재규격화

정규화 및 정규화
재규격화 재규격화 그룹 온셸 방식 최소 감산 방식
정규화 치수 정규화 파울리-빌라르 정규화 격자 정규화 제타 함수 정규화 원인 섭동 이론 아다마르 정규화 포인트 분할 정규화
v t

양자장론
파인만 도표
역사
배경 필드 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성이론 일반상대성이론 게이지 이론 양밀스 이론
대칭 양자역학에서의 대칭성 C대칭성 P대칭성 T대칭성 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 파괴 자발적 대칭 깨짐 노에테르 전하 위상 전하
도구들 이상 백그라운드 필드 방식 BRST 양자화 상관 함수 건널목 효과적인 조치 유효장론 기대치 파인만 도표 격자장론 LSZ 환원식 파티션 함수 전파자 양자화 정규화 재규격화 진공 상태 윅의 정리
방정식 디랙 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드윗 방정식 바르그만-위그너 방정식
표준 모델 양자 전기 역학 전약 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전한 이론 끈 이론 초대칭성 테크니컬러 만물의 이론 양자 중력
과학자 앤더슨 앤셀름 아티야 바르그만 베치 벨라빈 벤더 베테 비요켄 블루어 보고리유보프 브로드스키 브루트 갈색 부흐홀츠 캘런 캐스웰 콜먼 코네스 대심 디윗 디락 도플리셔 다이슨 영어 파디예프 파딘 페르미 파인만 피어즈 폭 프레드하겐 프리츠히 프뢰리히 털로 덮인 글래쇼 글림 겔판드 겔만 골드스톤 그리보프 징그러워 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 헤프 힉스 하겐 '호프트 없음' 일리오풀로스 잇지슨 이바넨코 재키우 재페 요나 라시니오 조던 조스트 케렌 카플란 카스트라 켄달 키블 클레바노프 콘체비치 쿠라에프 새끼 양 란다우 이씨 이씨 레만 르페 리파토프 낮다 뤼더즈 마이아니 마요라나 말라세나 미그달 밀스 뮐러 나이마크 남부 네베우 니시지마 오메 오펜하이머 오스터발더 파리시 파울리 폴리처 폴랴코프 포메란추크 포포브 프로카 루바코프 루엘레 살람 슈바르츠 슈윙거 시갈 세이베루 세메노프 쉬르코프 스카이르메 스토라 슈투켈베르크 수다르산 시만지크 삼키다 토모나가 튜틴 벨트만 비라소로 워드 와인버그 바이스코프 웬첼 웨스 베테리히 와일 윅 와이트먼 위그너 빌체크 윌슨 위튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 짐머만 진 쥐스틴 주버 주미노
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재규격화는 양자장 이론, 필드의 통계역학, 그리고 자기 유사 기하학적 구조의 이론의 기술 모음으로, 이러한 양의 값을 자기 상호작용의 효과를 보상하기 위해 변경함으로써 계산된 양으로 발생하는 무한을 다루는데 사용됩니다.그러나 양자장 이론의 루프 다이어그램에서 무한대가 발생하지 않더라도, 원래의 ^[1]라그랑지안에 나타나는 질량과 필드를 다시 정규화할 필요가 있다는 것을 보여줄 수 있다.

예를 들어, 전자이론은 초기 질량과 전하를 가진 전자를 가정함으로써 시작할 수 있다.양자장 이론에서, 광자, 양전자, 그리고 다른 것들과 같은 가상 입자들의 구름은 초기 전자들을 둘러싸고 상호작용합니다.주변 입자의 상호작용(예: 다른 에너지에서의 충돌)을 설명하면 전자 시스템이 처음에 가정한 것과 다른 질량과 전하를 가진 것처럼 행동한다는 것을 알 수 있다.이 예에서 재규격화는 수학적으로 전자의 초기 가정된 질량과 전하를 실험적으로 관측된 질량과 전하로 대체한다.수학과 실험은 양전자와 양성자와 같은 더 큰 입자가 훨씬 더 강한 상호작용과 더 강한 가상 입자의 구름이 존재하더라도 전자와 정확히 같은 관측된 전하를 보인다는 것을 증명합니다.

재규격화는 큰 거리 척도를 설명하는 매개 변수와 작은 거리 척도를 설명하는 매개 변수가 다를 때 이론의 매개 변수 간의 관계를 지정합니다.물리적으로, 문제에 관련된 무한대 규모의 기여가 누적되면 더 많은 무한대가 발생할 수 있다.시공간을 연속체로 설명할 때, 특정 통계적 및 양자역학적 구조는 잘 정의되지 않는다.이들을 정의하거나 모호하지 않게 하기 위해 연속체 한계는 다양한 스케일의 격자의 "시공 발판"을 조심스럽게 제거해야 한다.재규격화 절차는 특정 물리량(전자의 질량 및 전하 등)이 관찰된 값(실험적)과 동일해야 하는 요건에 기초한다.즉, 물리량의 실험치는 실용적인 응용을 낳지만, 그 경험적 성질 때문에 관측된 측정은 이론적인 기초로부터 더 깊은 유도를 필요로 하는 양자장 이론의 영역을 나타낸다.

재규격화는 섭동 이론에서 무한 적분을 이해하기 위해 양자전기역학(QED)에서 처음 개발되었습니다.처음에는 일부 원조에 의해서도 잠정적인 절차로 의심스러웠지만, 재규격화는 결국 몇몇 물리학과 수학 분야에서 중요하고 자기 정합적인 규모 물리학의 실제 메커니즘으로 받아들여졌다.

오늘날 관점은 바뀌었다. Nikolay Bogolyubov와 Kenneth Wilson의 획기적인 재규격화 그룹의 통찰력을 바탕으로, 원거리 척도는 "유효한" 설명을 통해 서로 관련되는 반면, 초점은 연속적인 척도에 걸친 물리적 수량의 변동에 맞춰져 있다.모든 척도가 폭넓게 계통적으로 연계되어 각 척도에 적합한 특정 계산기법으로 각 척도에 관련된 실제 물리학을 추출한다.Wilson은 시스템의 어떤 변수가 중요하고 어떤 변수가 중복되는지 명확히 했다.

재규격화는 새로운 규모의 미지의 물리학의 존재를 가정함으로써 무한을 제어하는 또 다른 기술인 정규화와는 다르다.

고전 물리학의 자기 상호작용

무한의 문제는 19세기와 20세기 초에 점입자의 고전 전기역학에서 처음 발생했다.

하전 입자의 질량은 정전장(전자파 질량)의 질량-에너지를 포함해야 한다.입자가 반지름_e r의 하전 구면 쉘이라고 가정합니다.현장의 질량-에너지는

${\displaystyle m_{\text{em}=\int {frac {1}{2},dV=\int _{r_{\text{e}}{\infty}{\infty}{\frac {1}{{4\pi r^2}}\frac {\f}\frac {q}\frcrc}{{4}\fi r^2}\dr}{{{{{\dr}}}}}}{{\drcrcr}}}}}}}}{{{{{\d$

이 값은 r → 0으로_e 무한이 됩니다.이는 점 입자가 무한 관성을 가지므로 가속할 수 없음을 의미합니다.덧붙여서 $m을$전자질량과 $같게{\displaystyle {}_{}}$ 하는$$r의_e 값은 고전적인 전자반경이라고 불리며 (${\displaystyle q}$ $=$ e { $display style$q$=$ e$$ }, c ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0의 restore factors 0 0 { $displaystyle$\$varepsilon$_ {$$0$\})$은 다음과 같습니다$$.

$({displaystyle r_{\text{e}}=pi \varepsilon _{0}m_{\text{e}}c^{2}}=\alpha {\frac {hbar}{m_{\text{e}}}}}) 약 2.8배 10^{-15}~{\text}}{m})$

$여기$서 α${\displaystyle 1}$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 137}$ ${$ $displaystyle \alpha \ approx$1/137$$$}$은 미세 구조 $상수$이고 ${\displaystyle (}$ / ( ${\displaystyle m_{}{}_{}}$ ) { $displaystyle$ \$hbar$/ ( $m _$ { \ text { e$}$ c )는 전자의 감소된 콤프턴 파장이다.

재규격화:구형 하전 입자의 총 유효 질량은 구형 쉘의 실제 맨 질량을 포함한다(위의 전기장과 관련된 질량에 더함).셸의 최소 질량이 음수인 경우 일관된 점 ^{[citation needed]}한계를 취할 수 있습니다.이것은 재규격화라고 불렸고 로렌츠와 아브라함은 이런 방식으로 전자에 대한 고전적인 이론을 개발하려고 시도했다.이 초기 연구는 양자장 이론의 정규화와 재규격화에 대한 이후의 시도에 영감을 주었다.

(새로운 물리학이 소규모로 존재한다고 가정할 때 이 고전적인 문제에서 무한대를 제거하는 다른 방법은 정규화(물리학)를 참조하십시오.)

하전 입자의 전자기 상호작용을 계산할 때, 입자 자체의 역반응을 무시하기 쉽습니다.(회선 분석의 백EMF와 유사합니다).그러나 이러한 역반응은 하전 입자가 방사선을 방출할 때 발생하는 마찰을 설명하기 위해 필요하다.전자가 점이라고 가정하면, 역반응의 값은 자기장이 역제곱이기 때문에 질량이 분산되는 것과 같은 이유로 분산됩니다.

아브라함-로렌츠 이론은 원인이 없는 "전가속"을 가지고 있었다.때때로 힘이 가해지기 전에 전자가 움직이기 시작합니다.이것은 점 한계가 일관되지 않음을 나타냅니다.

양자장 이론에서는 하전 입자가 가상 입자-반입자 쌍에 대한 간섭으로 인해 지터베궁을 경험하고, 따라서 콤프턴 파장과 유사한 영역에서 효과적으로 전하를 제거했기 때문에, 문제는 양자장 이론보다 고전장 이론에서 더 심각했다.작은 결합에서의 양자 전기역학에서 전자기 질량은 입자의 반지름의 대수로만 분산된다.

양자 전기역학에서의 발산

1930년대에 양자 전기역학을 개발했을 때, Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan 및 Paul Dirac은 섭동 보정에서 많은 적분들이 발산된다는 것을 발견했습니다(무한의 문제 참조).

섭동 이론 수정의 분산을 설명하는 한 가지 방법은 1947-49년 한스 크래머,^[2] 한스 베테,^[3] 줄리안 슈윙거,^[4][5][6][7] 리처드 파인만,^[8][9][10] 그리고 신이치로 토모나가에 ^{[11][12][13][14][15][16][17]}의해 발견되었고,^[18] 1949년 프리먼 다이슨이 체계화하였다.분기는 가상 입자의 닫힌 루프가 있는 파인만 다이어그램과 관련된 복사 보정에 나타납니다.

가상 입자는 에너지와 운동량의 보존에 따르지만, 어떤 에너지와 운동량도 가질 수 있다. 심지어 상대론적 에너지-모멘텀 관계에 의해 그 입자의 관측 질량에 대해 허용되지 않는 것(${\displaystyle {즉\mathrm{}}^{}}$, E${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ - p ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(\$displaystyle$ E$^{2}-p^{2}})$도 그 과정에서 입자의 제곱질량은 아니다.예를 들어 광자의 경우 0이 아닐 수 있다.)이런 입자를 오프셸이라고 한다.루프가 있는 경우 루프를 구성하는 입자의 운동량은 들어오는 입자와 나가는 입자의 에너지와 모멘타에 의해 고유하게 결정되지 않습니다.루프 내 한 입자의 에너지 변동은 입자와 발신 입자에 영향을 주지 않고 루프 내 다른 입자의 에너지 변동과 동등하고 반대되는 변화에 의해 균형을 잡을 수 있다.따라서 많은 변형이 가능합니다.따라서 루프 프로세스의 진폭을 구하려면 루프 주위를 이동할 수 있는 에너지와 운동량의 모든 가능한 조합에 통합해야 합니다.

이러한 적분들은 종종 발산됩니다. 즉, 무한한 답을 제시합니다.유의한 분기는 "자외선"이다.자외선의 확산은 다음에서 오는 것으로 묘사될 수 있다.

• 루프의 모든 입자가 큰 에너지와 모멘타를 갖는 적분 영역
• 필드의 매우 짧은 파장 및 고주파 변동, 필드의 경로 적분,
• 루프가 입자 경로 상의 합으로 간주될 경우 입자 방출과 흡수 사이의 적절한 시간이 매우 짧습니다.

이러한 차이는 단거리, 단시간 현상입니다.

오른쪽 여백의 그림에서 볼 수 있듯이 양자 ^[19]전기역학에는 정확히 세 개의 루프 발산 루프 다이어그램이 있습니다.

(a) 광자는 가상의 전자-양전자 쌍을 만들어 전멸시킨다.이것은 진공 편광도입니다.

(b) 전자는 자기 에너지라고 불리는 가상의 광자를 빠르게 방출하고 재흡수한다.

(c)전자가 광자를 방출하고, 제2의 광자를 방출하고, 제1의 광자를 재흡수한다.이 프로세스는 그림 2의 아래 섹션에 나타나 있으며 정점 재규격화라고 불립니다.이에 대한 파인만 도표는 펭귄을 약간 닮은 모양 때문에 "펭귄 도표"라고도 불린다.

세 가지 분기는 고려 중인 이론의 세 가지 매개변수에 해당합니다.

1. 필드 정규화 Z.
2. 전자의 질량입니다.
3. 전자의 전하.

적외선 발산이라고 불리는 두 번째 종류의 발산은 광자와 같은 질량이 없는 입자 때문입니다.하전입자를 포함한 모든 과정은 무한대의 파장의 간섭성 광자를 방출하며, 한정된 수의 광자를 방출하는 진폭은 0이다.광자의 경우 이러한 분산을 잘 이해할 수 있습니다.예를 들어 1-루프 순서로 정점 함수는 자외선 및 적외선 분산을 모두 가진다.자외선 발산과는 대조적으로, 적외선 발산에는 관련된 이론에서 매개변수의 정규화가 필요하지 않습니다.정점 다이어그램의 적외선 확산은 다음과 같은 중요한 차이와 함께 정점 다이어그램과 유사한 다이어그램을 포함시킴으로써 제거된다: 전자의 두 다리를 연결하는 광자는 파장이 무한대인 두 개의 온셸(즉, 실제) 광자에 의해 절단되고 대체된다. 이 다이어그램은 bremsstrong process와 동등하다.s. 이 추가 다이어그램은 정점 다이어그램과 같이 루프를 통과하는 제로 에너지 광자와 bremsstrahlung을 통해 방출되는 제로 에너지 광자를 구분할 수 있는 물리적 방법이 없기 때문에 포함되어야 한다.수학적 관점에서 IR 분산을 정규화할 수 있는 방법은 다음과 같다.

$\displaystyle \left(p^{2}-a^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

p = a에서는 잘 정의되지만 UV는 발산됩니다.-a에² 대한 322-분수 도함수, IR 발산을 구한다.

$({displaystyle {1}{p^{2}-a^{2}}})$

적외선 분기를 자외선 ^{[clarification needed]}분기로 바꿔서 치료할 수 있습니다.

루프의 발산

그림 2의 다이어그램은 QED에서 전자-전자 산란에 대한 몇 가지 단일 루프 기여 중 하나를 보여준다.그림의 왼쪽에 있는 전자는 실선으로 나타나며, 4모멘텀^μ p로 시작해서 4모멘텀^μ r로 끝납니다.R - p를^μ 운반하는^μ 가상 광자를 방출하여 에너지와 운동량을 다른 전자로 전달한다.그러나 이 그림에서는 그 전에 4모멘텀q를^μ 운반하는 다른 가상광자를 방출하고 다른 가상광자를 방출한 후 이를 재흡수한다.에너지와 운동량 보존은 4모멘텀q를^μ 고유하게 결정하지 않기 때문에 모든 가능성이 동등하게 기여하므로 통합해야 합니다.

이 다이어그램의 진폭은 무엇보다도 루프의 인자로 끝납니다.

${\displaystyle -ie^{3}\int {frac {d^{4}q}{{\mu}{\frac {i(\frac ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^2}-m^{2}+rclon } ^{\frac } }}$

이 식에서 다양한 δ^μ 인자는 디락 방정식의 공변 공식에서와 같이 감마 행렬입니다. 그것들은 전자의 스핀과 관련이 있습니다.e의 계수는 전기 결합 상수이며, i$(\displaystyle$ i$\epsilon)$는 모멘타 공간에서의 극 주변 적분 등고선에 대한 휴리스틱한 정의를 제공한다.우리의 목적을 위해 중요한 부분은 2개의 전자 라인과 루프의 광자 라인의 전파기로부터 나오는 적분자의 세 가지 큰 요인 중 q에^μ 대한 의존성이다.

이것은 q의^μ 큰 값에서 우세한 두 가지 q의 힘을^μ 가진 조각을 가지고 있다(Pokorski 1987, 페이지 122).

$\displaystyle e^{3}\mu ^{\alpha }\display ^{\rho}\display ^{\rho}\display ^{\mu}\int {frac {d^4}q}{(2\pi)}{\frac {q_{\alpha }{\rho}{{2-} } } }}$

우리가 어떤 식으로든 유한한 에너지와 운동량을 차단하지 않는 한 이 적분은 발산되고 무한합니다.

유사한 루프 분기는 다른 양자장 이론에서도 발생합니다.

정규화 및 최소 수량 및 최소 수량

해결책은 전자의 전하와 질량, 그리고 양자장 자체의 정규화와 같은 것들을 나타내는 이론의 공식에 처음에 나타나는 양이 실제로 실험실에서 측정된 물리 상수와 일치하지 않는다는 것을 깨닫는 것이었다.기술한 바와 같이, 그것들은 물리 상수 자체에 대한 가상 입자 루프 효과의 기여도를 고려하지 않은 최소한의 양이었다.무엇보다도, 이러한 효과들은 전자기학의 고전 이론가들을 매우 짜증나게 했던 전자기 역반응의 양자역작용을 포함할 것이다.일반적으로 이러한 효과는 애초에 고려 중인 진폭만큼 분산되므로 일반적으로 유한하게 측정된 양은 발산된 최소 양을 의미합니다.

현실과 접촉하기 위해서는 공식은 측정 가능하고 정규화된 양으로 다시 쓰여져야 합니다.예를 들어, 전자의 전하는 특정한 운동학적 재규격화 지점 또는 감산 지점에서 측정된 양으로 정의될 것이다.라그랑지안의 남은 부분들, 극소량의 나머지 부분들을 포함하는 부분들은 다른 도표들에 대한 골치 아픈 분기를 정확히 상쇄하는 다른 도표들과 함께, 카운터텀으로 재해석될 수 있다.

QED에서의 재규격화

예를 들어 QED의 Lagrangian에서는

${\displaystyle {L}={psi}}_{B}\left[i\gamma_{\mu}\left(\display ^{\mu}+ie_{})B}A_{B}^{\mu}\right)-m_{B}\psi_{B}-{\frac {1}{4}F_{B}{\mu\nu}F_{B}{\mu\nu}}}$

필드 및 결합 상수는 실제로 최소 수량이므로 위의 첨자 B가 됩니다.통상적으로 최소 수량은 대응하는 라그랑주 항이 정규화된 항의 배수가 되도록 작성된다.

$\displaystyle \left bar \psi }mpsi \right_{B}=Z_{0}{\bar {psi }}m\psi }$

$\displaystyle \left bar \psi }\left(\displaystyle ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi\right)_{B}=Z_{1}{\bar {psi }}\left(\left ^{\mu }+ie)A^{\mu }\right)\psi }$

$\displaystyle \left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{3},F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

Ward-Takahashi 항을 통해 게이지 불변성은 공변 미분 조각의 두 항을 정규화할 수 있음을 암시하는 것으로 밝혀졌다.

$(\displaystyle\bar\psi}}(부분 +iA)\psi}$

(Pokorski 1987, 페이지 115), 이것이 Z에게 일어난₂ 일입니다. Z와₁ 동일합니다.

이 라그랑지안의 용어, 예를 들어 그림 1에 표시된 전자-광자 상호작용은 다음과 같이 기술할 수 있다.

${\displaystyle\mathcal {L}}_{I)=-e{\bar {\psi }\mu }A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\mu }A^{\mu }\psi }$

전자의 전하인 물리적 상수 e는 특정한 실험의 관점에서 정의될 수 있습니다: 우리는 재규격화 스케일을 이 실험의 에너지 특성과 같게 설정하고, 첫 번째 항은 실험실에서 우리가 보는 상호작용을 제공합니다(루프 다이어그램의 작고 유한한 보정까지, 하이-o-와 같은 엑소티카를 제공합니다).자기 모멘트를 보정합니다.나머지는 대항마입니다.이 이론이 정규화할 수 있다면(자세한 내용은 아래 참조), QED에서와 같이 루프 다이어그램의 발산된 부분은 두 번째 항(또는 Z와₃ Z에서₀ 나온 유사한 대항어)에 의해 상쇄될 수 있는 대수적 형태로 모두 3개 이하의 각으로 분해될 수 있다.

그림 3과 같이 Z 카운터₁ 항의 상호작용 정점을 배치한 다이어그램은 그림 2의 루프로부터의 차이를 상쇄한다.

역사적으로, 케네스 ^[20]윌슨에 의해 "나쁜 용어"를 원래의 용어와 대항어로 분할하는 것은 재규격화 그룹의 통찰보다 먼저 이루어졌다.이러한 재규격화 그룹의 통찰에 따르면, 다음 절에서 자세히 설명하면, 문제의 모든 척도가 지속적으로 체계적인 방식으로 진입하기 때문에 이러한 분열은 부자연스럽고 실제로 비물리적입니다.

가동 중인 커플링

주어진 계산에 대한 루프 다이어그램의 기여를 최소화하기 위해(따라서 결과를 쉽게 추출할 수 있도록), 상호작용에서 교환되는 에너지와 모멘타에 가까운 정규화 점을 선택한다.그러나, 재규격화 점 자체는 물리적인 양이 아니다: 이론의 물리적 예측은 이론의 적용 영역 내에 있는 한 원칙적으로 재규격화 점의 선택과 독립되어야 한다.재규격화 스케일의 변경은 단순히 루프가 없는 파인만 다이어그램에서 나오는 결과의 양과 루프 다이어그램의 나머지 유한 부분에서 나오는 결과의 양에 영향을 미칩니다.이 사실을 이용하여 규모의 변화에 따른 물리적 상수의 효과적인 변동을 계산할 수 있습니다.이 변동은 베타 함수에 의해 부호화되며, 이러한 종류의 스케일 의존성의 일반 이론은 재규격화 그룹으로 알려져 있습니다.

구어체로, 입자 물리학자들은 종종 상호작용의 에너지에 따라 변화하는 특정한 물리적 "상수"를 언급하지만, 사실 독립적인 양인 것은 재규격화 척도입니다.그러나 이 실행은 상호작용에 관련된 에너지의 변화 하에서 필드 이론의 행동 변화를 기술하는 편리한 수단을 제공한다.예를 들어, 양자 색역학의 결합이 큰 에너지 스케일로 작아지기 때문에, 상호작용에서 교환되는 에너지가 커짐에 따라 이론이 자유 이론처럼 행동한다. 즉, 점근 자유라고 알려진 현상이다.증가하는 에너지 척도를 선택하고 재규격화 그룹을 사용하면 간단한 파인만 다이어그램에서 이를 확인할 수 있습니다. 그렇지 않으면 예측은 동일하지만 복잡한 고차 취소로 인해 발생할 수 있습니다.

예를들면,

${\displaystyle I=\int _{0}^{a}{\frac {1}{b}{\frac {1}{z}},dz=\ln a-\ln b-\ln 0+\ln 0}$

정의되지 않았습니다.

차이를 없애려면 적분 하한을 and과_a :로_b 변경하기만 하면 됩니다.

$({displaystyle I=\ln b-\ln {varepsilon _{a}}+\ln {varepsilon _{b}}=\ln {tfrac {a}-\ln {tfrac {varepsilon _{a}}}}})$

확실히.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.m게 만든느 것이다.W-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}εb/εa → 1, ln a/b 정도씩 생겨나고 있다.

정규화

δ - δ의 양이 잘못 정의되어 있기 때문에 분산을 상쇄하는 이 개념을 정확하게 하기 위해서는 먼저 정규화라고 알려진 프로세스에서 한계 이론을 사용하여 분산을 수학적으로 길들여야 한다(Weinberg, 1995).

루프 인테그랜드 또는 레귤레이터에 대한 본질적인 임의적인 수정은 적분이 수렴되도록 높은 에너지와 모멘타에서 더 빨리 떨어지도록 만들 수 있습니다.레귤레이터에는 컷오프라고 불리는 특징적인 에너지 스케일이 있습니다.이 컷오프를 무한대로 하면(또는 대응하는 길이/시간 스케일이 0으로), 원래의 적분을 회복합니다.

조절기가 있고 컷오프에 대한 유한값이 있으면 적분 내의 발산항은 유한하지만 컷오프 의존항으로 변한다.컷오프 의존형 카운터텀의 기여로 이들 용어를 소거한 후 컷오프는 무한대로 진행되며 유한한 물리적 결과가 회복된다.측정할 수 있는 척도의 물리학이 최단 거리 및 시간 척도에서 발생하는 것과 무관하다면 계산을 위해 컷오프 독립적인 결과를 얻을 수 있을 것이다.

양자장 이론 계산에는 다양한 유형의 조절기가 사용되며, 각각 장단점이 있습니다.현대 사용에서 가장 인기 있는 것 중 하나는 Gerardus 't Hooft와 Martinus J. G.^[21] Veltman에 의해 발명된 치수 정규화입니다. 이 정규화는 적분을 가상의 소수 차원으로 이루어진 공간으로 운반함으로써 적분을 길들이게 합니다.또 다른 하나는 파울리 빌라 규칙화입니다.이것은 거대한 입자를 포함하는 루프 적분자가 큰 모멘타에서 기존의 루프를 상쇄하도록 매우 큰 질량을 가진 가상 입자를 이론에 추가합니다.

그러나 또 다른 정규화 계획은 Kenneth Wilson에 의해 도입된 격자 정규화이다. 이것은 초입방체 격자가 고정된 그리드 크기로 우리의 시공간을 구성한다고 가정한다.이 크기는 입자가 격자 위를 전파할 때 가질 수 있는 최대 운동량에 대한 자연스러운 컷오프입니다.그리고 그리드 크기가 다른 여러 개의 격자를 계산해본 결과 물리적인 결과는 그리드 크기 0으로 추정됩니다. 즉, 우리의 자연 우주입니다.이는 스케일링 한계의 존재를 전제로 합니다.

재규격화 이론에 대한 엄격한 수학적 접근은 소위 인과적 섭동 이론으로, 여기서 자외선의 분기는 분포 이론의 틀 안에서만 잘 정의된 수학적 연산을 수행함으로써 계산에서 처음부터 회피됩니다.이 접근법에서 분기는 모호성으로 대체된다.분산도에 대응하는 용어는 현재 유한하지만 결정되지 않은 계수를 갖는 용어이다.그런 다음 게이지 대칭과 같은 다른 원리를 사용하여 모호성을 줄이거나 제거해야 합니다.

제타 함수 정규화

Julian Schwinger는 점근적 관계를 사용하여 제타 함수 정규화와 재규격화 사이의 관계를^{[citation needed]} 발견했습니다.

$\displaystyle I(n,\Lambda)=\int _{0}^{\Lambda }dp,p^{n}\sim 1+2^{n}+3^{n}+\cdots +\Lambda ^{n}\to \zeta(-n)}$

조절기 λ → ∞. 이를 바탕으로 (-n)의 값을 사용하여 유한한 결과를 얻는 것을 고려하였다.그는 일관성 없는 결과에 도달했지만, Hartle, J. Garcia에 의해 연구되고 E에 의해 연구된 개선된 공식입니다. Elizalde는 제타 정규화 알고리즘의 기술을 포함한다.

${\displaystyle I(n,\Lambda)=paramfrac {n}{2}}I(n-1,\Lambda)+\zeta(-n)-\sum _{r=1}^{\infty}{\frac {B_{2r}{(2r)}!}}a_{n,r}(n-2r+1)I(n-2r,\Lambda),}$

여기서 B는 베르누이 수이고

${\displaystyle a_{n,r}=snfrac {Gamma (n+1)}{\감마(n-2r+2)}}.}$

따라서 모든 I(m, λ)는 ((-1), ((-3), ((-5), ..., ((-m)의 선형 조합으로 쓸 수 있습니다.

또는 단순히 모든 발산 적분에 대해 우리가 가진 아벨-플라나 공식을 사용하면:

$\displaystyle \zeta(-m,\displaystyle)-{\frac {{0}^{\infty}}dtfrac {(it+\display)^{m}-(-it+\display)^{m}-1}=\int_0}^{\infty}{\frac}p}{{\dp}p}p}{{\dp}{{{{{\f}}}}}}}}}}}{{\f}}}\f}}}}}p}p}p}{$

m > 0일 때 유효하며, 여기서 제타 함수는 후르비츠 제타 함수이고, 베타는 양의 실수이다.

"기하학" 유추는 적분을 평가하기 위해 (사각형 방법을 사용하는 경우)에 의해 제시된다.

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }개요, \sum _{n=0}^{\infty }h^{m+1}\zeta \left(\display h^{-1}-m\right)$

Hurwitz zeta 정규화와 스텝 h의 직사각형 방법을 사용한다(플랑크 상수와 혼동하지 말 것).

로그 발산 적분은 다음과 같은 정규화를 갖는다.

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{n+a}=-\psi(a)+\log(a)}$

고조파 계열${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}\frac{\mathrm{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{}}$+$$ {\$displaystyle$\$sum$ _${n=0}^{\infty}{\frac {1}{$$an$$+1}}$의 경우 $제한{\displaystyle }$ a$$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\mathrm{}}$ 1${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}${$display$ $style$ \$sum$ _ 0$}$ $=$0 = 0 ^{\displaystyle } } = 0 = 0 } ^{n} } } ^{\tyledisplay style } } } } } } } ^{

${\displaystyle {}_{}}$ $변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 1,$,,$ k ${\displaystyle n_{}}$(\$displaystyle k_{1},\cdots,k_{n})$에 의존하는 다중 루프 적분의 경우 변수를 극좌표로 변경한 다음 각도$(\displaystyle \int$ d$\Omega$})의$$ 적분을 합으로 치환하여 모듈에만 의존할 수 있습니다.$us{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ + ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ { \ $display style$ $r^$ { } =$k$_ { $1$$$}^{$2$$}$ + \ $cdots$$+$ k$_$$${ $n$$}^$$2}$${\displaystyle {then}_{}}$ $then{\displaystyle }$ then then then the the the the the the the the the the the us us us us us us us us us us us us us us us us us us ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $F$ ( ${\displaystyle 、}$ 1 、 、 、${\displaystyle }$、 、${\displaystyle }$, , ,⋯ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , us us us $us$ us us us따라서 UV 중첩 분기는 변수 r로 부호화됩니다.이러한 적분을 정규화하기 위해서는 조절기가 필요하며, 멀티 루프 적분의 경우 이러한 조절기는 다음과 같이 간주될 수 있습니다.

${\displaystyle \left(1+{\displayrt {q}}_{i}q^{i}\오른쪽)^{-s}$

그래서 다중 루프 적분은 제타 정규화를 사용하여 충분히 큰 s에 대해 수렴할 것입니다. 우리는 변수 s를 s = 0인 물리적 한계까지 계속 해석할 수 있습니다. 그리고 나서 발산 적분을 리만의 음의 값으로 정규화할 수 있는 발산 계열의 선형 조합으로 대체함으로써 모든 UV 적분을 정규화할 수 있습니다.제타 함수 '''m'')

태도와 해석

QED와 다른 양자장 이론의 초기 공식자들은 대체로 이러한 상황에 불만족스러웠다.유한한 답을 얻기 위해 무한에서 무한을 빼는 것과 같은 일을 하는 것은 불법처럼 보였다.

Freeman Dyson은 이러한 무한은 기본적인 성격이며 정규화 방법과 같은 ^[22][23]어떤 형식적인 수학적 절차로도 제거될 수 없다고 주장했다.

디락의 비판은 가장 ^[24]끈질겼다.1975년까지 그는 이렇게 말했다.^[25]

대부분의 물리학자들은 그 상황에 매우 만족한다.그들은 말한다: '양자 전기역학은 좋은 이론이며 우리는 더 이상 그것에 대해 걱정할 필요가 없다.'이 소위 '좋은 이론'이라는 것은 방정식에 나타나는 무한을 제멋대로 무시하고 무시하는 것이기 때문에 나는 그 상황에 매우 불만족스럽다고 말해야 한다.이것은 단지 합리적인 수학이 아니다.합리적인 수학은 양이 적을 때 무시하는 것을 포함한다 – 단지 양이 무한히 크고 원하지 않는다고 해서 무시하지 않는다!

또 다른 중요한 비평가는 파인만이었다.양자전기역학 발전에 중요한 역할을 했음에도 불구하고,^[26] 그는 1985년에 다음과 같이 썼다.

우리가 하는 셸게임은 기술적으로 '재규격화'라고 불린다.하지만 아무리 영리한 단어라도, 그건 여전히 내가 말하는 dippy process야!그러한 임시변통론에 의존해야 하는 것은 양자 전기역학 이론이 수학적으로 자기 정합성이 있다는 것을 증명하는 것을 방해했다.그 이론이 지금까지 어떤 식으로든 자기 정합성이 입증되지 않았다는 것이 놀랍다; 나는 재규격화가 수학적으로 타당하지 않다고 의심한다.

파인만은 1960년대에 알려진 모든 장 이론들이 충분히 짧은 거리 척도로 상호작용이 무한히 강해진다는 특성을 가지고 있다고 우려했다.란다우 극이라고 불리는 이 성질은 양자장 이론이 모두 모순된다는 것을 그럴듯하게 만들었다.1974년 그로스, 폴리티저, 윌체크는 또 다른 양자장 이론인 양자색역학이 란다우 극을 가지고 있지 않다는 것을 보여주었다.파인만은 다른 대부분의 사람들과 마찬가지로 QCD가 완전히 일관된 ^{[citation needed]}이론이라는 것을 받아들였다.

1970년대와 1980년대까지 텍스트에서 일반적인 불안감은 거의 보편적이었다.그러나 1970년대에 들어서면서, 재규격화 그룹과 효과적인 필드 이론에 대한 연구에서 영감을 받았고, 디락과 다른 다양한 사람들이 (모두 기성 세대에 속함) 비판을 철회하지 않았음에도 불구하고, 특히 젊은 이론가들 사이에서 태도가 바뀌기 시작했다.Kenneth G. Wilson과 다른 사람들은 재규격화 그룹이 응집 물질 물리학에 적용되는 통계 장 이론에서 유용하다는 것을 증명했습니다. 여기서 그것은 위상 전이의 행동에 대한 중요한 통찰력을 제공합니다.응집물질 물리학에는 물리적인 단거리 조절기가 존재한다. 즉, 물질은 원자의 규모로 연속되는 것을 멈춘다.응집 물질 물리학에서의 단거리 분기는 철학적인 문제를 일으키지 않습니다. 왜냐하면 장 이론은 어쨌든 물질의 행동을 효과적이고 평활하게 표현하기 때문입니다; 컷오프(cutoff)는 항상 유한하기 때문에 무한하지 않으며, 최소 양이 컷오프에 의존한다는 것은 완전히 이치에 맞기 때문입니다.

만약 QFT가 플랑크 길이(끈 이론, 인과 집합 이론 또는 다른 무언가에 굴복할 수 있는 곳)를 끝까지 유지한다면, 입자 물리학에서의 단거리 발산에도 실질적인 문제가 없을 것이다; 모든 필드 이론은 단순히 효과적인 필드 이론일 수 있다.어떤 의미에서, 이 접근법은 QFT의 분기가 자연의 작용에 대한 인간의 무지를 언급하는 오래된 태도를 반영하지만, 또한 이러한 무지가 수량화될 수 있고 결과적으로 효과적인 이론이 여전히 유용하다는 것을 인정한다.

어쨌든 살람의 1972년 발언은^[27] 여전히 관련이 있는 것 같다.

로렌츠의 전자 자기질량 계산에서 처음 접한 전계이론적 무한은 고전 전기역학에서 70년 동안, 양자 전기역학에서 약 35년 동안 지속되어 왔습니다.이 오랜 좌절은 무한에 대한 호기심 어린 애정과 그것들이 자연의 불가피한 부분이라는 열정적인 믿음을 이 주제에 남겼다; 그래서 그들은 결국 회피될 수 있다는 희망의 제안조차 - 그리고 계산된 재규격화 상수에 대한 유한한 가치 - 이성으로 여겨질 정도로.러셀의 추신을 그의 자서전 The Final Years, 1944-1969(조지 앨런과 언윈, Ltd, 런던 1969),^[28] 페이지 221과 비교:

현대 사회에서, 공동체가 불행하다면, 그것은 종종 그들이 행복이나 심지어 삶보다 더 소중한 무지함, 습관, 신념, 열정을 가지고 있기 때문이다.불행과 죽음을 사랑하는 것처럼 보이는 위험한 나이의 많은 남성들이 그들에게 희망이 제시될 때 분노하는 것을 발견한다.그들은 희망이 비이성적이라고 생각하고 게으른 절망에 앉아서 그저 사실을 마주하고 있을 뿐이라고 생각한다.

QFT에서는 일반적으로 물리 상수의 값은 재규격화 포인트로 선택하는 척도에 따라 달라지며, 에너지 척도의 변화 하에서 실행되는 물리 상수의 재규격화 그룹을 조사하는 것이 매우 흥미로워집니다.입자물리학의 표준모형의 결합상수는 에너지 규모의 증가에 따라 다양한 방식으로 변화한다. 즉, 양자 색역학의 결합과 약전력의 약한 아이소스핀 결합은 감소하는 경향이 있고, 약전력의 약한 하이퍼하 결합은 증가하는 경향이 있다.10GeV라는 거대한¹⁵ 에너지 규모(현재 입자 가속기의 범위를 훨씬 벗어남)에서, 그것들은 모두 거의 같은 크기가 된다(Grotz와 Klapdor 1990, 페이지 254). 이는 대통합 이론에 대한 추측의 주요 동기가 된다.단지 걱정스러운 문제일 뿐 아니라, 재규격화는 다른 정권에서 필드 이론의 행동을 연구하는 중요한 이론적 도구가 되었다.

만약 재규격화(예: QED)를 특징으로 하는 이론이 효과적인 필드 이론, 즉 자연의 작용에 대한 인간의 무지를 반영하는 근사치로만 해석될 수 있다면, 문제는 이러한 재규격화 문제가 없는 더 정확한 이론을 발견하는 것이다.루이스 라이더가 말했듯이양자이론에서는 이런 고전적인 차이는 사라지지 않고 오히려 더 악화되는 것처럼 보입니다.그리고 재규격화 이론의 비교적인 성공에도 불구하고 ^[29]더 만족스러운 방법이 있어야 한다는 생각은 여전합니다."

재규격화 가능성

이러한 철학적 재평가로부터 자연스럽게 새로운 개념인 재규격화의 개념이 뒤따른다.모든 이론이 위에서 설명한 방식으로 재규격화에 적합한 것은 아니며, 카운터텀의 유한한 공급과 계산의 마지막에 모든 양이 컷오프에 의존하지 않는다.만약 라그랑지안이 에너지 단위에서 충분히 높은 차원의 필드 연산자의 조합을 포함한다면, 모든 분산을 취소하는 데 필요한 역어는 무한히 퍼지고, 언뜻 보면 이론이 무한한 수의 자유 매개변수를 얻고 따라서 모든 예측력을 잃는 것처럼 보일 것이고, 따라서 과학적으로 가치가 있다.s. 이러한 이론을 비규격화 이론이라고 합니다.

입자물리학의 표준모형은 오직 재규격화 연산자만을 포함하지만, 일반상대성 이론의 상호작용은 가장 간단한 방법으로 양자 중력의 장 이론을 구성하려고 시도하면 비규격화 연산자가 된다.힐버트 라그랑지안)은 민코프스키 측정법에 대한 섭동으로서 섭동 이론이 양자 중력에 적용하는데 있어 만족스럽지 못함을 시사한다.

그러나 효과적인 필드 이론에서 "재규격화 가능성"은 엄밀히 말하면 잘못된 명칭이다.비정규화 유효장 이론에서, 라그랑지안의 항은 무한대로 증식하지만, 에너지 차단의 더욱 극단적인 역제곱에 의해 계수가 억제된다.컷오프(cutoff)가 실제 물리량이라면, 즉 이론이 최대 에너지 또는 최소 거리 척도까지의 물리학의 효과적인 설명일 경우, 이러한 추가 항은 실제 물리적 상호작용을 나타낼 수 있다.이론의 무차원 상수가 너무 커지지 않는다고 가정하면 컷오프 역수로 계산을 그룹화하고 아직 유한한 수의 자유 파라미터를 갖는 컷오프 내 유한 순서로 근사 예측을 추출할 수 있다.이러한 "정규화할 수 없는" 상호작용을 다시 정규화하는 것도 유용할 수 있습니다.

유효장 이론에서 정규화할 수 없는 상호작용은 에너지 규모가 컷오프보다 훨씬 작아짐에 따라 급속히 약해진다.전형적인 예는 약한 핵력에 대한 페르미 이론이다. 이것은 W 입자의 질량에 필적하는 절단 가능한 비표준화 유효 이론이다.이 사실은 우리가 보는 거의 모든 입자 상호작용이 정상화 가능한 이론에 의해 설명될 수 있는 이유에 대한 가능한 설명을 제공할 수도 있다.GUT나 플랑크 척도로 존재할 수 있는 다른 것들은 우리가 관찰할 수 있는 영역에서 발견하기에는 너무 약해질 수 있습니다. 단, 한 가지 예외는, 엄청나게 ^{[citation needed]}약한 상호작용이 엄청난 별과 행성의 존재에 의해 확대되는 중력입니다.

재규격화^{[clarification needed]} 스킴

실제 계산에서 나무 수준을 초과하는 파인만 다이어그램 계산의 분산을 취소하기 위해 도입된 대항어는 일련의 정규화 조건을 사용하여 수정해야 한다.일반적인 재규격화 방식은 다음과 같습니다.

• 최소 감산(MS) 방식 및 관련 수정 최소 감산(MS-bar) 방식
• 온셸 방식

게다가 이중 자유 보손의 전파자로서 (광자 전파기와 결합된) 재규격화 커플링의 "자연적" 정의가 존재하며, 이는 명시적으로 반대 용어를 도입할 필요가 없다.^[30]

통계물리학의 재규격화

역사

기존의 정규화 가능한 이론의 확장 그룹을 넘어서는, 물리적인 의미에 대한 보다 깊은 이해와 정규화 과정의 일반화는 응집 물질 물리학에서 비롯되었다.1966년 Leo P. Kadanoff의 논문은 "블록 스핀" 재규격화 ^[31]그룹을 제안했다.블로킹 아이디어는 먼 거리에 있는 이론의 구성요소를 더 짧은 거리에 있는 구성요소의 집합체로 정의하는 방법입니다.

이 접근법은 개념 포인트를 다루었고 케네스 윌슨의 광범위한 중요한 공헌에 완전한 계산적^[20] 실체가 주어졌다.윌슨 사상의 힘은 1974년 콘도 문제라는 오랜 문제의 건설적인 반복적인 정규화 해결책과 1971년 2차 위상 전이 이론과 임계 현상 이론에서 그의 새로운 방법의 선행적인 개발에 의해 입증되었다.그는 1982년에 이러한 결정적인 공헌으로 노벨상을 받았다.

원칙

좀 더 기술적인 용어로${\displaystyle }$말하면 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {변수}_{}}$ {si$}$의$$특정 함수$$$$$Z$({$displaystyle$$\{s_{$i$$}\})와${\displaystyle }$특정 결합 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {세트}_{}}${J$k}({displaystyle\{J_{$k$\}\backslash \})$에 의해 설명되는 이론이 있다고 가정합니다.이 함수는 파티션 함수, 동작, 해밀턴 등이 될 수 있습니다.이 문서에는 시스템의 물리학에 대한 전체 설명이 포함되어야 합니다.

이제${\displaystyle }$상태 ${\displaystyle {}_{}}$ {$s$ i${\displaystyle {}_{}}$}${\displaystyle \to {\stackrel{}{}}_{}}${ s ~$i }$ { $displaystyle$ \ {$s _$s _ { i } \ } \ \ { \$$$tilde$$${$$${\displaystyle s_{}}$ $}$$_$$${$$i$$ $}$$$${\displaystyle {\stackrel{}{\backslash }}_{}}$ \ transform transform of transform transform of of$$ of of of of of of of of of ofationationationation $ationationationationationationationationationationationation$ ationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationation$isplaystyle$Z는$$ s${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~$(\$에서만 기능합니다.파라미터의 특정 변경에 의해 이것이 가능한 경우${\displaystyle }${${\displaystyle J_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \to }$ {${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ $}$ {$displaystyle$\{$J_{k}\}\tilde {J}_{k$$to$\ren {\}}이론은 다음과 같습니다.

시스템의 가능한 거시적 상태는 대규모로 이 고정점 세트에 의해 제공됩니다.

정규화 그룹 고정점 재지정

RG 흐름에서 가장 중요한 정보는 고정점입니다.흐름과 관련된 베타 함수의 소멸에 의해 고정점이 정의된다.그런 다음, 재규격화 그룹의 고정점은 정의 척도에 따라 불변합니다.많은 물리적 관심 척도 불변성은 적합 불변성으로 확대됩니다.그리고 하나는 고정점에 등각장 이론을 가지고 있다.

여러 이론이 같은 고정점으로 흐를 수 있는 능력은 보편성으로 이어진다.

이러한 고정점이 자유장 이론과 일치하면, 그 이론은 양자 사소함을 나타낸다고 한다.격자 힉스 이론의 연구에는 수많은 고정점이 나타나지만, 이것들과 관련된 양자장 이론의 본질은 여전히 미해결의 ^[32]문제로 남아 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 양자장 이론의 역사
• 양자소용성
• 제노의 역설

레퍼런스

추가 정보

개요

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외부 링크

• Wiki 인용문에서의 정규화 재개에 관한 인용문