다나카식

확률론적 미적분학에서 다나카 공식을 보면 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle B_{t} =\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}}}$

여기서 B는_t 브라운의 표준 운동이며, sgn은 부호 함수를 나타낸다.

${\displaystyle \sgn}(x)={\display{case}+1,&x0;\0,&x=0\-1,&x<0.\end{case}}}$

L은_t L-limit에² 의해 주어진 0의 현지 시간(B가 시간 t 이전 0에서 소비한 현지 시간)이다.

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}}} \{s\in[0,t] B_{s}\in (\barepsilon ,+\varpsilon )\}}}.}$

특성.

다나카 공식이란, 잠수정 B를_t 마팅게일 부분(브라운 모션인^[1] 오른쪽의 적분)으로 명시적으로 분해한 것과, 지속적으로 증가하는 과정(현지 시간)이다.It can also be seen as the analogue of Itō's lemma for the (nonsmooth) absolute value function ${\displaystyle f(x)= x }$, with ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ and ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$; see local time for a formal explanation of이토 용어

증빙 개요

x 함수 x는 x = 0에서 c in² x가 아니므로 이토의 공식을 직접 적용할 수 없다.그러나 포물선을 이용하여 0(즉, [-164, ])에 가까운 값을 구하면

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{2 \varepsilon }}+{\frac { \varepsilon }{2}.}$

그리고 이토의 공식을 사용하면, 그 한계를 → → 0으로 가져가서 다나카 공식을 유도할 수 있다.

참조

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (예: 5.3.2)
• Shiryaev, Albert N.; trans. N. Kruzhilin (1999). Essentials of stochastic finance: Facts, models, theory. Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability No. 3. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc. ISBN 981-02-3605-0.