아벨 군

수학에서 아벨 군(Abelian group)은 가환군이라고도 불리며, 두 개의 군 원소에 군 연산을 적용한 결과가 그것들이 쓰여진 순서에 의존하지 않는 군이다.즉, 그룹 연산은 교환적입니다.연산으로서, 정수와 실수는 아벨 군을 형성하고, 아벨 군의 개념은 이러한 예제의 일반화라고 볼 수 있다.아벨 군들은 19세기 초 수학자 닐스 헨리크 ^[1]아벨의 이름을 따서 지어졌다.

아벨 군의 개념은 필드, 고리, 벡터 공간, 그리고 대수와 같은 많은 기본적인 대수 구조의 기초가 된다.아벨군의 이론은 일반적으로 비아벨군의 이론보다 단순하며, 유한 아벨군은 매우 잘 이해되고 완전히 분류된다.

정의.

아벨 그룹은 $집합$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 로 $,$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 2개의 $요소$ a(\displaystyle A $)$ 와 $a$ b $(\displaystyle$ b $)$ 를 $b$ 조합하여A $displaystyle$ A)의 $A,$ 다른 요소 $a\cdot b$ (\ $displaystyle$ b $a\cdot b$ 를 형성하는 연산 $\cdot$ {\(\ $displaystyle$ A)입니다 $\cdot$ .기호 $\cdot$ {\(\ $displaystyle \cdot)$ 은 $\cdot$ 구체적으로 주어진 작업을 위한 일반적인 자리 표시자입니다.아벨 군으로서 자격을 얻기 위해, 집합과 연산 $(A,\cdot )$ ( $(A,\cdot )$ , $(A,\cdot )$ ) $(A,\cdot )$ \ $displaystyle$ ( $A$ \ $cdot$ 은 아벨 군 공리로 알려진 네 가지 요건을 충족해야 한다. (일부 저자들은 연산의 정의에 속하는 속성들을 공리에 포함시킨다: 즉 연산이 $A$ 의 요소의 순서 쌍에 대해 정의된다는 것을 포함한다.)결과가 명확하게 정의되어 있고 결과가 A)에 속하는 경우:

연관성: $A의$ \ $displaystyle$ a $A$ $\displaystyle$ b $b$ $및$ c $\displaystyle$ c에 $c$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 대해 방정식 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ( $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ b ) $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ a $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ c $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ） \ $displaystyle ( a$ \ $cdot$ b ) \ c $= a$ \ $cdot ( b$ \ $cdot$ c ) 。
아이덴티티 요소: A $(\displaystyle$ A $A$ 에는 e $(\displaystyle$ e $)$ 라는 $e$ 요소가 존재하며, $A$ (\ $displaystyle$ A $a$ $A$ 의모든 $a$ 에 대해 e $e\cdot a=a\cdot e=a$ ) $e\cdot a=a\cdot e=a$ $e\cdot a=a\cdot e=a$ ( $e\cdot a=a\cdot e=a$ ) e $e\cdot a=a\cdot e=a$ a( $e\cdot a=a\cdot e=a$ ) $=$ a(a\cdot e $=a\cdot$ e $=a)$ 라는 $e\cdot a=a\cdot e=a$ $e\cdot a=a\cdot e=a$ 이 $성립$ 합니다.
역원소: A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $a$ $A$ 각 a $(\$ displaystyle A)에 대해 a $(\$ $displaystyle$ a $a\cdot b=b\cdot a=e$ $a\cdot b=b\cdot a=e$ $a\cdot b=b\cdot a=e$ (\ $displaystyle$ a $\cdot$ b $=b\cdot$ a $=e$ 의 요소 b(\ $displaystyle$ e)가 $A$ 합니다 $.$ $여기$ 서 e(\displaystyle e $b$ $)$ 는 $e$ ID $요소$ 입니다.
정류성: $A의$ \ $displaystyle$ $a$ $A$ $displaystyle$ b\displaystyle $a\cdot b=b\cdot a$ \ $displaystyle$ a $\cdot$ b $=b$ a\ $displaystyle$ a\displaystyle b=b\cdot a $a\cdot b=b\cdot a$

그룹 연산이 가환적이지 않은 그룹을 "비-벨리안 그룹" 또는 "비-가환 그룹"^[2]^{: 11}이라고 합니다.

사실들

표기법

아벨 군에는 가법 군과 곱법 군이라는 두 가지 주요 표기 규칙이 있다.

관습	작동	신원	파워	역
추가	$x+y$	0	$nx$	$-x$
곱셈	${\$ $x\cdot y$ \ $display style$ x \ $cdot$ y $x\cdot y$ $xy$ $xxy$ xた ${\$ y \ $display style$ xy}	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

일반적으로 곱셈표기는 그룹의 일반적인 표기법이며, 가법표기는 모듈 및 링의 일반적인 표기법입니다.가법 표기법은 또한 아벨 군과 비아벨 군 모두를 고려할 때마다 특정 그룹이 아벨 군임을 강조하기 위해 사용될 수 있다. 일부 주목할 만한 예외는 아벨 ^[3]^{: 28–29}군이 아닌 경우에도 연산이 가법적으로 기록되는 근환 군과 부분 순서 군이다.

구구단

유한군이 아벨리 군임을 확인하기 위해 케일리 표로 알려진 표(행렬)를 곱셈표와 유사한 방법으로 구성할 수 있다. $그룹$ 이 $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ $=$ { $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ , $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ , $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ , g $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ $}$ { $displaystyle$ $\cdot$ G = \ { $g$ _ { } $= e$ , g $_$ {2} , \ $dots$ , g $_$ { $n$ $\cdot$ 인 $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ $g_{i}\cdot g_{j}$ $(i,j)$ ( $(i,j)$ , $(i,j)$ ) \ $display$ style $( i$ , $j$ ) - $g_{i}\cdot g_{j}$ of $g_{i}\cdot g_{j}$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of $g_{i}\cdot g_{j}$

이 테이블이 주 대각선 주위에 대칭인 경우에만 그룹이 아벨리안입니다.이는 $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ 이 모든 $i,j=1,...,n$ $i,j=1,...,n$ $i,j=1,...,n$ $i,j=1,...,n$ j $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ g $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ i $,$ $i,j=1,...,n$ j = $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ g g_{ $j$ } = $g_{j}\cdot g_{$ i $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ $}$ 이므로, n $i,j=1,...,n$ { $displaystyle$ i, $j$ $(i,j)$ $1$ , $...n$ 은 i $(i,j)$ jstyle (표시 $)$ 의 경우입니다 $i,j=1,...,n$ $i,j=1,...,n$ , $i,j=1,...,n$ $i,j=1,...,n$ , $i,j=1,...,n$ . $i,j=1,...,n$ . , n $i,j=1,...,n$ {\ $displaystyle i,j=$ 1,... $n$ 즉, 테이블은 주 대각선 주위에 대칭입니다.

예

정수와 연산 $+$ 덧셈 $+$ + {\ $displaystyle$ $(\mathbb {Z} ,+)$ + $(\mathbb {Z} ,+)$ { $displaystyle (\mathbb {Z} ,+}$ $(\mathbb {Z} ,+)$ 의 경우 연산 +는 임의의 두 정수를 결합하여 세 번째 정수를 형성합니다. 덧셈은 연관성이 있습니다. 0은 가법적 아이덴티티티, 모든 $정수$ n {\ $displaystyle$ n $}$ 은 $n$ $가법$ 입니다 $-n$ $-n$ 은 n $m$ $n+m=m+n$ + $n+m=m+n$ $n+m=m+n$ + $n+m=m+n$ { $displaystyle$ n + m $=$ m + n } $n+m=m+n$ 、 n { $displaystyle$ m} 、 $n$ { $displaystyle$ n $=$ m + $n$ } n $n+m=m+n$ n n n n n n - - $m$ m - - - - -2개의 정수m { $displaystyle$ n ）
$모든$ $순환군$ G({ $displaystyle$ x $y$ $},$ y({ $displaystyle$ y})가 G({ $displaystyle$ G $G$ 에 $G$ 있을 $경우$ x $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ m + $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ a $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ xy = $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ a^{ $m}a {$ n $}$ = a^{ $displaysty$ = a+ $n}n^{a$ }a} {a} n $^{a$ } {a}n} {a} {a} {a} {a} { $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ } {displaysty} {displaystyle gyleg}{d따라서 정수인 $(\displaystyle \mathbb$ {Z $\mathbb {Z}$ 는 정수 $n$ 로 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (\ $displaystyle$ n $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ Z $(\displaystyle \mathbb$ {Z $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 와 마찬가지로 추가로 아벨 군을 형성합니다.
모든 링은 덧셈 연산에 관해 아벨 군입니다.교환환에서 가역원소 또는 단위는 아벨 곱셈군을 형성한다.특히, 실수는 덧셈 하의 아벨 군이고, 0이 아닌 실수는 곱셈 하의 아벨 군이다.
아벨 그룹의 모든 부분군은 정규적이므로, 각 부분군은 몫군을 생성합니다.부분군, 몫군, 그리고 아벨 군들의 직접 합계는 다시 아벨 군이다.유한 단순 아벨 군들은 정확히 소순서의 ^[4]순환 군들이다.
아벨 $\mathbb {Z}$ 과 $\mathbb {Z}$ Z \ $displaystyle \mathbb {Z}$ - module의 $\mathbb {Z}$ 개념이 일치합니다.보다 구체적으로, $\mathbb {Z}$ Z $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbb$ {Z $}$ -module은 $\mathbb {Z}$ 덧셈 연산이 있는 아벨 군이며, 모든 아벨 군은 독특한 방법으로 $\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle \mathbb {Z}$ 의 $\mathbb {Z}$ 링 위에 있는 모듈이다.

일반적으로 행렬, 심지어 가역 행렬도 곱셈 하에서 아벨 군을 형성하지 않는다. 왜냐하면 행렬 곱셈은 일반적으로 가환적이지 않기 때문이다.그러나 행렬의 일부 그룹은 행렬 곱셈 하의 아벨 군입니다. 예를 들어 $2\times 2$ 2 × $2\times 2$ $(\displaystyle$ 2 $\times$ 2) 회전 $2\times 2$ 행렬의 $2\times 2$ 이 있습니다.

이력 코멘트

카밀 조던은 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 따서 아벨 군이라고 이름 지었는데, 아벨이 다항식의 그룹의 교환성이 ^[5]^{: 144–145}다항식의 근을 라디칼을 사용하여 계산할 수 있다는 것을 발견했기 때문이다.

특성.

n $(\displaystyle$ n)이 $n$ $x$ 이고 x $(\displaystyle$ x $)$ 가 $x$ 덧쓰기된 아벨 $군$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 의 $G$ 요소인 $경우$ $(\$ $displaystyle$ nx $)$ 은 $nx$ $x+x+\cdots +x$ + $x+x+\cdots +x$ θ + $x+x+\cdots +x$ $(\$ $displaystyle x+\cdots +x$ $n$ $)$ $및$ $(-n)x=-(nx)$ $displaystyle$ n $)$ 로 $x+x+\cdots +x$ 할 수 있습니다 $.$ $ystyle(-n)x=-(nx$ 이 방법으로 G $(\displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 정수의 링 $\mathbb {Z}$ (\ $displaystyle \mathbb {Z})$ 위의 $\mathbb {Z}$ 모듈이 됩니다.실제로 Z $(\$ $\mathbb {Z}$ 의 $\mathbb {Z}$ 모듈은 아벨 군으로 식별할 수 있습니다.

아벨 그룹에 관한 이론(즉, 주 아이디얼 $\mathbb {Z}$ Z $위$ 의 모듈 $(\displaystyle$ \mathbb { $Z}$ $\mathbb {Z}$ 은 종종 임의의 주 아이디얼 영역 위의 모듈에 관한 이론으로 일반화될 수 있다.대표적인 예는 주 이상 영역에 걸친 최종 생성 모듈에 대한 구조 정리의 전문화인 최종 생성 아벨 군 분류이다.최종적으로 생성된 아벨군의 경우, 이 정리는 아벨군이 비틀림군과 자유 아벨군의 직합으로서 분할되는 것을 보증한다.전자는 p{\ $displaystyle$ p $}$ 프라임에 $p$ $대해$ Z $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ k $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathbb {Z}$ / $p^{k}\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ 의 $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ 최종 다수 그룹의 직합으로 쓸 수 있으며, 후자는 Z $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathbb {Z$ 의 $\mathbb {Z}$ 다수의 복사본의 직합이다.

$f,g:G\to H$ , $f,g:G\to H$ : $f,g:G\to H$ $f,g:G\to H$ \ $displaystyle$ f $,g :$ $G\to$ H는 $f,g:G\to H$ 아벨 군 사이의 두 개의 군 동형사상이며, 그 합 $+ g$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ( $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ) $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ( $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ) + $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ( $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ) { $displaystyle$ ( f + g ) $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ = f ( x ) $= f$ ( x ) + g ( x ) 로 정의되는 f ( $x)$ + g ( $x$ 로 정의되는 f (x) + g $f+g$ (x) 는 다시 동형사상사상이 된다. $($ 이것은 H(\ $style$ H $)$ 가 $H$ 비벨 그룹인 $H$ 에는 해당되지 않습니다.) $)\displaystyle\text{$ $따라서$ G $(\$ $displaystyle$ G $)$ 에서 $G$ H(\ $displaystyle$ H $)$ 까지의 $H$ 모든 군 동형사상의 Hom $}(G, H)$ 는 ${\text{Hom}}(G,H)$ 그 자체로 아벨 군이다.

벡터 공간의 차원과 다소 비슷하지만, 모든 아벨 군에는 등급이 있습니다.이는 그룹의 ^[6]^{: 49–50}선형 독립(정수에 대한) 요소 집합의 최대 카디널리티로 정의됩니다.유한 아벨 군과 비틀림 군은 순위 0을 가지며, 순위 0의 모든 아벨 군은 비틀림 군이다.정수와 유리수는 1등급이며, 유리수의 모든 0이 아닌 가법 부분군은 1등급입니다.반면, 0이 아닌 유리수의 곱셈군은 소수들의 집합을 기본으로 하는 자유 아벨 군이기 때문에 무한의 순위를 가진다(이것은 산술의 기본 정리에 기인한다).

$그룹$ G $(\displaystyle$ G $)$ 의 $G$ $Z(G)$ Z $(\style$ Z $(G$ 는G(\displaystyleG $G$ 의 모든 요소와 함께 이동하는 요소의 $집합$ 입니다. 그룹 G(\ $displaystyle$ G $Z(G)$ 는 $G$ $Z(G)$ 중심 Z(G)와 동일한 경우에만 아벨리안입니다. $그룹$ G $({$ displaystyle G}의 $G$ 중심은 항상 G $({displaystyle$ G $G$ 의 특징적인 아벨 서브그룹이며, 그룹의 중심인 $G/Z(G)$ G/ $({displaystyle$ G/ $Z(G)}$ 가 $G/Z(G)$ 순환이면G({ $displaystyle$ G})는 $G$ ^[7]아벨 서브그룹이다.

유한 아벨 군

$첫$ 번째 그룹의 예로는 정수 모듈로 $n$ $(\$ n $),$ Z/n Z $(\$ displaystyle \ $mathbb$ { $Z}$ / $n\mathbb {Z$ 의 순환 그룹이 있습니다.임의의 유한 아벨 군과 소수 곱셈 순서의 유한 순환 군과의 직합이 동형이며, 이러한 차수가 유일하게 결정되어 완전한 불변 계통을 형성한다는 것이 밝혀졌다.유한 아벨군의 자기동형군은 이러한 불변의 관점에서 직접 설명될 수 있다.이 이론은 1879년 게오르크 프로베니우스와 루드비히 스티켈버거의 논문에서 처음 개발되었고, 나중에 선형 대수의 중요한 장을 형성하면서 주요 이상 영역에 걸쳐 완전히 생성된 모듈로 단순화 및 일반화되었습니다.

어떤 일차군도 순환군과 동형이며, 따라서 아벨리안이다.차수가 소수 제곱인 군도 ^[8]아벨리안이다.실제로 모든 소수 $p$ {\ $displaystyle$ p $}$ 에 $p$ 대해 정확히 두 개의 $p^{2}$ $(\$ $\mathbb {Z} _{p^{2}}$ p $^{2$ 그룹, 즉 $\mathbb {Z} _{p^{2}}$ $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbb {Z$ $}$ ${$ $p})$ 와 $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$ {\ $displaystyle$ \mathbbbb ${Z}_{$ p} $_{$ p $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$ _{ $p})$ 가 있습니다.

분류

유한 아벨군의 기본정리는 모든 유한 $아벨군$ G({ $displaystyle$ G})는 $G$ 소수-멱순서 순환 부분군의 직합으로 표현될 수 있다고 기술한다. 유한 아벨군의 기본정리로도 알려져 있다.게다가 순환군의 자기동형군은 아벨군의 ^[9]예이다.이것은 G가 0등급일 때 유한군이 특별한 경우인 최종 생성된 아벨군의 기본 정리에 의해 일반화된다. 이는 다시 수많은 추가 일반화를 허용한다.

이 분류는 1870년 레오폴드 크로네커에 의해 증명되었지만, 현대의 집단 이론 용어에서는 나중에 언급되지 않았고, 1801년 카를 프리드리히 가우스에 의해 2차 형식의 유사한 분류가 선행되었다. 자세한 내용은 역사를 참조하라.

$순서$ $n$ 의 $mn$ 순환 $\mathbb {Z} _{mn}$ Z $\mathbb {Z} _{mn}$ $\mathbb {Z} _{mn}$ \ $displaystyle$ \ $mathbb { Z$ } $_$ { $mn$ } 은 $\mathbb {Z} _{mn}$ $\mathbb {Z} _{m}$ { $\mathbb {Z} _{m}$ $displaystyle$ \ $mathbb { Z$ } $_$ $\mathbb {Z} _{n}$ { $m$ } 와 $\mathbb {Z} _{m}$ $Z$ $\mathbb {Z} _{n}$ n\ $displaystyle$ $\mathbb {Z} _{n}$ \ $mathbb$ $m$ $\mathbb {Z} _{n}$ { $Z$ } _ $\mathbb {Z} _{n}$ $n$ { $n$ } 의 직합과 $동형상$ 입니다.따라서 유한 아벨 $군$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 형식의 직합과 동형이다.

\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\\mathbb {Z}_{k_{i}}

다음 표준 방법 중 하나를 사용합니다.

$k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ 1, $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ , $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ u(\ $displaystyle k_{1}, k_{2},\display, k_{u})$ 는 $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ 소수(반드시 구별되는 것은 아님)의 거듭제곱입니다.
$k_{1}$ k 1 $({$ 은 $k_{1}$ $({$ 를 나눕니다. $k_{u}$ $({$ 는 $k_{3}$ ku $({$ 까지 나눕니다.

예를 들어, $\mathbb {Z} _{15}$ Z $({displaystyle \mathbb {$ Z $}$ $_{$ $15$ })는 순서 3과 5의 2개의 순환 서브그룹의 직합으로 나타낼 수 $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ . $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ 15 $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ { $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ , $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ , 10 $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ } $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ { $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ $,$ , $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ , $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ 9 , 12 $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ } { $displaystyle \mathbbb$ { Z $}$ _ { $15$ } _ { $15$ } _ { 0 , 5 \ $cong$ \ 0 , 0 , 10 \ 0 , $10$ \ 0 , $10$ \ 0 , 10 \ }순서 15의 모든 아벨 군에서 같은 말을 할 수 있고, 순서 15의 모든 아벨 군들이 동형이라는 놀라운 결론을 이끌어 낸다.

예를 들어, 순서 8의 모든 아벨 그룹은 $(\$ 더하기 모듈로 8 아래의 0 ~7 정수), $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ $(\$ 2}) $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ 중 $\mathbb {Z} _{8}$ 또는 16의 곱셈에 동형상이 됩니다. $(\$ Z} ${2}\oplus \mathbb {Z}_{2$

차수가 30 이하인 유한 아벨 그룹에 대한 작은 그룹의 목록을 참조하십시오.

자기동형

기본정리를 적용하여 주어진 유한 $아벨군$ G(\display $style$ G $G$ 의 자기동형을 카운트(때로는 결정)할 수 있다. 이를 위해 G $(\display style$ G $)$ 가 $G$ 공차수 부분군 H $(\display style$ H $\oplus$ K $)$ 의 $H\oplus K$ 직합으로 $G$ 되면 이를 이용한다.

\displaystyle \operatorname {Aut}(H\oplus K)\cong \operatorname {Aut}(H)\operatorname {Aut}(K)}

이를 감안할 때 $,$ 기본 정리는 $G의$ 자기동형군을 계산하기 위해서는 $Sylow$ p $\style$ p $\display$ p\subgroups의 $p$ 자기동형군을 별도로 계산하면 된다는 것을 보여준다(즉, 각각p\ $display style$ p\ $p$ 의 차수를 갖는 순환 서브그룹의 직합). $소수$ p $\displaystyle$ p를 수정하고 $p$ $Sylow$ p $\style$ p $p$ \ $display$ p $\$ subgroup의 주기 계수의 $e_{i}$ $\$ 가 $e_{i}$ 오름차순으로 배열되어 있다고 가정합니다.

\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}

$n>0$ > $n>0$ 의 경우는, 0 $n>0$ 의 $값$ 을 지정할 수 $있습니다$ .

\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}}.}

하나의 특수한 경우는 n $n=1$ $({displaystyle n$ 1)일 때 $Sylow$ p $\style$ p $\$ $P$ P $\$ displaystyle P\\ $displaystyle$ P\\displaystyle P\\displaystyle P $P$ displaystyle P\)에 하나의 주기적 주역률만 존재하는 경우이다.또 다른 특수한 경우는 n $(\displaystyle$ n)이 $n$ $e_{i}=1$ 이지만 e $=$ (\ $displaystyle e_{i$ }= $1)$ 이 $e_{i}=1$ 1 $displaystyle$ 1 $\leq$ i $\leq$ n $1\leq i\leq n$ 인 $n$ 입니다. 여기서는 P $(\displaystyle$ P $)$ 를 $P$ 형식이라고 $P$ 합니다.

\mathbf {Z} _{p} \oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p}

따라서 이 하위 그룹의 요소는 p{\ $displaystyle$ p $}$ $요소$ $\mathbb {F} _{p}$ p {\displaystyle $\mathbb {F}$ _ ${p$ 의 유한 $p$ 에 $걸쳐$ 치수n { $displaystyle$ n $}$ 의 $n$ 벡터 공간으로 구성된다고 볼 수 있습니다.따라서 이 부분군의 자기동형은 가역 선형 변환에 의해 주어집니다.

\displaystyle \operatorname {Aut}(P)\cong \mathrm {GL}(n,\mathbf {F} _{p}),}

$\mathrm {GL}$ 서 G L $(\displaystyle \mathrm$ {GL $})$ 은 $\mathrm {GL}$ 적절한 일반 선형 그룹입니다.이것은 순서가 있다는 것을 쉽게 알 수 있다.

\displaystyle \left \operatorname {Aut}(P)\right =(p^{n}-1)\cdots(p^{n}-p^{n-1}).}

가장 일반적인 경우, $($ i $e_{i}$ }) $및$ n( $표시$ 스타일n)이 $n$ 임의인 경우, 자기동형 그룹을 판단하기가 더 어렵습니다.단, 만약 어떤 사람이 다음과 같이 정의한다면,

\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{,}\}

그리고.

\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}

$c_{k}\leq k$ k $k\leq d_{k}$ k $k\leq d_{k}$ \ $display style$ k \ $leq$ d $_ { k$ } 、 $c_{k}\leq k$ k ${\$ $c_{k}\leq k$ \ $display style$ c _ { $k$ } \ $leq$ k $c_{k}\leq k$ } 、

\left \operatorname {Aut}(P)\right =\param _{k=1}^{n}(p^{d_{k-1})\param _{j=1}^{n}(p^{e_{j})^{n-{i}{i}^{e}_{e}{p}_{i}{e}_{discaram _n

이는 위의 예에서 특수한 경우로 순서를 산출하는 것을 확인할 수 있다(Hillar, C. 및 Rhea, D 참조).

최종 생성된 아벨 군

$아벨군$ A는 G $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ { $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ , ... $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ , $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ n $}$ { $displaystyle$ G $=$ \ { $x$ _ { $1}$ , \ $ldots$ , $x$ _ { $n}$ \} { displaystyle $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ G = \ {x _ { n } $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ { displaystyle G = \ ldots , x _ { n} \ } } } { displaystyledots , x $_$ { n } } } a {= such such such such it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it

$L$ 을 $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ B $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ { $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ , $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ … , $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ n $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ . { display $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ B = \ { b $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ _ { $n }$ , \ $ldots$ , b $_$ { $n$ } \ } 의 자유 아벨 군이라고 합니다. $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ 다음과 같은 고유한 그룹 $p\colon L\to A,$ p : $p\colon L\to A,$ $p\colon L\to A,$ , {\ $displaystyle$ p $\display$ L $\to$ A $,}$ 이 $p\colon L\to A,$ 있습니다.

p(b_{i})=x_{i}\context{}i=1,\ldots,n.

이 동형사상은 주관적이며, 그 커널은 최종적으로 생성된다(정수가 노에테르 고리를 형성하기 때문이다).행렬 M에 정수 엔트리가 있다고 가정하면, $행렬$ M의 j번째 열의 엔트리가 커널의 j번째 생성기의 계수이다.그리고 나서, 아벨 군은 M에 $의해$ 정의된 선형 지도의 코커널과 동형이다.반대로 모든 정수 행렬은 완전히 생성된 아벨 군을 정의합니다.

따라서 최종 생성된 아벨 군 연구는 정수 행렬 연구와 완전히 동일하다.특히, A의 $생성$ 집합을 변경하는 것은 왼쪽에 있는 M에 단일 행렬을 $곱하는$ 것과 같습니다(즉, 역행렬이 정수 행렬이기도 한 역행렬).M의 $커널$ 생성 집합을 변경하는 것은 오른쪽에 있는 M에 단모듈 행렬을 $곱하는$ 것과 같다.

$Smith$ 정규형 M은 행렬입니다.

S=UMV,

$여기$ 서 $U$ 와 V는 $단모듈러$ 이고 S는 모든 비대각 엔트리가 0인 매트릭스이며, 0이 아닌 $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$ 는 $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$ $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$ ({ $displaystyle$ d_1 $,1},\ldots,$ $d_{j,j}$ ${k,k$ })가 첫 번째 엔트리와 $d_{j,j}$ $style$ $d_$ ${$ $j,j}$ 가 $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$ $d_{j,j}$ $d_{i,i}$ $d_{i,i}$ , $d_{i,i}$ disponal, $disponal$ d.스미스 법선의 존재와 모양은 최종적으로 생성된 아벨 군 $A$ 가 직합이라는 것을 증명한다.

\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \mathbb {Z} /d_{k,k} \mathbb {Z} , }

$여기$ 서 r은 r의 $맨$ 아래에 있는 0 행의 수(및 그룹의 순위)입니다.이것은 완전히 생성된 아벨 군들의 기본 정리이다.

스미스 정규형 알고리즘의 존재는 최종 생성된 아벨 군들의 기본 정리가 추상적인 존재의 정리일 뿐만 아니라, 최종 생성된 아벨 군들의 표현을 직접 합계로 계산하는 방법을 제공한다는 것을 보여준다.

무한 아벨 군

가장 단순한 무한 아벨군은 무한 $\mathbb {Z}$ Z $(\$ 입니다. 최종 생성된 아벨군 $A$ (\ $displaystyle$ A $)$ 는 $A$ Z $(\displaystyle$ \ $mathbb {Z})$ 와 $\mathbb {Z}$ 유한 아벨군의 $\mathbb {Z}$ $(\displaystyle$ r $)$ $r$ 의 $r$ 직합과 동형상이며, 유한 아벨군은 다시 분해할 수 있습니다.소수 전력 순서의 최종적인 많은 순환 그룹의 직합.분해가 고유하지 않더라도 $A의$ 으로 불리는 $숫자$ r ${$ $displaystyle$ r $A$ 와 유한 순환 서맨드의 순서를 부여하는 소수 거듭제곱은 고유하게 결정된다.

이와는 대조적으로 무한히 생성된 일반 아벨 군들의 분류는 완전하지 않다. $nx=a$ 가능한 군, 즉 아벨 군 A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ n x $nx=a$ (\ $displaystyle$ nx $=a)$ $nx=a$ 이 $nx=a$ 자연수 $(\displaystyle$ n $)$ 및 $n$ A(\ $displaystyle$ A $A$ 의 원소n(\ $displaystyle$ A)에 $a$ 대한 $x\in A$ x $x\in A$ A $(\displaystyle$ x\ $in$ A)를 $x\in A$ 인정하는 $A$ 이다.완전히 특징지을 수 있는 리안 그룹입니다. $각$ 분할군은 직접합과 동형상이며, Q $\$ 및 $\mathbb {Q}$ Prüfer군 $\mathbb {Q} _{p}/Z_{p}$ p $\$ 와 동형상이며, 각 소수 p $\displaystyle$ \mathbbb {Q $p$ $Z_{p}$ 의 $\mathbb {Q} _{p}/Z_{p}$ 집합의 카디널리티는 고유하게 ^[10]결정된다.또한 분할군 $({displaystyle$ A $}$ 가 $A$ $아벨군$ G({ $displaystyle$ G})의 $G$ 부분군인 경우 $,$ $A({$ $displaystyle$ C $})$ 는 $A$ 직접보완을 허용한다. 즉 $,$ G({ $displaystyle$ $G$ }의 $부분군$ C({ $displaystyle$ C $G=A\oplus C$ 는 $C$ G({displaystyle G})의 부분군 C $=A\$ displaystyle C\ $plus$ C $)$ 이다 $G$ .아벨군의 범주에서 les, 그리고 반대로, 모든 주입 아벨군은 나눌 수 있다(베어의 기준).0으로 나눌 수 없는 부분군이 없는 아벨 군을 환원군이라고 합니다.

정반대의 특성을 가진 두 가지 중요한 무한 아벨 그룹의 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 클래스는 비틀림 그룹과 비틀림 없는 그룹으로, 그룹 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ Q / $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ \ $displaystyle \mathbb {Q}$ $/\mathbb {Z}($ 주기적) 및 $\mathbb {Q}$ \ $displaystyle \mathbb {Q}($ 토션 없음)로 대표됩니다.

비틀림 그룹

모든 원소가 유한 차수를 가지고 있다면 아벨 군을 주기적 또는 비틀림이라고 한다.유한 순환군의 직합은 주기적이다.일반적으로는 반대 문장이 사실이 아니지만, 몇 가지 특별한 경우가 알려져 있습니다.첫 번째와 두 번째 Prüfer 이론에는 $A$ 가 $A$ 주기군이고, 어떤 $자연수$ n ${displaystyle$ n $n$ 에 대해 n $nA=0$ $nA=0$ ({ $displaystyle nA=0})$ 의 $nA=0$ 유계 지수를 $가지거나$ , 셀 수 있고 $,$ p ${displaystyle$ p $}$ 는 $p$ $A$ $디스플레이 FINI$ 의 $원소$ 중 하나라고 명시되어 있다. $각$ $p$ $\$ $displaystyle$ p $p$ $displaystyle$ A는 $A$ 유한 순환 ^[11]그룹의 직합과 동형입니다.이러한 분해에서 직접 가산 집합의 카디널리티는 Z $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle \mathbb {Z}$ / $p^{m}\mathbb {Z} }$ 와 ${\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}$ 동형이며 $,$ A {\ $displaystyle$ A $A$ ^[12]^{: 6}의 불변이다.이 정리들은 나중에 쿨리코프 기준에 포함되었다.다른 방향에서 헬무트 울름은 두 번째 Prüfer 정리가 무한 높이의 요소를 가진 셀 수 있는 $아벨리안$ p {\ $display style$ p} 군으로 $p$ 확장되는 것을 발견했다.그 군들은 Ulm 불변량에 의해 완전히 분류된다.

비틀림이 없는 그룹 및 혼합 그룹

아벨군은 0이 아닌 모든 원소가 무한 차수를 갖는다면 비틀림 없는 군이라고 불립니다.비틀림 없는 아벨 그룹의 여러 클래스가 광범위하게 연구되었다.

자유 아벨 군, 즉 임의의 $\mathbb {Z}$ Z $(\$
cotorsion 및 $대수적$ 으로 콤팩트한 비틀림 없는 군( $예$ : p $\displaystyle$ p $}$ -adic $p$ 정수)
호리호리한 그룹^[13]^{: 259–274}

주기적이지도 비틀림도 없는 아벨 군을 혼합군이라고 한다.A $(\displaystyle$ A $)$ 가 $A$ 아벨 $T(A)$ 이고 T $(A)$ 가 $T(A)$ 비틀림 하위 그룹인 $경우$ $A/T(A)$ $A/T(A)$ 그룹 A/T $($ )(\ $displaystyle$ A $/T(A))$ 는 $A/T(A)$ 비틀림이 없습니다.그러나 일반적으로 비틀림 서브그룹은A의 $직접적$ 인 합계가 아니기 때문에 $A는$ T $T(A)\oplus A/T(A)$ $T(A)\oplus A/T(A)$ / $)$ \ $displaystyle$ T $(A)$ \ $oplus$ A/ $T(A)$ \ displaystyle A $/$ T(A) \ displaystyle A / T / T $A$ A) \ （ A ） \ displaystyledisplus A / T / T / T / T / T / T / T / T / T / T / T / T ( A (A ) （ A ( A ） $T(A)\oplus A/T(A)$ （ A ）（ A ）（ A $T(A)\oplus A/T(A)$ A 정수의 $\mathbb {Z}$ Z(\ $displaystyle \mathbb {Z})$ 는 $\mathbb {Z}$ 비틀림이 $\mathbb {Z}$ Z(\ $displaystyle \mathbb {Z})$ 모듈이다 $\mathbb {Z}$ .^[14]^{: 206}

불변성과 분류

$무한$ 아벨 $A의$ 가장 $A$ 기본적인 불변량 중 하나는 등급이다 $:$ A의 $최대$ 선형 독립 서브셋의 카디널리티 $A$ 등급 0의 아벨 군들은 정확히 주기군인 반면, 등급 1의 비틀림 없는 아벨 군들은 반드시 $\mathbb {Q}$ 의 부분군이다. $e \mathbb {Q} }$ 이며 $\mathbb {Q}$ 완전히 설명할 수 있습니다.보다 일반적으로 유한 $등급$ r의 $r$ 비틀림 없는 아벨 군 $(\$ $displaystyle$ $\mathbb {Q}_{r$ 은 $Qr$ 의 부분군이며, p $\displaystyle$ p $}$ -adic $p$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ p $(\$ 는 $\mathbb {Z} _{p}$ $ZylST의$ 비틀림 $\mathbb {Z}$ 아벨 군이다. $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ 및 $n$ {\ $displaystyle$ $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ 은 $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ $n$ 서로 동형이 아니기 때문에 이 불변성은 친숙한 그룹의 특성조차 완전히 포착하지 못한다.

위에서 설명한 최종 생성, 분할 가능, 계산 가능 주기 및 순위 1의 비틀림 없는 아벨 그룹에 대한 분류 정리들은 모두 1950년 이전에 얻어진 것으로 보다 일반적인 무한 아벨 그룹의 분류의 기초를 형성한다.무한 아벨 군 분류에 사용되는 중요한 기술적 도구는 순수 부분군과 기본 부분군이다.비틀림 없는 아벨 군들의 다양한 불변성의 도입은 추가적인 진보의 한 가지 방법이었다.어빙 카플란스키, 라즐로 푸치, 필립 그리피스, 데이비드 아놀드의 책과 아벨 군론에 관한 학술회의의 진행 과정을 보다 최근의 발견을 위해 참조하십시오.

링의 가법군

고리의 가법군은 아벨군이지만, 모든 아벨군이 고리의 가법군인 것은 아니다.이 연구의 몇 가지 중요한 주제는 다음과 같습니다.

텐서 곱
A. L. S. Corner의 계산 가능한 비틀림 없는 그룹에 대한 결과
카디널리티 제한을 없애기 위한 셸라의 연구
번사이드 링

다른 수학적 주제와의 관계

많은 큰 아벨 군들은 자연적인 위상을 가지고 있고, 이것은 그들을 위상 군으로 변화시킨다.

모든 아벨 그룹의 집합은 그 사이의 동형사상과 함께 아벨 범주의 원형인 ${\textbf {Ab}}$ Ab ${\displaystyle {\textbf$ {Ab ${\textbf {Ab}}$ 을 형성합니다.

완다 슈미엘레프(1955)는 비벨론과는 달리 아벨군의 1차 이론이 결정 가능하다는 것을 증명했다.부울 대수를 제외한 대부분의 대수 구조는 결정할 수 없다.

현재 연구 분야는 아직 많이 있습니다.

유한 등급의 비틀림 없는 아벨 군 중에서 최종 생성된 사례와 순위 1 사례만 잘 이해된다.
무한 순위 비틀림 없는 아벨 군 이론에는 많은 미해결 문제들이 있다.
계산 가능한 비틀림 아벨 그룹은 단순한 표현과 Ulm 불변량을 통해 잘 이해되지만, 계산 가능한 혼합 그룹의 경우는 훨씬 덜 성숙하다.
1차 아벨 군 이론의 많은 가벼운 확장들은 결정할 수 없는 것으로 알려져 있다.
유한 아벨 군들은 계산 그룹 이론의 연구 주제이다.

게다가, 무한 차수의 아벨 군들은, 꽤 놀랍게도, 모든 수학의 기초가 된다고 일반적으로 가정된 집합론에 대한 깊은 질문으로 이끈다.화이트헤드 문제를 예로 들어보자: 무한 차수의 화이트헤드 군도 모두 자유 아벨 군인가?1970년대에 Saharon Shelah는 Whitehead 문제가 다음과 같은 것임을 증명했습니다.

ZFC(Zermelo-Fraenkel 공리)에서 결정할 수 없는 일반적인 공리 집합 이론으로, 오늘날의 거의 모든 수학이 파생될 수 있습니다.화이트헤드 문제는 ZFC에서 판별할 수 없는 것으로 판명된 일반 수학의 첫 번째 문제이기도 하다.
ZFC가 일반화 연속체 가설을 공리로 채택함으로써 증강된다고 해도 판정할 수 없다.
ZFC가 건설가능성의 공리로 증강되는 경우 긍정적으로 답변한다(L의 설명 참조).

타이포그래피 관련 주의사항

수학자의 고유 이름에서 파생된 수학적 형용사들 중에서, "abelian"이라는 단어는 종종 대문자 A가 아닌 소문자 a로 철자를 쓴다는 점에서 드물다. 대문자 A의 부족은 아벨의 이름이 제도화된 정도뿐만 아니라 현대 수학에서 얼마나 보편적이었는지를 암묵적으로 인정하는 것이다.에마틱스는 ^[15]그가 소개한 개념이다.

「」를 참조해 주세요.

정류자 부분군 - 몫이 가환되는 가장 작은 정규 부분군
아벨리안화 – 가환자 부분군에 의한 군 몫화
순서 6의 이면체군 – 6개의 원소를 가진 비가환군, 가장 작은 비벨 군
기본 아벨 군 – 0이 아닌 모든 원소가 같은 순서를 갖는 교환군
그로텐디크 군 – 자연수에서 정수와 같은 방식으로 교환 모노이드로 구성된 아벨 군
폰트랴긴 이중성 – 국소 콤팩트 아벨 군용 이중성

메모들

^ 제이콥슨 (2009) 페이지 41
^ Ramik, J. 쌍 비교 방법: 의사결정에서의 이론과 응용 (참: 스프링거 네이처 스위스, 2020), 페이지 11.
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^ Kurzweil, H. & Stellmacher, B., 유한군 이론: 소개(뉴욕, 베를린, 하이델베르크: 스프링거 벨라그, 2004), 페이지 43-54.
^ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ 를 들어 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ Q / $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ q $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ Q $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ / $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ p \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { $Q$ } / \ $mathbb$ { Z $}$ \ $cong$ \ $sum$ _ { $p$ } \ $mathbb$ { $Q }$ / \ $mathbb$ { $Z$ } $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$
^ 두 번째 Prüfer 정리에서의 계수 가능성 가정은 제거할 수 없다. 모든 $자연$ m {\ $displaystyle$ $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ m $}$ 에 $m$ 대한 $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ Z / $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ m $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ {\displaystyle \ $mathbb {Z}$ / $p^{m}\mathbb$ {Z $}$ }의 ${\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}$ 직접곱의 비틀림 부분군은 순환군의 직합이 아니다.
^ Faith, C., Rings and Things와 20세기 연상대수의 미세 배열(프로비던스:미국 수학회, 2004), 페이지 6.
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레퍼런스

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외부 링크

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[1] 제이콥슨 (2009) 페이지 41

[2] Ramik, J. 쌍 비교 방법: 의사결정에서의 이론과 응용 (참: 스프링거 네이처 스위스, 2020), 페이지 11.

[3] Auslander, M., & Buchsbaum, D., 그룹, 링, 모듈(미놀라, NY: 도버 출판물, 1974), 페이지 28-29.

[4] 로즈 2012, 페이지 32

[5] 콕스, D.A., 갈로아 이론(Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), 페이지 144–145.

[6] Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., 선형 그룹: 무한 차원(Milton Park, Abingdon-on-Thames 및 Oxfordshire: Milton Park, Abingdon-on-Thames 및 Oxfordshire:Taylor & Francis, 2020), 페이지 49-50.

[7] 로즈 2012, 페이지 48

[8] 로즈 2012, 페이지 79

[9] Kurzweil, H. & Stellmacher, B., 유한군 이론: 소개(뉴욕, 베를린, 하이델베르크: 스프링거 벨라그, 2004), 페이지 43-54.

[10] $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ 를 들어 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ Q / $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ q $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ Q $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ / $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ p \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { $Q$ } / \ $mathbb$ { Z $}$ \ $cong$ \ $sum$ _ { $p$ } \ $mathbb$ { $Q }$ / \ $mathbb$ { $Z$ } $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$

[11] 두 번째 Prüfer 정리에서의 계수 가능성 가정은 제거할 수 없다. 모든 $자연$ m {\ $displaystyle$ $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ m $}$ 에 $m$ 대한 $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ Z / $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ m $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ {\displaystyle \ $mathbb {Z}$ / $p^{m}\mathbb$ {Z $}$ }의 ${\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}$ 직접곱의 비틀림 부분군은 순환군의 직합이 아니다.

[12] Faith, C., Rings and Things와 20세기 연상대수의 미세 배열(프로비던스:미국 수학회, 2004), 페이지 6.

[13] 미국 앨브레히트, 괴벨, R. & Walker, E., eds.의 "가느다란 아벨 그룹의 산물", 아벨 군 이론: 오버울파흐에서 열린 제3차 아벨 군 이론의 진행, 1985년 8월 11-17일, 1987년 8월 25일자.

[14] Lal, R., 대수 2: 선형 대수, 갈로아 이론, 표현 이론, 군 확장 및 슈르 승수 (베를린, 하이델베르크: 스프링거, 2017), 페이지 206.

[15] "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Archived from the original on 31 December 2012. Retrieved 3 July 2016.

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v t 무리
기본 개념	서브그룹 정규 부분군 정류자 부분군 몫군 군 동형사상 (반) 다이렉트 제품 직접 합계
그룹의 종류	유한군 아벨 군 순환군 무한 군 단순한 그룹 해결 가능한 그룹 대칭군 스페이스 그룹 점군 벽지 그룹 트리비얼 그룹
개별 그룹	유한단순군분류 순환군_n Z 교대 그룹_n A 산발적인 그룹 마티외 군 M_11..12,M_22..24 콘웨이 그룹_1..3 잔코₁ 그룹₂ J₃, J, J, J₄ 피셔 군 F_22..24 아기 괴물 그룹 B 몬스터 그룹 M 기타 유한 그룹 대칭군 S_n 이면체군 D_n 루빅스 큐브 군
거짓말 그룹	일반 선형 그룹 GL(n) 특수 선형 그룹 SL(n) 직교군 O(n) 특수 직교군 SO(n) 유니터리 그룹 U(n) 특수 유니터리 그룹 SU(n) 심플렉틱 군 Sp(n) 예외적인 Lie 그룹 G₂ 에프₄ E₆. E₇. E₈. 서클 그룹 로렌츠 군 푸앵카레 군 사분위기
무한 차원군	등각군 미분동형군 루프 그룹 양자군 O()) SU()) Sp())
역사 적용들 추상 대수

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유한 아벨 군

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