푸비니-스터디 미터법

수학에서 푸비니-스터디 지표는 투영적인 힐버트 공간, 즉 은둔자 형태로 부여된 복잡한 투영 공간 CP에ⁿ 대한 Kahler 지표다. 이 지표는 원래 1904년과 1905년에 귀도 푸비니와 에두아르 연구에 의해 설명되었다.^[1][2]

(벡터 공간) C에서ⁿ⁺¹ 은둔자 형태는 GL(n+1,C)에서 단일 부분군 U(n+1)를 정의한다. 푸비니-스터디 메트릭은 그러한 U(n+1) 작용에 따른 침입에 의해 균질성(전체 스케일링)까지 결정되므로 균질하다. 푸비니-스터디 메트릭을 갖춘 CP는ⁿ 대칭 공간이다. 메트릭의 특정 정규화는 응용 프로그램에 따라 달라진다. 리만 기하학에서는 푸비니-스터디 메트릭이 단순히 (2n+1)-sphere의 표준 메트릭과 관련되도록 정규화를 사용한다. 대수 기하학에서는 CP를ⁿ 호지 다지관으로 만드는 정규화를 사용한다.

건설

푸비니-스터디 지표는 복잡한 투영 공간의 지수 공간 구성에서 자연적으로 발생한다.

구체적으로 CP를ⁿ C의ⁿ⁺¹ 모든 복잡한 선으로 구성된 공간, 즉 각 점의 모든 복잡한 배수를 함께 관련하는 동등성 관계에 의한 Cⁿ⁺¹\{0}의 몫으로 정의할 수 있다. 이는 승수 그룹 C^* = C \ {0}의 대각선 그룹 작업에 의한 몫과 일치한다.

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\,\right\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

이 지수는 Cⁿ⁺¹\{0}를 기본 공간 CPⁿ 위에 복잡한 선다발로 실현한다.(사실 이것은 CPⁿ 위에 tautological bundle이라고 한다.) 따라서ⁿ CP의 점은 (n+1)-tuple의 동등성 등급[Z₀,..., Z_n] modulo nonzero 복합 재스케일링으로 식별된다. Z를_i 점의 균일한 좌표라고 한다.

더욱이, 사람들은 두 단계로 나누어 이 인수를 실현할 수 있다: 0이 아닌 복합 스칼라 z = R^iθ e에 의한 곱셈을 모듈러스 R에 의한 팽창의 구성으로 생각할 수 있고$,$ 그리고 $angle{\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\theta }$ 각도로 원점에 대한 시계 반대 방향으로 회전하는 것으로 생각할 수 있기 때문에, 지수 Cⁿ⁺¹ → CP는ⁿ 두 조각으로 갈라진다.

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}{\stackrel {a}{{\longrightarrow{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}}}}}{n}}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 단계(a)는 R ∈ R에⁺ 대한 팽창 Z ~ RZ에 의한 지수, 양의 실수의 곱셈 그룹, 단계(b)는 회전 Z ~ eZ에^iθ 의한 지수다.

(a)의 몫의 결과는 Z = Z₀ + ... 등식으로 정의된 실제 하이퍼바이저 S이다²ⁿ⁺¹. + Z = 1_n. (b)의 지수는 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S를¹ 실현하며, 여기서 S는¹ 회전 그룹을 나타낸다. 이 지수는 S ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$+ 1 ${\$의 큰 원 중 하나인 유명한 Hopf 진동 S¹ → S²ⁿ⁺¹ → CP에ⁿ 의해 명확하게 실현된다$.$

미터법 지수로

리만 다지관(또는 일반적으로 미터 공간)에 대한 지수를 구할 때, 지수의 공간에 잘 정의된 지표가 부여되도록 주의를 기울여야 한다. For instance, if a group G acts on a Riemannian manifold (X,g), then in order for the orbit space X/G to possess an induced metric, ${\displaystyle g}$ must be constant along G-orbits in the sense that for any element h ∈ G and pair of vector fields ${\displaystyle X,Y}$ we must have g(Xh,Yh) = g(X,Y).

C에ⁿ⁺¹ 대한 에르미타르의 표준 측정기준은 다음과 같다.

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\coverline {\mathbf {Z}}}}}}}}}}\ots +dZ_{n}\otimes d{\overline {Z_{n}}}}}}}}}}\otimitime d}}}}}}$

R에²ⁿ⁺² 대한 유클리드 측정 기준의 실현이 그것이다. 이^* 측정기준은 C의 대각선 작용 하에서는 불변성이 아니므로, 우리는 그것을 해당 지수의 CP로ⁿ 직접 밀어넣을 수 없다. 그러나 이 측정기준은 회전 그룹인 S¹ = U(1)의 대각선 작용에 따라 불변한다. 따라서 위의 시공에서 단계(b)는 단계(a)가 달성되면 가능하다.

푸비니-스터디 메트릭은 지수 CPⁿ = ${\displaystyle {\mathrm{S^2<i>n</i>+1}}^{}}$/S에¹ 유도된 메트릭으로, $여기$서 S ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$+ 1 ${\$ S$^{2n+1}$은 표준 유클리드 메트릭의 제한에 의해 부여된 소위 "원형 메트릭"을$$ 단위 하이퍼스피어에 전달한다.

국소 부착 좌표

균일한 좌표를 가진 CP의ⁿ 한 점에 해당된다 [Z₀:...:Z_n], 다음과 같은 고유한 n 좌표 집합(z₁,...,z_n)이 있다.

${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]{\sim }[1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

제공된 Z₀ ≠ 0; 구체적으로는_j z = Z_j/Z₀. (z₁,...,z_n)는 좌표 패치 U₀ = {Z₀ ≠ 0}에서 CP에ⁿ 대한 부호 좌표계를 형성한다. 분명한 방법으로_i Z로 나누어_i 좌표 패치_i U = {Z ≠ 0} 중 임의의 좌표계를 개발할 수 있다. 그n+1 좌표, 그리고 그것은 매트릭 명시적으로 아핀 좌표. 우이에(z1,...,zn)의 관점에서 주는 것이 가능하다 우이 커버 CPn 불화.좌표계는 파생 상품}}CPn의 Fubini–Study의 측면에서 적인. 접선 다발의{∂ 1,…,∂ n},\partial _{n}\{\displaystyle\와 같이{\partial_{1},\ldots 프레임을 정의한다. 미터법에는 에르미트 구성 요소가 있음

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {(1+ \mathbf {z} ^{2})\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{(1+ \mathbf {z} ^{2})^{2}}}.}$

여기서₁ z = z +...+ z_n. 즉, 이 프레임에서 푸비니-스터디 메트릭의 은둔자 행렬은

${\displaystyle{\bigl)}={\frac{1}{(1+ \mathbf{z}^{2})^{2}}}\left -LSB-{\begin{배열}{cccc}1+ \mathbf{z}^{2}- z_{1}^{2}&, -{\bar{z}}_{1}z_{2}&, \cdots &, -{\bar{z}}_{1}z_{n}\\-{\bar{z}}_{2}z_{1}&, 1+ \mathbf{z}^{2}- z_{2}^{2}&, \cdots &, -{\bar{z}}_{2}z_{n}\\\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots cm이다.\-{\bar{z}}_{n}z_{1}&, -{\bar{z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+ \mathbf {z} ^{2}- z_{n} ^{2}\end{array}\오른쪽]}$

각 매트릭스 요소는 단일 비변수적이라는 점에 유의하십시오. 대각선 작용 $z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mapsto }$ e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ z ${\$는) 이 매트릭스를 변경하지 않고 그대로 유지됨$$.

따라서 선 요소는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle{\begin{정렬}ds^{2}&, =g_{나는{\bar{j}}}\,dz^{나는}\,d{\bar{z}}^ᆴ\\[4pt]&, ={\frac{(1+ \mathbf{z}^{2})d\mathbf{z}^ᆶ-({\bar{\mathbf{z}}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d{\bar{\mathbf{z}}})}{(1+ \mathbf{z}^{2})^{2}}}\\[4pt]&, ={\frac{(1+z_{나는}{\bar{z}}^{나는})\,dz_{j}\,d{\bar{z}}^{j}-{\bar{z}}^{j}z_{나는}\.,dz_{j}\,d{)바{z}^{i}}{(1+z_{i}{\bar{z}^{i}}^{2}}.\end{정렬}}}$

이 마지막 식에서, 합계 규칙은 1에서 n까지의 범위인 라틴 지수 i,j를 합하기 위해 사용된다.

측정 기준은 다음과 같은 Kahler 잠재력에서 도출할 수 있다.^[3]

${\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}^{i}}=\ln(1+\bar}bar {j}z^{i}{\z}^{j}}}}}}}}}$

로서

${\displaystyle g_{i{\bar{j}}=K_{i1}\bar{j}}={\frac {\partial ^{2}}:{\partial z^{i}\partial {\z}^{j}}}K}$

균일한 좌표 사용

일반적으로 대수 기하학의 투영적 다양성을 기술하는 데 사용되는 균일한 좌표의 표기법에서도 식이 가능하다: Z = [Z₀:...:Z_n] 공식적으로 관련된 표현을 적절히 해석하기 위해, 사람은

${\displaystyle{\begin{정렬}ds^{2}&, ={\frac{\mathbf{Z}^{2}d\mathbf{Z}^ᆯ-({\bar{\mathbf{Z}}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d{\bar{\mathbf{Z}}})}{\mathbf{Z}^{4}}}\\&, ={\frac{Z_{\alpha}{\bar{Z}}^{\alpha}dZ_{\beta}d{\bar{Z}}^{\beta}-{\bar{Z}}^{\alpha}Z_{\beta}dZ_{\alpha}d{\bar{Z}}^{\beta}}{(Z_{\alpha}.{\bar{Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{정렬}}}$

여기서 합계 규약은 0부터 n까지의 그리스 지수 α β를 합하기 위해 사용되며, 마지막 동등성에서는 텐서의 스큐 부분에 대한 표준 표기법을 사용한다.

${\displaystyle Z_{\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{1}{1}{1}{\frac(Z_{\alpha }W_{\beta }{}-Z_{}\beta }\오른쪽).}$

이제, ds에² 대한 이 표현은 tautological 번들 Cⁿ⁺¹\{0}의 총 공간에 대한 텐서를 정의한 것으로 보인다. CP의ⁿ tautological bundle의 holomorphic section σ을 따라 뒤로 당겨ⁿ CP에 대한 tensor로서 제대로 이해되어야 한다. 그런 다음 풀백 값이 섹션 선택과 무관하다는 것을 검증한다: 이것은 직접 계산에 의해 수행될 수 있다.

이 측정기준의 Kahler 형식은

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\overline {\partial }\log \mathbf {Z} ^{2}}$

여기서 $,,{\displaystyle \mathrm{}\backslash ,\stackrel{}{\mathrm{}}}$\$displaystyle \partial,{\bar {\partial}}}$은(는) 돌보트 운영자. 이것의 풀백은 확실히 홀로모르픽 섹션의 선택과 무관하다. 수량 로그 Z는 CP의ⁿ Kahler 전위(Kahler scalar라고도 함)이다.

브라켓 좌표 표기법

양자역학에서 푸비니-스터디 메트릭은 부레스 메트릭으로도 알려져 있다.^[4] 그러나, Bures 메트릭은 일반적으로 혼합 상태의 표기법으로 정의되는 반면, 아래의 설명서는 순수한 상태의 관점에서 작성된다. 메트릭의 실제 부분은 피셔 정보 메트릭이다(4배).^[4]

푸비니-스터디 메트릭은 양자 역학에서 일반적으로 사용되는 브라-켓 표기법을 사용하여 작성할 수 있다. 이 표기법을 위에 주어진 균일한 좌표와 명시적으로 동일시하려면 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle \vert \psi \rangele =\sum _{k=0}^{n}\vert e_{k}\regle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$

where ${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$ is a set of orthonormal basis vectors for Hilbert space, the ${\displaystyle Z_{k}}$ are complex numbers, and ${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$ is the standard notation for a point in the pr귀체 공간 C $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ P$^{n}}$ 동종 좌표$$. 그런 다음 두 점 ${\displaystyle points=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ = Z$$\$displaystyle \vert \psi \rangele$= $Z_{\alpha$ }, $}}$ ${\displaystyle ={}_{}}$ {\$displaystyle \vert \pret \rangele =W_{\alpha }}}}}}$을 공간상으로$$ 지정하면 이들 사이의 거리(지오데이즈틱 길이)가 된다.

${\displaystyle \phi )=\arccos {\sqrt}\\frract {\langle\\\langle\phi \vert \langle \langle \langle \langle \vert \;\langle \langle \phiber \phi }}}}}}}}}}}}}}}$

또는, 동등하게, 투사적 다양성 표기법으로,

${\displaystyle \gamma(\psi ,\phi )=\gamma(Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha}{\overline {W}^{W}\alpha }\;W_{\beta }{\overline{Z}^{\beta}}{Z_{\alpha }{\overline{Z}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline{W}^{\beta }}}.}$

여기서 ${\$displaystyle Z_${\$$alpha}}}}$은 Z ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\${\$alpha}}}$의 복합 결합체다$.$ ${\displaystyle 분모}$에 $⟨{\displaystyle }$ { { ${\displaystyle \{}$ $\$\$langle \psi$ \$vert$\psi $\rangle$}이(가) 나타난 것은 ${\displaystyle \psi }$ ψ ${\displaystyle ⟩}$ {\디스플레이$$스타일 $\psi \rangle }$과 마찬가지로 ${\displaystyle \varphi }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\vert \pi \rangle}$이 단위 길이로 정규화되지 않았음을$$ 상기시켜주는 것이 명시적이다. 힐버트 공간에서는 미터법을 두 벡터 사이의 각도로 다소 사소하게 해석할 수 있으므로, 양자각이라고 부르기도 한다. 각도는 실제 값이며, $0$에서 ${\displaystyle /}$ / ${\displaystyle 2}$까지 실행되며, $\displaystyle \pi /2$

The infinitesimal form of this metric may be quickly obtained by taking ${\displaystyle \phi =\psi +\delta \psi }$, or equivalently, ${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$ to obtain

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$

양자역학의 맥락에서 CP는¹ Bloch 구체라고 불리며, 푸비니-Study 메트릭은 양자역학의 기하학적 형성을 위한 자연적 측정 기준이다. 양자역학의 특이한 행동들 중 많은 부분이 양자 얽힘과 베리 위상 효과를 포함하여 푸비니-스터디 지표의 특성 때문이라고 할 수 있다.

n = 1 케이스

n = 1일 때 입체 투영으로 주어지는$$ $차이점형성{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ C P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}가 있다. 이는 "특수" 호프 진동¹ S → S³² → S. 푸비니-스터디 측정지표를 CP의¹ 좌표로 작성할 때, 실제 접선 번들에 대한 제한은 S에² 대해 반경의 1/2 (및 가우스 곡률 4)의 일반적인 "원형 측정지"의 표현을 산출한다.

즉, z = x + iy가 리만 구면 CP의¹ 표준 아핀 좌표도이고 x = r cos θ, y = r sin θ은 C의 극좌표라면, 일상적인 계산이 보여준다.

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\overline {z}})}{\left(1+ z ^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle u_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은 장치 2-sphere의 원형 메트릭이다. 여기서 φ, θ은 s에² 대한 "수학적 좌표"는 tann(φ/2) = 1, tann θ = y/x. (많은 물리학 참고문헌은 φ과 roles의 역할을 교환한다.

칼러 양식은

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}:{\frac {dz\wedge d{\z}}{\bar{z}}}}:{2}}:}={\frac {dx\wedge dy}{{1+x^{2}+y^{2}}}}:{2}}:2}}:00}$

Vierbeins $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$/${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$) ${\displaystyle$ e$^{1}=dx/(1+r^{2})$ 및$$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle d}$ y${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$^{${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2}}),$Kahler 폼으로 선택하면 다음과 같이 간단해진다.

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

케흘러 양식에 호지 별을 적용하면, 그 중 하나를 얻는다.

${\displaystyle *K=1}$

K가 조화롭다는 것을 암시한다.

n = 2 케이스

복잡한 투영 평면 CP에² 대한 푸비니-스터디 메트릭은 인스턴트온의 중력 아날로그인 중력인 인스턴트온으로 제안되었다.^[5][3] 적절한 실제 4D 좌표가 설정되면 메트릭, 연결 형태 및 곡면성이 쉽게 계산된다. 실제 데카르트 좌표에 대한$$ 쓰기$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle (x,y,z,t)},$ 그런 다음 4-sphere(쿼터니온 투영선)의 극좌표 원형을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

The ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ are the standard left-invariant one-form coordinate frame on the Lie group ${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$; that is, they obey ${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$ for $$${\displaystyle \mathrm{i}}$, ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3 ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$ 주기적$$.

해당 국소 부착 좌표는 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z_{1}=x+iy$$}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$2 =${\displaystyle z}$ + ${\displaystyle t}${\$displaystyle z_{2}=z+it}$이다.

${\displaystyle {\signified}z_{1}{\bar {z}+z_{2}{\bar {z}_{2}=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+z^{2}+t^{2}}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{2}+r^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})\\\left({\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}\right)^{2}&=r^{2}\left(dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}\right)\end{aligned}}}$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle d}$ r${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle dr^{2}=dr\otimes dr}$ 및 ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ \$ma _{$k$\}\}\}.$

선 요소는 이전에 지정한 식부터 다음 순서로 주어진다.

${\displaystyle{\begin{정렬}ds^{2}&, ={\frac{dz_{j}\,d{\bar{z}}^{j}}{1+z_{나는}{\bar{z}}^{나는}}}-{\frac{{\bar{z}}^{j}z_{나는}\,dz_{j}\,d{\bar{z}}^{나는}}{(1+z_{나는}{\bar{z}}^{나는})^{2}}}\\[5pt]&, =ᆼ+r^ᆽ(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2})}{1+r^{2}}}-ᆿ\left(dr^{2}+r^{2}\sigma_{3}^{2}\right)}{(1+r^{2})^{2}}}\\용.4pt]&){)frac {dr^{2}+r^{2}\ma _{3}^{2}}:{{1+r^{2}}^{2}}:}{{3}}}+{r^{2}\좌측(\{1}^{1}^{1}^{2}+\우측){1+r^{2}}{1+r^{2}{2}{2}}}}\끝{정렬}}}$

바이얼빈은 다음 식에서 즉시 읽을 수 있다.

${\displaystyle {\pregated}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}}&&e^{3}={\frac {r\ba _{3}}{1+r^{2}}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\bamma_{1}:{1}{\sqrt{1+r^{2}}}}}&amp;e^{2}={\frac {r\bma _{2}}:{\sqrt{1+r^{2}}}}}\end{정렬}}$

즉, Vierbein 좌표계에서 로마자 첨자를 사용하여 미터법 텐서는 유클리드:

${\displaystyle ds^{2}=\i1}{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}}\otimes e^{1}+e^{2}}\otimes e^{2}+e^{3}}\time e^{3}.}$

바이얼빈에 의해 스핀 연결이 계산될 수 있다; Levi-Civita 스핀 연결은 비틀림이 없고 공변적으로 일정하며, 즉 비틀림 $없는 조건$을 만족시키는$$ 것은 하나의 형태 $Ω b이다.$

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\i1\i1 e^{b}=0}$

그리고 공변적으로 일정하며, 이는 스핀 연결의 경우 비어베인 지수에서 대칭성이라는 것을 의미한다.

${\displaystyle \omega_{ab}=-\omega_{ba}}$

위와 같은 것은 쉽게 풀린다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

곡률 2-폼은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\\;\,b}^{a}+\omega _{\c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}}}}}}$

및 상수:

${\displaystyle {\reasoned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{1}{2}\wedge e^{3}\\wedge e^{3}\\\R_{02}=-R_}={3}=e^{0}-e^{3}\wedge e^{1}\}\}\}\}\}R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}}\wedge e^{3}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\ed}}}}}}}}$

Veirbein 인덱스의 Ricci tensor는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;c}^{a}=R_{{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

곡률 2-폼이 4-성분 텐서(tensor)로 확장된 경우:

${\displaystyle R_{\\;\,b}^{a}={\frac {1}{1}{2}}R_{\\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}}}}$

결과 Ricci 텐서는 일정함

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

그래서 아인슈타인 방정식이

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\frac {1}{1}:{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

우주 상수 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \Lambda =6}$ 으로 해결할 수 있다$.$

일반적으로 Fubini-Study의 Weyl 텐서(Weyl tensor for Fubini-Study) 측정 기준은 다음과 같다.

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\좌(\delta _{ac}-\delta _{bd}-\delta _{bc}\오른쪽)}$

n = 2 사례의 경우, 2-폼

${\displaystyle W_{ab}={\frac {1}{1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}}}$

자체 평가:

${\displaystyle {\reasoned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\ended}}}}$

곡면 특성

n = 1 특수 사례에서 푸비니-스터디 메트릭은 2-sphere의 원형 메트릭과 동등성에 따라 4와 동일한 일정한 단면 곡률을 가진다(반경 R의 경우 단면 $곡률{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 /${\displaystyle R{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 단, n > 1의 경우 푸비니-스터디 메트릭은 일정한 곡률을 가지지 않는다. 그것의 단면 곡률은 대신^[6] 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\angle ^{2}}$

여기서${\displaystyle }${ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \in }$ T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}^{}}$ p ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}}$는 2면 plane의 정형 기반이고, J : TCPⁿ → TCP는ⁿ CP 상의ⁿ 복잡한 구조로, ${\displaystyle ⟨}$ ,${\displaystyle }$⋅ , ${\displaystyle \cdot }$ , ⋅$$\$displaystyle \langle \cdot \cdrangele}$는 푸비니-Studymet이다.

A consequence of this formula is that the sectional curvature satisfies ${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$ for all 2-planes ${\displaystyle \sigma }$. The maximum sectional curvature (4) is attained at a holomorphic 2-plane — one for which J(σ) ⊂ σ — while the minimum sectional curvature (1) is attained at a 2-plJ(e)가 an에 직교하는 ae. 이러한 이유로 푸비니-스터디 메트릭은 종종 "일관적인 홀로모르프 단면 곡률"이 4와 같다고 한다.

이것은 CP를ⁿ (엄정하지 않은) 쿼터 핀 다지관으로 만든다; 유명한 정리는 엄격하게 쿼터 핀으로 연결된 단순 n-매니폴드는 구체와 동형이어야 한다는 것을 보여준다.

푸비니-스터디 메트릭은 자체 리치 텐서$($Ricci tensor)에 비례한다는 점에서 아인슈타인 메트릭이기도 하다. 즉, $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$[\$displaystyle \Lambda }$상수가 존재하며, 따라서 i,j가 모두 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

이는 무엇보다도 푸비니-스터디 메트릭이 Ricci 흐름 하에서 스칼라 배수까지 변하지 않고 있음을 암시한다. 또한ⁿ CP가 진공 아인슈타인 장 방정식의 비경쟁적 해결책의 역할을 하는 일반 상대성 이론에 필수불가결한 것으로 만든다.

CP에ⁿ 대한$$ 우주 $상수{\displaystyle \mathrm{}}$ \ ${\displaystyle \Lambda }$은(는) 공간의 치수 측면에서 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

제품 미터법

분리 가능성에 대한 일반적인 개념은 푸비니-스터디 메트릭에 적용된다. 더 정확히 말하면, 이 측정기준은 투영공간인 세그르 임베딩의 자연산물에 따라 분리할 수 있다. That is, if ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ is a separable state, so that it can be written as ${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$, then the metric is the sum of the metric on the subspaces:

${\displaystyle ds^{2}={ds_{ds_{A}^{2}+{ds_{{}B}}^{2}}:$

$여기$서 d ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{\mathrm{}}}$ 2 ${\$$A}^{2}}:$00$$ 및 $d{\displaystyle {}^{}}$ s ${\displaystyle {{}_{}}^{\mathrm{}}}$ 2 ${\$$B}}^{2}}:$ 각각 하위 스페이스 A와 B에 대한 측정 기준이다$$.

연결부 및 곡률

측정지표가 Kahler 잠재력에서 도출될 수 있다는 사실은 Christoffel 기호와 곡률 텐서(곡률 텐서)에 대칭이 많이 포함되어 있다는 것을 의미하며, 특히 다음과 같은 간단한 형태를 부여할 수 있다.^[7] Christoffel 기호는 국부 부속 좌표에서 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

리만 텐서 또한 특히 간단하다.

${\displaystyle R_{i}{j}k{\l}}=g^{i{\l}}{{m}}{\frac {\partial \partial \partial \gamma_{\\\\\j}{l}^{m}}}{\partial z^{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

리치 텐서는

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

발음

특히 원어민에 의한 일반적인 발음 실수는 스터디가 공부할 동사와 같은 발음이라고 가정하는 것이다. 실제로 독일식 이름이기 때문에 스터디에서 u를 발음하는 올바른 방법은 푸비니에서 u와 같다. 음운론으로는: ʃtudidi.

참고 항목

• 비선형 시그마 모형
• 칼루자-클레인 이론
• 아라켈로프 높이

참조

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8
• Brody, D.C.; Hughston, L.P. (2001), "Geometric Quantum Mechanics", Journal of Geometry and Physics, 38: 19–53, arXiv:quant-ph/9906086, Bibcode:2001JGP....38...19B, doi:10.1016/S0393-0440(00)00052-8
• Griffiths, P.; Harris, J. (1994), Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience, pp. 30–31, ISBN 0-471-05059-8
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Fubini–Study metric", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.