방향성

수학에서 방향성은 실제 벡터 공간, 유클리드 공간, 표면 및 보다 일반적으로 다지관과 같은 일부 위상적 공간의 특성으로서 "시계방향"과 "시계 반대방향"^[1]의 일관된 정의를 가능하게 한다. 공간은 그러한 일관된 정의가 존재한다면 방향을 잡을 수 있다. 이 경우 가능한 정의는 두 가지가 있으며, 그 정의들 사이의 선택은 공간의 방향이다. 실제 벡터 공간, 유클리드 공간, 구들은 방향을 잡을 수 있다. 공간은 그 안의 일부 루프를 거쳐 다시 시작점으로 돌아온 후 "시계 반대 방향"으로 바뀌면 방향성이 맞지 않는다. 이러한 고리를 따라 끊임없이 움직이는 기하학적 형상이 그 자신의 거울 이미지에서 바뀐다는 뜻. 뫼비우스 띠는 방향성이 없는 공간의 예다.

원하는 적용 수준과 일반성의 수준에 따라 다양한 등가의 방향성 제형이 주어질 수 있다. 일반 위상학 다지관에 적용되는 공식은 종종 동질학 이론의 방법을 채택하는 반면, 차별화할 수 있는 다지관의 경우 더 많은 구조가 존재하여 미분형 측면에서 제형이 가능하다. 공간의 방향성 개념의 일반화는 일부 다른 공간(섬유다발)에 의해 매개변수화된 공간 계열의 방향성 개념이며, 매개변수 값의 변화에 따라 지속적으로 변화하는 각 공간에서 방향을 선택해야 한다.

방향성 표면

유클리드 공간 R의³ 표면 S는 2차원 형상(예: )을 자신의 거울 이미지()처럼 보이도록 표면 주위를 돌고 그것이 시작된 곳으로 다시 이동할 수 없는 경우 방향을 잡을 수 있다. 그렇지 않으면 표면이 방향을 잡을 수 없다. 시계방향 회전의 일관된 개념을 연속적인 방식으로 표면에 정의할 수 있다면 추상 표면(즉, 2차원 다지관)은 방향을 잡을 수 있다. 즉 표면에서 한 방향으로 도는 고리는 (자체가 겹치지 않고) 그 반대 방향으로 돌아가는 고리로 계속 변형될 수 없다. 이것은 표면이 뫼비우스 띠에 대해 동형인 부분집합을 포함하지 않는가에 대한 문제와 동등한 것으로 밝혀졌다. 따라서 표면의 경우 뫼비우스 스트립은 모든 방향성이 없는 근원으로 간주될 수 있다.

방향성이 있는 표면의 경우 (시계 반대 방향과 반대로) 일관된 선택을 방향이라고 하고, 표면을 방향이라고 한다. 유클리드 공간에 내장된 표면의 경우 방향은 모든 지점에서 연속적으로 변화하는 표면 정규 n의 선택에 의해 지정된다. 만약 그러한 정규식이 조금이라도 존재한다면, 그것을 선택하는 방법에는 항상 n과 -n 두 가지가 있다. 보다 일반적으로 방향성 표면은 정확히 두 방향성을 인정하며 방향성 표면과 방향성 표면의 구분이 미묘하고 자주 흐릿하다. 방향성 표면은 방향을 인정하는 추상적인 표면인 반면, 방향성 표면은 추상적으로 방향을 잡을 수 있는 표면이며, 가능한 두 방향성 중 하나를 선택하는 추가 기준이 있다.

예

우리가 물리적 세계에서 마주치는 대부분의 표면은 방향을 잡을 수 있다. 예를 들어 구, 평면, 토리는 방향을 잡을 수 있다. 그러나 뫼비우스 스트립, 실제 투영 평면, 클라인 병은 방향성이 없다. 그들은 3차원 입체적으로 시각화되었듯이 모두 한쪽 면만 가지고 있다. 실제 투영면과 클라인 병은 R에³ 삽입할 수 없고 멋진 교차점만 담글 수 있다.

국소적으로 내장된 표면은 항상 양면을 가지고 있기 때문에 단면 표면 위를 기어다니는 근시개미는 "다른 면"이 있다고 생각할 수 있다. 일방성의 본질은 개미가 표면을 통과하거나 가장자리를 넘기지 않고 단순히 충분히 멀리 기어가기만 하면 표면의 한쪽에서 '다른' 쪽으로 기어들어갈 수 있다는 것이다.

일반적으로 방향성이 있다는 특성은 양면성이 아니라 주변 공간(위의 R³ 등)이 방향성이 있을 때 유지된다. 예를 들어, 에 포함된 토러스

${\displaystyle K^{2}\time S^{1}$

단면일 수도 있고, 같은 공간에 있는 클라인 병은 양면일 수도 있다. ${\displaystyle {여기}^{}}$서 K $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ K$^{2}}$은 클라인 병을 가리킨다$$.

삼각 측량별 방향

모든 표면에는 삼각형이 있다: 삼각형의 각 가장자리가 다른 가장자리에 접착되도록 삼각형으로 분해된다. 각 삼각형은 삼각형의 둘레를 중심으로 방향을 선택하여 삼각형의 각 가장자리에 방향을 연결한다. 접착 시 인접한 가장자리가 반대 방향을 가리키는 방식으로 이 작업을 수행하면 표면의 방향이 결정된다. 그러한 선택은 표면이 방향성을 가질 수 있는 경우에만 가능하며, 이 경우 정확히 두 가지 방향성이 있다.

만약 그림이 거울 이미지로 변하지 않고 표면의 모든 지점에 일관되게 위치할 수 있다면, 이것은 내부 인물의 색상의 적녹청색 순서에 기초하여 각 삼각형의 방향을 선택함으로써 삼각형의 각 삼각형에 대해 위의 의미에서의 방향을 유도할 것이다. 삼각형의

이 접근방식은 삼각측량을 갖는 n-manifold에 일반화된다. 그러나 일부 4마니폴드는 삼각형이 없고, 일반적으로 n > 4에 대해서는 불평등한 삼각형이 있다.

방향성과 호몰로지

H₁(S)가 표면 S의 첫 번째 호몰로지 그룹을 나타내는 경우, H₁(S)에 사소한 비틀림 하위 그룹이 있는 경우에만 S가 방향을 잡을 수 있다. 보다 정확히 말하면 S가 방향성을 가질 수 있다면₁ H(S)는 자유 아벨리아 그룹이고, 그렇지 않다면 H₁(S) = F + Z/2Z F가 자유 아벨리아인 경우 Z/2Z 인자는 S에 내장된 뫼비우스 대역의 중간 곡선에 의해 생성된다.

다지관의 방향성

M을 연결된 위상학 n-manifold가 되게 하라. M이 방향을 잡을 수 있다는 것이 무엇을 의미하는지 몇 가지 가능한 정의가 있다. 이러한 정의들 중 일부는 M이 차별화 될 수 있는 것과 같은 추가적인 구조를 필요로 한다. 때때로 n = 0은 특별한 경우로 만들어져야 한다. 이러한 정의 중 하나 이상이 M에 적용되는 경우, M은 다른 정의에 따라 방향을 지정할 수 있는 경우에만 하나의 정의에 따라 방향을 지정할 수 있다.^[2][3]

가변 다지관의 방향성

가장 직관적인 정의는 M이 다른 다양성이어야 한다는 것을 요구한다. 이것은 M의 지도에 있는 전이 기능이 C 기능이라는¹ 것을 의미한다. 그러한 기능은 자코비안적 결정요인을 인정한다. 자코비안 결정요소가 양성이면 전환함수는 방향보존이라고 한다. M의 지향적 지도책은 모든 전환 기능이 지향성을 보존하는 지도책이다. M은 지향적인 지도책을 인정한다면 방향을 잡을 수 있다. n > 0일 때, M의 방향은 최대 지향의 지도책이다. (n = 0일 때 M의 방향은 함수 M → {±1})

방향성과 방향성은 접선다발 단위로도 표현할 수 있다. 접선다발은 벡터다발이라 구조그룹 GL(n, R)을 가진 섬유다발이다. 즉, 다지관의 전환 기능은 접선 번들의 전환 기능을 유도하며, 이는 섬유와 같은 선형 변환이다. 구조 그룹을 포지티브 결정 계수의 그룹⁺ GL(n, R)으로 축소할 수 있거나, 전환 기능이 각 접선 공간의 선형 변환을 보존하는 방향을 결정하는 아틀라스가 존재하는 경우, 다지관 M은 방향을 정할 수 있다. 반대로 M은 접선다발의 구조군이 이런 식으로 축소될 수 있는 경우에만 방향을 잡을 수 있다. 프레임 번들에 대해서도 비슷한 관찰을 할 수 있다.

서로 다른 다지관의 방향을 정의하는 또 다른 방법은 체적 형태를 통한 것이다. 볼륨 폼은 M의 코탄젠트 번들의 최상단 외부 전력인 ⁿtm^∗ TM의 어디에도 보이지 않는 섹션이다. 예를 들어 R은ⁿ dx¹ ∧ ⋯ ∧ xⁿ dx에 의해 주어진 표준 볼륨 형태를 가지고 있다. M에 있는 볼륨 형태를 볼 때, 표준 볼륨 형태가 Ω의 양의 배수로 되돌아가는 모든 차트 U → R의ⁿ 집합은 지향적인 아틀라스가 된다. 따라서 체적 형태의 존재는 다지관의 방향성과 동등하다.

볼륨 형식과 접선 벡터는 조합하여 방향성에 대한 또 다른 설명을 제공할 수 있다. X₁, …, X가_n p 지점의 접선 벡터의 기초라면, 그 기초는₁ Ω(X_n, …, X) > 0. 전환함수는 오른손 베이스를 오른손 베이스에 보낼 때와 보낼 때만 보존하는 방향이다. 볼륨 폼의 존재는 접선 번들 또는 프레임 번들의 구조 그룹을⁺ GL(n, R)으로 축소하는 것을 의미한다. 이전과 같이, 이것은 M의 방향성을 암시한다. 반대로 M이 방향성을 가질 수 있다면, 지역 볼륨 폼을 함께 패치하여 글로벌 볼륨 형태를 만들 수 있다. 방향성은 글로벌 폼이 사라지지 않도록 하는 데 필요하다.

일반다지관의 동종학 및 방향성

상기의 모든 다른 다지관의 방향성에 대한 정의의 핵심은 전환 기능을 보존하는 방향의 개념이다. 이는 그러한 전환 기능이 정확히 무엇을 보존하고 있는지에 대한 의문을 제기한다. 다지관의 방향은 지도책이기 때문에 다지관의 방향을 보존할 수 없으며, 전환 기능이 그것이 구성원인 지도책을 보존하거나 보존하지 않는다고 말하는 것은 말이 되지 않는다.

이 문제는 지역적 방향을 정의함으로써 해결할 수 있다. 1차원 다지관에서는 p점을 중심으로 한 국소 방향은 그 점 근처의 좌우를 선택하는 것과 일치한다. 2차원 다지관에서는 시계 방향과 시계 반대 방향의 선택에 해당한다. 이러한 두 가지 상황은 p 근처에서는 설명되지만 p에서는 설명되지 않는다는 공통점을 가지고 있다. 일반적인 경우는 M을 위상학적 n-manifold가 되게 한다. 지점 p 주위에 있는 M의 국소 방향은 그룹의 발전기 선택이다.

${\displaystyle H_{n}\왼쪽(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right).}$

이 그룹의 기하학적 유의성을 보려면 p 주위에 차트를 선택하십시오. 그 차트에는 원점 O 주위에 오픈볼 B인 p의 근방이 있다. By the excision theorem, ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$ is isomorphic to ${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right)}$. 공 B는 수축이 가능하므로 호몰로지 그룹은 0도를 제외하고 사라지고, 공간 B \ O는 (n - 1)-sphere이므로 호몰로지 그룹은 n - 1, 0도를 제외하고 사라진다. A computation with the long exact sequence in relative homology shows that the above homology group is isomorphic to ${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z} }$. A choice of generator therefore corresponds to a decision of whether, in the given chart, a sphere around p는 양 또는 음이다. 원점을 통한 R의ⁿ 반사는 H $n{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}S\mathbf{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ Z${\displaystyle }$) ${\$에 부정함으로써 작용하므로, 발전기 선택의 기하학적 의미는 차트와 반사를 구분한다는 것이다.

On a topological manifold, a transition function is orientation preserving if, at each point p in its domain, it fixes the generators of ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$. From here, the relevant definitions are the same as in the differentiable case. 지향적 지도책자는 모든 전환 기능이 지향성을 보존하는 것을 위한 것이고, M은 지향적 지도책을 인정하면 방향을 잡을 수 있으며, n > 0일 때 M의 방향은 최대 지향적인 지도책이다.

직관적으로 M의 방향은 각 지점에서 M의 고유한 국부 방향을 정의해야 한다. This is made precise by noting that any chart in the oriented atlas around p can be used to determine a sphere around p, and this sphere determines a generator of ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$. Moreover, any other chart around p is related to the first chart by an or전환 함수를 보존하는 입력을 의미하며, 이는 두 차트가 동일한 제너레이터, 즉 제너레이터가 고유함을 의미한다.

순전히 동질적 정의도 가능하다. M이 닫히고 연결되어 있다고 가정할 때, N번째 호몰로지 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Hn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}M}$;${\displaystyle Z\mathbf{}}$ )$${\$displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z}$)이$$ 정수 Z에 이형인 경우에만 M이 방향을 잡을 수 있다. M의 방향은 이 그룹의 발전기 α의 선택이다. 이 발전기는 무한순환 그룹 ${\displaystyle H_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( M${\displaystyle }$; ${\displaystyle Z\mathbf{}}$) ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z})$의 발전기를 고정$$ 발전기로 고정시키고 α가 고정 발전기로 전진하는 방향으로의 차트를 취함으로써 지향적인 아틀라스를 결정한다. 반대로, 지향적인 지도책자는 그러한 발전기를 결정하는데, 호몰로지 그룹 H ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle M\mathbf{};}$ Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z})}$에 대한 발전기를 제공하기 위해 호환 가능한 지역 방향을 함께 붙일 수 있다$.$^[4]

방향 및 코호몰로지

다지관 M은 첫 번째 스티펠-일 경우에만 방향을 잡을 수 있다.Whitney 클래스 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( M${\displaystyle }$; ${\displaystyle Z}$/ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle w_{1}(M)\in$ H$^{1}(M;\mathbf {Z} /$2)}은$($는) 사라진다. 특히 Z/2 계수를 가진 첫 번째 동종학 그룹이 0이면 다지관은 방향을 잡을 수 있다. 더욱이 M이 방향성이 있고 사라지면₁ H ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle M}$; ${\displaystyle Z\mathbf{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\displaystyle H^{0}(M;\mathbf {Z} /2)}$ 파라메트리가$$ 방향 선택을 한다.^[5] 이러한 방향성의 특성화는 단순히 접선 번들만이 아니라 M을 통한 일반 벡터 번들의 방향성까지 확장된다.

방향 이중 커버

M의 각 지점에는 두 가지 지역 방향이 있다. 직관적으로 p 지점의 국소 방향에서 p 지점의 국소 방향으로 이동하는 방법이 있다: 두 지점이 동일한 좌표도 U → R에ⁿ 있을 때, 좌표도는 p 지점과 p 지점에서 양립 가능한 국소 방향을 정의한다. 따라서 국부 방향의 집합은 위상이 주어질 수 있으며, 이 위상은 그것을 다지관으로 만든다.

더 정확히 말하자면 O를 M의 모든 국부적 방향의 집합으로 삼아라. O를 토폴로지하려면 해당 토폴로지의 하위 베이스를 지정하십시오. $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle M}$, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle U\mathbf{};}$ Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus$ U$;\mathbf {Z})}$이(가) Z에 이형인$$ 것처럼 U를 선택한 M의 열린 하위 집합이 되게 하라. α가 이 집단의 발생기라고 가정한다. For each p in U, there is a pushforward function ${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$. 이 집단의 코도메인은 두 개의 발전기를 가지고 있으며, α는 그 중 하나에 지도한다. O의 위상은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \{\text{{}}}}}{}}}}}{}}\왼쪽(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z}\오른쪽)\colon p\in U\}}}}}$

열려 있다.

p에서 p로 국부 방향을 보내는 표준지도 π : O → M이 있다. M의 모든 지점은 π아래에 정확하게 2개의 프리이미지를 가지고 있는 것이 분명하다. 사실 π은 국부적 동형상일 뿐, 위에서 언급한 오픈셋 U의 사전이미지는 U의 두 개의 분리된 결합에 대한 동형상이기 때문이다.M이 방향성을 가질 수 있다면 M 자체가 이러한 오픈셋트의 하나이므로 O는 M의 두 개의 분리된 결합이다.그러나 M이 방향성을 가질 수 없다면 O는 연결되고 방향성을 가질 수 없다. 매니폴드 O를 방향 이중 커버라고 한다.

경계가 있는 다지관

M이 경계를 가진 다지관일 경우 M의 방향은 내부 방향이라고 정의된다. 그러한 방향성은 ∂M의 방향성을 유도한다. 실제로 M의 방향이 고정되어 있다고 가정해 보자. Let U → R은ⁿ₊ M의 내부로 제한되었을 때, 선택된 지향적 지도책 안에 있는 M의 경계점에 있는 차트가 되도록 한다. 이 차트를 ∂M으로 제한하는 것은 ∂M의 차트다. 그러한 차트는 ∂M에 대한 지향적인 지도책을 형성한다.

M이 매끄러울 때, ∂M의 각 지점 p에서, M에서 mM까지의 접선다발의 제한은 TmM_p ⊕ R에 대해 이형성이며, 여기서 R의 인수는 안쪽을 가리키는 정상 벡터에 의해 설명된다. T_p∂M의 방향은 T_p∂M의 기초가 내측지점 정상 벡터와 결합되었을 때 TM의_p 양방향 기준을 정의할 경우에만 양방향으로 정의된다는 조건에 의해 정의된다.

방향성 더블 커버

밀접하게 연관된 개념은 공간을 덮는 개념을 사용한다. 연결된 다지관 M take M의^∗ 경우, 쌍(x, o)의 집합에서 x는 M 지점이고 o는 x의 방향이다. 여기서 우리는 M이 부드러워서 한 지점에서 접선 공간에 대한 방향을 선택할 수 있거나 방향을 정의하기 위해 단수 호몰로학을 사용한다. 그리고 M의 모든 개방적이고 지향적인 부분 집합에 대해 우리는 해당 쌍들의 집합을 고려하고 그것을 M의^∗ 개방된 집합으로 정의한다. 이것은 M에게^∗ 토폴로지를 제공하고, x에 투영 송신(x, o)은 2대 1 커버 맵이 된다. 이 커버 공간은 방향성이 있기 때문에 방향성이 있는 이중 커버라고 불린다. M은^∗ 만약 M이 방향을 잡을 수 없는 경우에만 연결된다.

이 커버를 구성하는 또 다른 방법은 기준점에 기반을 둔 루프를 방향 유지 또는 방향 전환 루프로 나누는 것이다. 루프를 보존하는 방향은 전체 그룹 또는 지수 2인 기본 그룹의 하위 그룹을 생성한다. 후자의 경우(즉, 방향 반전 경로가 있다는 의미) 부분군은 연결된 이중 커버에 해당하며, 이 커버는 시공에 의해 방향을 잡을 수 있다. 전자의 경우 단순히 M을 2부만 복사하면 되는데, 각각 다른 방향에 해당한다.

벡터 번들 방향

prerii가 GL(n) 구조 그룹을 가지고 있는 리얼 벡터 번들은 구조 그룹을 양의 결정 인자를 가진 행렬의 $그룹$인 ${\displaystyle {}^{}}$ L${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle GL^{+}(n$로 줄일 수 있을 때 방향성이 있다고 불린다. 접선 번들의 경우, 이러한 감소는 기초 기초 다지관이 방향성을 가질 수 있는 경우 항상 가능하며, 사실 이것은 매끄러운 실제 다지관의 방향성을 정의할 수 있는 편리한 방법을 제공한다: 부드러운 다지관은 접선 다발이 방향성을 가질 수 있는 경우 방향성을 갖도록 정의된다(벡터 번들로). 오른쪽의 다지관으로서 접선 번들은 심지어 방향성이 없는 다지관 위로 항상 방향을 잡을 수 있다.

관련개념

로렌츠 기하학

로렌츠 기하학에는 공간 지향성과 시간 지향성의 두 종류가 있다. 이것들은 스페이스타임의 인과 구조에 역할을 한다.^[6] 일반 상대성 측면에서, 두 명의 오른손잡이 관측자가 동일한 스페이스타임 지점에서 출발하여 다른 지점에서 다시 만날 때마다 서로에 대해 오른손잡이 상태를 유지한다면, 스페이스타임 다지관은 우주 방향으로 향할 수 있다. 만약 시간적 여유가 시간지향적이라면, 두 관찰자는 항상 회의의 두 지점에서 시간의 방향에 동의할 것이다. 사실, 두 명의 관찰자가 두 회의 중 어느 것이 다른 회의보다 먼저 시작되었는지에 동의할 수 있는 경우에만 스페이스타임이 시간 지향적이다.^[7]

형식적으로 사이비 직교 그룹 O(p,q)는 공백 방향 문자 σ과₊ 시간 방향 문자 σ₋,

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O}(p,q)\\to \{-1,+1\}}$

그들의 제품 σ = σσ은₊₋ 방향성을 부여하는 결정 요인이다. 사이비-리만 다지관의 공간 지향성은 관련 번들의 한 섹션과 동일하다.

${\displaystyle \operatorname {O}(M)\time _{\sigma _{+}\{+}\{-1,+1\}}$

여기서 O(M)는 의사 직교 프레임의 묶음이다. 마찬가지로 시간 방향은 관련 번들의 한 섹션이다.

${\displaystyle \operatorname {O}(M)\time _{\sigma _{-}\{-}\1}{-1,+1\}}$

참고 항목

• 곡선 방향
• 방향 피복

참조

외부 링크

• 다지관 아틀라스의 다지관 방향.
• 매니폴드 아틀라스의 방향 커버.
• 다지관 아틀라스의 일반화된 동종학 이론에서 다지관의 방향.
• 오리엔테이션에 관한 수학 백과사전 기사.