비선형 시그마 모델

양자장론에서 비선형 δ모델은 타깃 매니폴드 T라고 불리는 비선형 매니폴드 내의 값을 갖는 스칼라장 δ을 기술한다.비선형 γ-모델은 Gell-Mann & Levy(1960, 섹션 6)에 의해 도입되었으며,^[1] Gell-Mann & Levy는 모델에서 γ라고 불리는 스핀리스 중간자에 대응하는 필드를 따서 이름을 붙였다.이 문서에서는 주로 비선형 시그마 모델의 양자화에 대해 설명합니다.일반 정의 및 고전적인 (비양자) 공식 및 결과에 대해서는 시그마 모델의 기본 문서를 참조하십시오.

묘사

대상 다양체 T는 리만 메트릭 g를 갖추고 있다. δ는 민코프스키 공간 M(또는 일부 다른 공간)에서 T로 미분 가능한 맵이다.

현대 키랄^[2] 형태의 라그랑주 밀도는 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle {L}}={1 \over2}g(\sigma ^{\mu }\Sigma ,\sigma _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )})$

여기서 우리는 + - - 메트릭 시그니처를 사용했고 편도함수 δ는 T×M의 제트 다발 단면에 의해 주어지고 V는 전위이다.

좌표 표기법에서, 좌표 δ^a, a = 1, ..., n, 여기서 n은 T의 치수이다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over2}g_{ab}(\Sigma)(\sigma)_{\mu}\sigma ^{b})-V(\Sigma)}$

2개 이상의 차원에서는 비선형 θ 모델은 차원 풀 커플링 상수를 포함하므로 섭동적으로 재규격화할 수 없다.그럼에도 불구하고, 그들은 격자 공식과^[3][4] 케네스 G.^[5] 윌슨이 원래 제안한 이중 팽창 모두에서 재규격화 그룹의 자외선이 아닌 고정점을 나타낸다.

어느 어프로치에서도, O(n)-대칭 모델에 대해서 발견된 비삼차재규격화군 고정점은, 순서부여된 위상과 순서부여된 위상을 분리하는 임계점을 2보다 큰 차원으로 간단하게 기술하는 것으로 보인다.또한 개선된 격자 또는 양자장 이론 예측은 O(n) 모델이 물리적 하이젠베르크 강자석과 관련 시스템을 기술하기 때문에 임계 현상에 대한 실험실 실험과 비교될 수 있다.따라서 위의 결과는 2차원 이상의 O(n)-대칭 모델의 물리적 거동을 정확하게 기술하는 순진한 섭동 이론의 실패와 격자 공식과 같은 보다 정교한 비섭동적 방법의 필요성을 지적한다.

이것은 그것들이 효과적인 필드 이론으로만 나타날 수 있다는 것을 의미합니다.두 점의 연결된 상관 함수가 목표 다지관의 곡률과 같은 순서인 거리 척도에서 새로운 물리학이 필요하다.이것은 그 이론의 UV 완성이라고 불립니다.내부대칭군 G **가 Lie 그룹이고 H가 Lie 서브그룹일 경우, 몫공간 G/H는 매니폴드(예를 들어 H가 닫힌 부분집합인 경우)이며, G의 균질공간, 즉 G의 비선형 실현이다.대부분의 경우 G/H는 G-불변인 리만 메트릭을 장착할 수 있습니다.예를 들어, G가 콤팩트한 경우 등, 이것은 항상 해당됩니다.G-불변 리만 메트릭을 갖는 목표 다양체로 G/H가 0인 비선형 δ 모델을 몫 공간(또는 코제트 공간) 비선형 δ 모델이라고 한다.

경로 적분을 계산할 때 함수 측도는 g의 결정요인 제곱근에 의해 "가중치"되어야 한다.

${\displaystyle\sqrt\det g}{\mathcal {D}\Sigma}$

재규격화

이 모델은 2차원 다양체가 세계시장으로 명명된 끈 이론과 관련이 있는 것으로 입증되었습니다.Daniel Friedan에 ^[6]의해 일반화된 재규격화에 대한 평가가 제공되었습니다.그는 그 이론이 섭동 이론의 선두 순서로, 형태에서 정규화 군 방정식을 인정한다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle\frac{\fracg_{ab}}=\display_{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}$

R은_ab 목표 다지관의 리치 텐서이다.

이것은 고정점으로서의 대상 다양체에 대한 아인슈타인 필드 방정식을 따르는 리치 흐름을 나타냅니다.그러한 고정점의 존재는, 이 섭동 이론의 순서에서, 컨포멀 불변성이 양자 보정에 의해서 없어지지 않기 때문에, 이 모델의 양자장 이론은 합리적이다(비정규화 가능).

맛-키랄 이상을 나타내는 비선형 상호작용을 더하면 웨스-주미노-가 된다.위튼 모델 ^[7]- 흐름의 기하학적 구조를 증가시켜 비틀림을 포함하도록 하고, 재규격화 가능성을 유지하며, 원격 평행성("지질 동토증")^[8]으로 인해 적외선 고정점을 유도합니다.

O(3) 비선형 시그마 모델

위상 특성으로 인해 특히 관심이 있는 유명한 예는 라그랑지안 밀도를 가진 1+1 차원의 O(3) 비선형 δ-모델이다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=tfrac {1}{2}}\display ^{\mu}{\hat {n}}\cdot \cdot _{\mu}{\hat {n}}}$

여기서 ncpa=(n₂, n₃, n)은₁ 제약 조건이 ncpan=1이고 μ=1,2이다.

이 모델은 무한 시공간에서 라그랑지안 밀도가 사라져야 하므로 위상 유한 작용 솔루션을 허용합니다. 즉, nµ = 무한대에서 상수입니다.따라서, 유한 작용 솔루션의 클래스에서, 무한대의 점을 단일 점으로 식별할 수 있다. 즉, 시공간은 리만 구로 식별할 수 있다.

nµ-field는 구면에도 존재하므로, S→S² 매핑이² 증거이며, 이 매핑의 해는 2-구면의 두 번째 호모토피 그룹에 의해 분류된다.이러한 솔루션을 O(3) Instanton이라고 합니다.

이 모델은 1+2 차원에서도 고려할 수 있습니다.이 경우 이제 토폴로지는 공간 슬라이스에서만 나옵니다.이들은 무한대의 점을 가진 R^2로 모델링되며, 따라서 1+1 차원의 O(3) 인스턴스온과 동일한 위상을 가진다.그것들은 시그마 모델 덩어리라고 불립니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 시그마 모형
• 키랄 모형
• 리틀 힉스
• 스카이미온, 비선형 시그마 모델의 솔리톤
• 폴랴코프 작용
• WZW 모델
• Fubini-Study 메트릭, 비선형 시그마 모델에 자주 사용되는 메트릭
• 리치 플로우
• 척도 불변성

레퍼런스

외부 링크

• Ketov, Sergei (2009). "Nonlinear Sigma model". Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ...4.8508K. doi:10.4249/scholarpedia.8508.
• Kulshreshtha, U.; Kulshreshtha, D. S. (2002). "Front-Form Hamiltonian, Path Integral, and BRST Formulations of the Nonlinear Sigma Model". International Journal of Theoretical Physics. 41 (10): 1941–1956. doi:10.1023/A:1021009008129. S2CID 115710780.