세타 진공

양자장론에서, 세타 진공은 진공각 θ에 의해 특정된 비벨리안 양-밀스 이론의 반고전적 진공상태로, 그 상태가 무한 집합적으로 구별되는 진공상태의 중첩으로 기록될 때 발생한다.진공의 동적 효과는 양자 색역학에서 강력한 CP 문제로 알려진 미세 조정 문제로 이어지는 δ 항의 존재를 통해 라그랑지안 형식주의에서 포착됩니다.커티스 캘런, 로저 대셴, 데이비드 ^[1]그로스가 발견했고 로만 재키우와 클라우디오 ^[2]렙비가 독립적으로 발견했다.

양-밀스 진공

위상공

비벨리안 양-밀스 이론의 반고정 진공 구조는 시간 $A_{0}=0$ A $A_{0}=0$ $=$ 0 (\style $A_{0$ }= $0$ 과 같은 일부 고정 게이지에서 유클리드 시공간에서 종종 조사된다. 이 이론의 고전적인 지상 상태는 순수한 게이지 $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ Ω에 해당하는 소실 전계 강도 텐서를 가진다. $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ i $ω$ - $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ { $display$ A _ { $i$ } = i \ $Omega$ \ $la _$ { $i$ } \ Omega $\Omega (x)$ $^$ { $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ - $1$ } $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$ 여기서 시공간 $\Omega (x)$ ( $\Omega (x)$ x )의 각 지점에는 유한한 $동작$ $\Omega (x)$ $\Omega (x)$ $display$ $\Omega (x)$ \ $Omega$ $G$ ( $\Omega (x)$ x )에 $\Omega (x)$ 속하는 게이지 변환이 있습니다.ixed 값 $∞$ { $style$ \ $Omega$ _ { \ $infty$ } $|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty$ $|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty$ { $display$ \ style \ bold $symbol$ { $\mathbb {R} ^{3}$ $x} \ rightarrow$ \ $infty$ $\mathbb {R} ^{3}$ $|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty$ 。공간적 무한대의 모든 점이 단일 새 점으로 $\mathbb {R} ^{3}$ 하므로 $\mathbb {R} ^{3}$ 매니폴드 $\mathbb {R} ^{3}$ R 3 \ $displaystyle$ \ $mathbbbbb$ { R $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ = $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ $}$ $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ $R$ 로 동작합니다 $\mathbb {R} ^{3}$ . $aystyle$ S $^{3$ }=\ $mathbb {R}$ ^{ $3}\cup \{\infty$ \}} 게이지 $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ 필드의 모든 순수 게이지 선택이 매핑 $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ ( $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ : $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ ${\displaystyle$ \Omega ( $x):$ $S^{3}\오른쪽 화살표$ G $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ ^[3]

매끄러운 게이지 변환을 통해 모든 접지 상태 구성을 다른 모든 접지 상태 구성으로 원활하게 변환할 수 있는 경우 이론에는 단일 진공 상태가 있지만 위상적으로 다른 구성이 있는 경우에는 다중 진공 상태가 있습니다.이는 부드럽게 연결되지 않은 두 가지 구성이 있는 경우 한 구성을 다른 구성으로 변환하려면 0이 아닌 에너지를 갖는 소실되지 않는 전계 강도 텐서를 사용하는 구성을 통과해야 하기 때문입니다.이것은 두 개의 진공 사이에 에너지 장벽이 있어 그들을 구별하게 한다는 것을 의미합니다.

두 게이지 구성이 서로 부드럽게 변형될 수 있는지에 대한 문제는 매핑 $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ 의 호모토피 그룹에 의해 공식적으로 기술됩니다. $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ 3 $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ \ $displaystyle \Omega(x):$ $S^{3}\오른쪽 화살표$ G $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ 예: 게이지 $G={\text{SU}}(2)$ G $G={\text{SU}}(2)$ ( $G={\text{SU}}(2)$ ) \ $displaystyle$ G = $text{$ $SU}}$ (2)는 $G={\text{SU}}(2)$ $G={\text{SU}}(2)$ 매핑이 $\Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}$ ( $\Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}$ : $\Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}$ 3 $S^{3}$ $\Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}$ $\Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}$ (x)이 되도록 $S^{3}$ 3 {\ $displaystyle$ $\Omega (x)$ 의 $S^{3}$ $S^{3}$ 매니폴드를 가진다. $S^{3}\rightarrow$ S $^{3$ $\pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z}$ 3 ( $\pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z}$ $\pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z}$ ) $\pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z}$ \ $displaystyle \pi$ _ ${3$ } $({\text{})$ 의 호모토피 그룹을 가진다. $SU}}(2)=\mathbb$ {Z $\pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z}$ 이는 모든 매핑에 음의 권선이 발생하는 그룹 $S^{3}$ 에 $S^{3}$ $S^{3}$ $(\$ 3 $S^{3}$ 가 $S^{3}$ 매핑되는 횟수를 대략적으로 설명하는 권선 번호(Pontryagin 지수라고도 함)라고 하는 정수가 관련되어 있음을 의미합니다.뒤집힌 방향으로.같은 권수의 매핑만이 서로 부드럽게 변형할 수 있어 같은 호모토피 클래스에 속한다고 한다.권선수를 보존하는 게이지 변환을 소형 게이지 변환이라고 하며, 권선수를 변경하는 것을 대형 ^[4]게이지 변환이라고 합니다.

다른 비벨 게이지 $그룹$ G $(\displaystyle$ G $)$ 의 $G$ 경우 ${\text{SU}}(2)$ 하나에 초점을 맞추면 됩니다(2).\ $displaystyle(\text)$ $SU}}(2)$ 서브그룹 ${\text{SU}}(2)$ , § $\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$ ( $\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$ $=$ { $displaystyle \pi$ _ ${3}(G$ )=\ $mathbb {Z$ 이는 S $S^{3}$ (\ $displaystyle$ S $^{3})$ 를 $S^{3}$ G {\ $display$ G $}$ 에 $G$ 매핑할 때마다 SU $(\$ G $)$ 에 매핑할 수 있기 때문입니다.SU $}}(2)$ $G$ 의 ${\text{SU}}(2)$ 서브그룹, 즉Botts ^[5]정리에 따른 결과입니다.이는 모든 $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ S $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ ( $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ ) $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ { $displaystyle$ S $^{3}\rightarrow {text}$ 인 아벨 게이지 그룹과 대조됩니다. $U}}$ (1)}은 $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ (는 $)$ 일정한 맵에 변형될 수 있기 때문에 단일 접속 진공 상태가 된다.게이지 필드 $A^{i}$ $(\$ A $^{i$ 의 경우 시간 게이지에 주어진 볼륨 적분으로부터 항상 와인딩 수를 계산할 수 있습니다.

n=parcfrac {ig^{3}}{24\pi ^{2}}\int d^{3}r\{text{Tr}}(\epsilon_{ijk})A^{i}A^{j}A^{k}),

$g$ 서 g $\displaystyle$ g는 $g$ 커플링 상수입니다.권선번호 n $|n\rangle$ { $displaystyle$ n \ $rangle }$ 이 $|n\rangle$ 다른 진공상태를 위상공이라고 합니다.

세타바쿠아

위상공포는 큰 게이지 변환의 고유 상태가 아니기 때문에 게이지 불변성이 아니기 때문에 Yang-Mills 이론의 후보 진공 상태가 아니다. $대신$ 큰 게이지 변환 $\Omega _{m}|n\rangle =|n+m\rangle$ $|n\rangle$ m $\Omega _{m}$ { $displaystyle$ m} { $\Omega _{m}|n\rangle =|n+m\rangle$ $\Omega$ _ ${m$ {displaystyle $|n\rangle$ m $}$ { $displaystyle$ m $}$ $=$ + $m$ ⟩ { $displaystyle \Omega$ _ ${m$ true . $mangle$ 에 매핑됩니다 $.$ 소형 및 대형 게이지 변환의 고유 상태여야 합니다.블로흐의 정리에 따라 고유 상태가 주기적 전위를 취하는 형태와 유사하게, 진공 상태는 위상 공기의 일관된 합이다.

\theta \rangle =\sum _{n}e^{in\theta }n\rangle .

$이$ 상태 $\theta \in [0,2\pi )$ 는 각도 변수 $\theta \in [0,2\pi )$ [ $\theta \in [0,2\pi )$ , 2 $]{ displaystyle \theta \in$ [ 0 , 2 \ pi $\theta \in [0,2\pi )$ } }에 $\theta \in [0,2\pi )$ 의해 색인화되어 「-vacua 」라고 불립니다. $\Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle$ m $\Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle$ $=$ $\Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle$ - $\Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle$ $\Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle$ m $display$ { $displaystyle$ \ $Omega$ _ ${$ m } $\theta$ \ $rangle$ = e $^{$ - i \ $theta m$ } $\theta$ \rangle $\Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle$ 두 게이지 변환의 고유 상태입니다. 순수 $Yang-Mills$ 에서는 $\theta$ 각 $\theta$ 이 $\theta$ 서로 다른 접지 상태를 제공합니다({ $displaystyle \tyle$ \ta $}$ nt 물리.즉, 서로 다른 두 개의 θ-vacua 사이의 게이지 불변 연산자의 기대값이 사라지기 때문에 힐버트 공간은 슈퍼 셀렉션 섹터로 분해된다 $\langle \theta |{\mathcal {O}}|\theta '\rangle =0$ O $\langle \theta |{\mathcal {O}}|\theta '\rangle =0$ 0 \ $displaystyle$ \ $scal$ { $O$ } \ $theta$ $\langle \theta |{\mathcal {O}}|\theta '\rangle =0$ ' $\$ $rangle = 0$ $\theta \neq \theta '$ if $\langle \theta |{\mathcal {O}}|\theta '\rangle =0$ style $\theta \neq \theta '$ ′ ′ ′ ′ $\theta \neq \theta '$ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ $\theta \neq \theta '$ display in in in in $in$ in in in in in in in in in in in

Yang-Mills 이론은 Instantons라고 불리는 운동 방정식에 대해 유한한 작용 해를 보여줍니다.이들은 $\nu$ 가 $\nu$ {\ $displaystyle\nu}$ 인 $\nu$ 인스턴스온을 사용하여 서로 다른 위상공 간의 터널링을 담당하며 $|n_{-}\rangle$ n - $|n_{-}\rangle$ {\(\ $displaystyle n_{-}\rangle$ }에서 $|n_{-}\rangle$ n + $|n_{+}\rangle =|n_{-}+\nu \rangle$ n + $(\displaystyle n_+}\rangle$ = $n_nu)$ 로 터널링을 담당합니다. $|n_{+}\rangle =|n_{-}+\nu \rangle$ . $\nu =\pm 1$ $\nu =\pm 1$ ± $\nu =\pm 1$ { $displaystyle \nu$ = \ $pm$ 1 $\nu =\pm 1$ }인 $\nu =\pm 1$ 인스턴톤을 BPST 인스턴스라고 합니다.^[7]터널링이 없으면 서로 다른 δ-vacua는 퇴화되지만 인스턴스에서는 퇴화를 일으켜 다양한 δ-vacua가 물리적으로 구별됩니다.다른 vacua의 접지 상태 에너지는 E $E(\theta )\propto \cos \theta$ 「 $E(\theta )\propto \cos \theta$ 」 ) $E(\theta )\propto \cos \theta$ 「 $E(\theta )\propto \cos \theta$ $」$ 으로 분할됩니다.\ $displaystyle$ E $(\theta)\propto \cos \theta$ $E(\theta )\propto \cos \theta$ 는 비례 상수가 순간 터널링의 강도에 따라 달라집니다.

γ-진공의 복잡한 구조는 경로 적분^[8] 형식주의의 진공 천이에서 나타나기 때문에 양-밀스 이론에 대한 라그랑지안 접근법에 직접 통합될 수 있다.

\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty}\theta e^{-iHT}\theta \rangle =\int {D}Ae^{iS+i\int d^{4}x(x)\theta {L}_{\theta }}.}

$H$ 서H(\ $displaystyle$ H $)$ 는 $H$ Hamiltonian, $S$ (\ $displaystyle$ S $)$ 는 $S$ Yang-Mills 액션, $(\$ })는 $S_{\theta }$ γ-term이라는 액션에 대한 기여도를 위반하는 새로운 CP입니다.

{L}_{\theta}=\theta {frac {g^{2}}{32\pi ^{2}}{\text{\text}Tr}} [F^{\mu \nu }{\tilde {F}}_{\mu \nu }},

${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ 서 ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ F ~ μ ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ 1 ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ ν μ f ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ F ρ ρ F ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ display display display display { $displaystyle$ { \ $tilde$ { F }^{ \ $mu$ \ $nu$ \ nu } = $tfrac {1$ } { $}}$ = $silonsilon ^{\ mu$ \ $rho$ \ $rho$ \ rho $} F_$ {{\rho } F_ ${\rho$ } ${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ } } } } } F_{\ $rho$ \ rh이 용어는 L ${\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }$ ${\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }$ ${\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }$ μ \ $display$ { $mathcal$ { ${\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }$ L $}$ $}$ _ { \ $theta$ } = \ $display$ _ { \ $mu$ } ${\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }$ K^ { \ mu $}$ = \ display _ { \ mu } K^ { \ mu } ${\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }$ = \ $display$ _ { \ theta } $형식$ 으로 표기될 수 있다는 총 파생어이다. 이 중 하나는 물리학의 $K^{\mu }$ 인 K^{\ mu μ } μ } μrapthernative }에 추가될 수 $K^{\mu }$ . $ystyle$ K $^{\mu$ }}는 $K^{\mu }$ 게이지 불변수가 아닙니다.양자 색역학에서 이 용어의 존재는 ^[9]아직 관찰되지 않은 중성자 전기 쌍극자 모멘트를 발생시키기 때문에 강한 CP 문제를 야기하며 $,$ $\theta$ ${\display$ \ $theta }$ 의 $\theta$ 미세 조정이 매우 작아야 한다.

페르미온에 의한 수정

만약 그 이론에 질량이 없는 페르미온이 존재한다면,^[10] 페르미온이 위상공 사이의 인스턴트 터널링을 억제하기 때문에 진공 각도는 관측할 수 없게 된다.이것은 단일 질량이 없는 페르미온을 가진 양-밀스 이론을 고려함으로써 알 수 $. 경로 적분 형식론$ 에서 두 위상 진공 사이의 인스턴스론에 의한 터널링은 형태를 취한다 $\psi (x)$

{begin{aligned}\langle n+\nu \rangle &\sim {mathcal {D}A{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\exp {\int d^{4}x{\frac1}{2g^2}}{text}{t}{text}}{text}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+i{\bar {psi }}{D\!!int {mathcal {D}A\det(i{D\\\}!\!/}\exp {bigg (}-\int d^{4}xsecfrac {1}{2g^{2}}{\text{tr}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }{\bigg}}.\end { aligned}

이것은 페르미온장 위에 적분하여 얻은 페르미온 결정식에 의한 순수한 양-밀스 결과와는 다르다.질량 없는 페르미온을 가진 Dirac 연산자는 인스턴트온 ^[11]구성에 대해 적어도 하나의 0 고유값을 가지기 때문에 행렬식이 사라집니다.인스턴트론은 더 이상 위상 액포 사이의 터널링에 기여하지 않지만, 대신 축방향 전하를 위반하는 역할을 하여 키랄 응축수를 발생시킵니다.만약 그 이론이 매우 가벼운 페르미온을 가지고 있다면, γ-항은 여전히 존재하지만, 페르미온 질량에 비례해야 하기 때문에 그 효과는 상당히 억제된다.

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레퍼런스

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