높이(아벨라 그룹)

수학에서 아벨 그룹 A의 원소 g의 높이는 그 가성 특성을 포착하는 불변수로서, Nx = g의 방정식이 해법 x ∈ A를 가질 정도로 가장 큰 자연수 N이며, 그러한 N이 없을 경우 기호 ∞이다.p-높이는 고정 소수점 p의 힘에 의한 점성 속성만 고려한다.높이에 대한 개념은 p-높이가 서수 번호가 되도록 정교함을 인정한다.키는 프뤼퍼의 이론과 울름의 정리에서도 중요한 역할을 하는데, 울름의 정리에서는 울름 요인이나 울름 불변성의 관점에서 특정 무한 아벨리아 집단의 분류를 기술한다.

높이 정의

A를 아벨 그룹과 g의 원소가 되게 하라.h(g_p)로 표시된 A에서 g의 p-높이는 등식ⁿ px = g가 x ∈ A에 용액이 있거나, 모든 n에 용액이 존재하는 경우 기호 ∞과 같이 가장 큰 자연수 n이다.따라서 h_p(g) = g ∈ pA와ⁿ g ∉ pA인ⁿ⁺¹ 경우에만 해당된다.이를 통해 키의 개념을 다듬을 수 있다.

모든 서수 α의 경우, A의 부분군 pA가^α 있으며, 이는 트랜스피나이트 유도를 사용하여 정의된 반복 α 곱셈 맵의 이미지다.

• p⁰A = A;
• p^α+1A = p(p^αA);
• pA^β=β가 한계 서수인 경우 pA=_{α < β}pa pA^α.

부분군 pA는^α 그룹 A의 감소 여과를 형성하며, 그 교차점은 요소들에 높이 ∞이 할당되는 p-분할성 원소의 부분군이다.수정된 p-높이 h_p^∗(g) = g ∈ pA일^α 경우 α이지만, g p^α+1 pA일 경우 α.pA의^α 구성은 A에서 functorial이며, 특히 여과물의 하위 쿼터는 A의 이형성 불변성이다.

Ulm 부분군

p를 일정한 소수 정수로 하자.U(A) 또는 A로¹ 표시된 아벨 그룹 A의 (첫 번째) Ulm 하위 그룹은 pA^ω = ∩_n pA이며ⁿ 여기서 Ω은 가장 작은 무한 서수이다.무한한 키의 A의 모든 요소로 이루어져 있다.서수 σ에 의해 색인화된 Ulm 하위 그룹의 {U^σ(A)} 계열은 트랜스피나이트 유도로 정의된다.

• U⁰(A) = A;
• U^σ+1(A) = U(U^σ(A));
• U^τ(A) = τ가 한계 서수인 경우 ∩_{σ < τ} U(A^σ)

동등하게, U^σ(A) = pA^ωσ, 여기서 Ωσ은 서수 Ω과 σ의 산물이다.

Ulm 부분군은 U_σ(A) = U^σ(A)/U^σ+1(A)를 A의 Ulm 인자로 부르는 A의 감소 여과를 형성한다.이^τ 여과가 안정되고 U(A) = U^τ+1(A)가 A의 Ulm 길이일 정도로 가장 작은 서수 τ이 된다.U^∞(A)와 pA로도^∞ 표기된 가장 작은 Ulm 부분군 U^τ(A)는 A의 모든 p-분할된 원소로 이루어져 있으며, 분할할 수 없는 그룹으로서 A의 직접적인 합계다.

모든 Ulm 인자 U_σ(A)에 대해 원소의 p-높이는 유한하며, Ulm 길이 τ이 후속 서수일 때 마지막을 제외한 모든_τ−1 Ulm 인자에 대해 제한되지 않는다.

울름의 정리

두 번째 프뤼퍼 정리는 무한 키의 요소 없이 계산 가능한 아벨리안 p-그룹으로 미세하게 생성된 아벨리아 그룹의 근본적인 정리를 직접적으로 확장시켜 준다: 그러한 각 그룹은 p의 힘인 주기 그룹의 직접적인 합에 이소모르픽적이다.더욱이, 순서 p의ⁿ 합계 집합의 카디널리티는 그룹에 의해 고유하게 결정되며, 최대 카운트 가능한 각 추기경들의 순서가 실현된다.헬무트 울름(1933)은 일반 계수 가능한 p-그룹에 대한 이 분류 이론의 확장을 발견했다. 그들의 이형성 등급은 울름 인자의 이형성 등급과 p-분할성 부분에 의해 결정된다.

울름의 정리.A와 B를 계산 가능한 아벨 p-그룹으로 하여 모든 서수 σ에 대해 Ulm 인자가 이형, U_σ(A) ≅ U(B_σ)이며, A와 B의 p-분할이 가능한 부분은 이형, U^∞(A) ≅ U^∞(B)가 되도록 한다.그러면 A와 B는 이형이다.

레오 지핀(1935년)이 처음 진술하고 쿠로슈(1960년)에서 입증한 이 정리에는 보완이 있는데, 이 정리는 주어진 울름 인자를 가진 아벨리안 p-그룹의 존재를 다루고 있다.

τ을 서수로 하고 {A_σ}은(는) 서수로 하고 각_σ A의 원소의 p-높이가 유한하고, 가능하면 마지막 것을 제외하고 한없이 되도록 서수로 색인된 셀 수 있는 아벨리안 p-그룹 계열이다. 그리고 Ulm 길이 τ의 축소된 아벨리안 p-그룹 A가 존재하며, Ulm 인자는 U_σ(A) ≅ A와_σ 이형이다.

울름의 원론적인 증거는 초급격차론을 무한격차로 확장한 것에 근거한 것이었다.

대체 제형

조지 맥키와 어빙 카플란스키가 완전한 이산 평가 링을 통해 울름의 정리를 특정 모듈에 일반화했다.그들은 계수 가능한 주기적 아벨리아 집단의 분류에 대한 직접적인 진술로 이어지는 아벨리아 집단의 불변성을 도입했다: 아벨리아 집단 A, 원시 p, 서수 α를 주어, 해당 α번째 울름 불변량은 해당 인수의 치수다.

p^αA[p]/p^α+1A[p],

여기서 B[p]는 아벨 그룹 B의 p-torion, 즉 p 원소가 있는 유한장 위에 벡터 공간으로 보이는 순서 p의 원소 서브그룹을 나타낸다.

계수 가능한 주기적 환원 아벨리아 그룹은 모든 소수 p와 계수 가능한 서수 α에 대해 울름 불변성에 의해 이소모르프까지 고유하게 결정된다.

울름의 정리에 대한 그들의 간결한 증거는 다른 계급의 아벨 그룹과 모듈들에 대한 많은 추가 일반화의 모델 역할을 했다.

참조

• 라슬로 푸흐스(1970), 인피니트 아벨리아 그룹, 볼. I. 순수 및 응용 수학, 제36권뉴욕-런던:학술지 MR0255673
• 어빙 카플란스키와 조지 맥키, 울름의 정리 일반화.서마브라질.수학. 2, (1951), 195–202 MR0049165
• Kurosh, A. G. (1960), The theory of groups, New York: Chelsea, MR 0109842
• Ulm, H (1933). "Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen". Math. Ann. 107: 774–803. doi:10.1007/bf01448919. JFM 59.0143.03.