체르노프 분포

확률론에서 헤르만 체르노프의 이름을 딴 체르노프의 분포는 랜덤 변수의 확률 분포다.

${\displaystyle Z={\underset {s\in \mathbf {R}}{{\\operatorname {argmax}}}}}\(W(s)-s^{2}),}$

여기서 W는 W(0) = 0을 만족하는 "양면" Wiener 공정(또는 양면 "브라운 모션")이다.

${\displaystyle V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R}{{\\operatorname {argmax}}}}}}\(W(s)-c(s-a)^{2}),}$

그러면 V(0, c)는 밀도를 가진다.

${\displaystyle f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)}$

여기서 g는_c fourier 변환을 통해

${\displaystyle {\hat{g}_{c}={\frac {(2/c)^{1/3}{Ai}(i(2c^{2})^{-1/3}s)}}}}}}}}}\\\s\in \mathbf {R}}}}}}}$

Ai가 에어리 기능인 곳이지따라서 f는_c 0에 대칭이며 밀도 ƒ_Z = ƒ₁. 그로네붐(1989)은 다음과 같은 것을 보여준다.

${\displaystyle f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3} z }{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}} z ^{3}+2^{1/3}{\tilde {a}}_{1} z \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

$여기$서${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ~${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle 2.3381}$ ${\displaystyle {\tilde$ {$a}_{1}\$ 약 $-2.3381}$은 에어리 함수 Ai의 가장 큰 0이며, 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{Ai}}^{}}$ ′${\displaystyle {}^{}({\stackrel{}{}}_{}}$~ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}.7022}$ ${\displaysty \operatorname {Ai}({\tilde}_{$a}_${1}}}}}}}}})\pa}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\$pa}}\propa}pa}$7022$pa}$p$

참조

• Groeneboom, Piet (1989). "Brownian motion with a parabolic drift and Airy functions". Probability Theory and Related Fields. 81: 79–109. doi:10.1007/BF00343738. MR 0981568.
• Groeneboom, Piet; Wellner, Jon A. (2001). "Computing Chernoff's Distribution". Journal of Computational and Graphical Statistics. 10 (2): 388–400. CiteSeerX 10.1.1.369.863. doi:10.1198/10618600152627997. MR 1939706.
• 피에트 그로네붐(1985년).단조 밀도 추정.인: Le Cam, L.E., 올슨, R. A. (에드), Jerzy Neyman과 Jack Kiefer를 기리는 버클리 회의의 진행, vol.II, 페이지 539–555.워즈워스.

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