.P.롤린, 그리고 P.Speissger(ed.), Fields Institute Communications vol. 62, 2012, 페이지 179–218. doi: 10.1007/978-1-4614-4042-0_5.
  6. ^ Marker (2002) 페이지 103
  7. ^ Kurdyka, Krzysztof (1998). "On gradients of functions definable in o-minimal structures". Annales de l'Institut Fourier. 48 (3): 769–783. doi:10.5802/aif.1638. ISSN 0373-0956.
  8. ^ Davis, Damek; Drusvyatskiy, Dmitriy; Kakade, Sham; Lee, Jason D. (2020). "Stochastic Subgradient Method Converges on Tame Functions". Foundations of Computational Mathematics. 20 (1): 119–154. arXiv:1804.07795. doi:10.1007/s10208-018-09409-5. ISSN 1615-3375. S2CID 5025719.
  9. ^ Garrigos, Guillaume (2015-11-02). Descent dynamical systems and algorithms for tame optimization, and multi-objective problems (PhD thesis). Université Montpellier ; Universidad técnica Federico Santa María (Valparaiso, Chili).
  10. ^ Ioffe, A. D. (2009). "An Invitation to Tame Optimization". SIAM Journal on Optimization. 19 (4): 1894–1917. doi:10.1137/080722059. ISSN 1052-6234.

레퍼런스

외부 링크