선형관계

선형대수학에서 벡터공간이나 모듈의 요소들 사이의 선형관계, 또는 단순관계는 이러한 요소들을 해법으로 갖는 선형 방정식이다.

More precisely, if ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ are elements of a (left) module M over a ring R (the case of a vector space over a field is a special case), a relation between ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ is a sequence ${\displaystyle (f_{1},\dots$$,f_{n}}$의 R 요소:

${\displaystyle f_{1}e_{1}e_{1}+\f_{n}e_{n}=0.}$

$e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 사이의 관계가 모듈을 형성한다$$.하나는 $일반적$으로 e ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, e ${\displaystyle n_{}}$ ${\$가 미세하게 생성된 모듈 M의 생성 세트인 경우에 관심을 가지는데, 이 경우 관계의 모듈을 흔히 M의 syzy 모듈이라고 부른다.시지 모듈은 생성 세트의 선택에 따라 다르지만, 무료 모듈을 사용하는 직접 합에 따라 다르다.즉, S ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $S_{1}}$와 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $S_{2}}:$ $동일$한 모듈의 2개 생성 세트에 해당하는 syzy 모듈이라면$$ 안정되게 이소모르픽이며, 이는 ${\displaystyle {S1}_{}}$과 $같은$ 2개의 자유 모듈이 $있음$을 의미한다$.$${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $S$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ 이형성이다.

고차 시지 모듈은 반복적으로 정의된다: 모듈 M의 첫 번째 시지 모듈은 단순히 그것의 시지 모듈이다.k > 1의 경우, M의 kth syzy 모듈은 a (k – 1)-th syzy 모듈의 syzy 모듈이다.$Hilbert$의 syzy 정리에는 ${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle K}$[ x ${\displaystyle {}_{}}$, …${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle x_{}}$n ] {\$displaystyle R=K[$x_{$1},\dots,x_{$n}}}}}이(가) 필드$$ 위에 n번째 syzy 모듈마다 무료라고 되어 있다.사례 n = 0은 모든 유한 치수 벡터 공간에 기초가 있다는 사실이고, 사례 n = 1은 K[x]가 주요 이상 영역이며, 미세하게 생성된 자유 K[x] 모듈의 모든 하위 모듈도 자유롭다는 사실이다.

힐버트의 시지 정리정돈을 필드 위에 nindeterminates의 다항식 링으로 재작성할 수 있는 자유 분해능의 정의가 글로벌 호몰로지 차원 n을 가지면서 상위 순서의 시지 모듈 구축이 일반화된다.

a와 b가 정류 링 R의 두 요소라면, (b, –a)는 사소한 것으로 말하는 관계다.이상에 대한 사소한 관계의 모듈은 이상 생성 집합의 요소들 사이의 사소한 관계에 의해 생성되는 이상에 대한 첫 번째 시지 모듈의 하위 모듈이다.사소한 관계의 개념은 보다 높은 질서의 시지 모듈로 일반화될 수 있으며, 이는 이상형의 생성자 사이의 비종교 관계에 대한 정보를 제공하는 이상형의 코즐 콤플렉스의 개념으로 이어진다.

기본 정의

R을 링으로 하고, M을 좌측 R-모듈로 한다.K 요소 x $1{\displaystyle {}_{}}$, … , ${\displaystyle x_{}}$ k ${\$의 선형 관계, 또는 단순히 M의$$ 요소들 사이의 관계는 R${\displaystyle {}_{}}$요소들의$$ 시퀀스${\displaystyle }$(${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle k_{}}$ ) $displaystyle (a_1},\dots ,a_{k}}}}$이다.

${\displaystyle a_{1}x_{1}x_{1}+\cHB +a_{k}x_{k}=0.}$

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ k ${\$가 M의 생성 집합이라면 그 관계를 흔히 M의 syzy라고 부른다.$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ k ${\$}, $..x_{k}$를 고려하지$$ 않고 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 syzy라고 부르는 것은 타당하다. 왜냐하면, syzy 모듈이 선택한 생성 세트에 의존하지만, 대부분의 속성은 독립적이기 때문이다$$. 아래 § 안정적 속성을 참조하십시오.

만약 R 링이 노메테리아식이라면, 혹은 적어도 일관성이 있고, M이 미세하게 생성된다면, 시지 모듈 또한 미세하게 생성된다.이 시지 모듈의 시지 모듈은 M의 두 번째 시지 모듈이다. 이런 식으로 계속하면 모든 양의 정수 k에 대해 kth 시지 모듈을 정의할 수 있다.

Hilbert의 syzy 정리에서는 M이 필드 위에 있는$$ 다항 링 $[x1$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,$$ $]$에 대해 정밀하게 생성된 $모듈$이라면, n번째 $syzy 모듈$은 자유 모듈이라고 주장한다.

안정적 특성

일반적으로 K이론의 언어에서는 충분히 큰 자유 모듈로 직접 합을 만들어 그것이 사실화되면 속성이 안정된다.시지즈 모듈의 근본적인 특성은 관련 모듈에 대한 세트 생성 선택에 "안정적으로 독립적"이 있다는 것이다.다음과 같은 결과가 이러한 안정적 성질의 기초가 된다.

증명.${\displaystyle }${ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $}$ {\$displaystyle$\{$x_{1},\dots,x_{m}\}\}}}$이(가) 생성 집합이므로$$,$$ yi {\$displaystyle$ $y_{i}}$는${\displaystyle {}_{}{y}_{}}$ =$$ i${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}${\$displaystystyle \sumalpha _{i,j}.$$}}$이(가) x ${\displaystyle 1_{}}$${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle y_{}}$ .${\displaystyle {}_{}}$. . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ 사이의 관계$$ $r{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$를 제공한다.$}$ Now, if ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$ is any relation, then ${\displaystyle \textstyle r-\sum b_{i}r_{i}}$ is a relation between the ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ only.In other words, every relation between ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$ is a sum of a relation between ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$ and a linear combination of the ${\displaystyle r_{i}}$s.이러한 분해가 독특하다는 것을 증명하는 것은 간단하며, 이것이 그 결과를 증명한다.${\displaystyle \blacksquare }$

이것은 첫 번째 시지 모듈이 "안정적으로 독특하다"는 것을 증명한다.더 정확히 말하면, 모듈$$ M의 $두{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {생성\mathrm{}}_{}}$ 세트 S 1 ${\$} 및 S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1$$}:{$$1$}와 S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ S_{2}}가$해당$ 관계의 모듈이라면$$, 두 개의 무료 모듈 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}과$$ $L{\displaystyle {}_{}}$$}$이 존재한다.${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$$displaystyle$ ${\displaystyle {L\_\mathrm{}}_{}}$${1$}{$1}\displaystyle S_{$1}\$oplus L_{1$}:{1$},$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$⊕ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaysty S_{2}\oplus L_{2$}}이$$$$ 이형체인 경우$$$.$이를 증명하기 위해, 두 발전기 집합의 조합 관계에 대한 모듈의 두 가지 분해를 얻기 위해 앞의 명제를 두 배로 적용하는 것으로 충분하다.

상위 syzy 모듈에서 유사한 결과를 얻기 위해서는 M이 어떤 모듈이고 L이 자유 모듈이라면 M과 M ⊕ L이 이소모르픽 syzy 모듈을 가지고 있다는 것을 증명해야 한다.M의 생성 세트와 L의 기초로 구성된 M ⊕ L의 생성 세트를 고려하는 것으로 충분하다.이 생성 집합의 요소들 사이의 모든 관계에 대해, L의 기본 요소의 계수는 모두 0이며, M ⊕ L의 시지기는 정확히 0 계수로 확장된 M의 시지이다.이로써 다음과 같은 정리까지 증명할 수 있게 되었다.

자유 결의가 있는 관계

Given a generating set ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ of an R-module, one can consider a free module of L of basis ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n},}$ where ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$ are new indeterminates.이것은 정확한 순서를 정의한다.

$L\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

여기서 왼쪽 화살표는 각 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 해당하는 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle g_{i}$에 매핑하는 선형 맵이다.$}}$ 이 왼쪽 화살표의 낟알은 M의 첫 번째 시지 모듈이다.

이 낟알을 M 대신하여 이 낟알을 반복할 수 있다. 이 낟알을 거듭 반복하면 길고 정확한 순서를 얻게 된다.

$\displaystyle \cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

여기서 모든 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 무료 모듈이다$$.정의상 그렇게 긴 정확한 순서는 M의 자유 분해능이다.

≥1마다 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ - 1${\$에서 시작하는 화살표의$$ 커널 ${\displaystyle S_{}}$ k ${\$은 M의 k번째 syzy 모듈이다$$.자유 해상도 연구는 시지 모듈 연구와 동일하다는 결과가 뒤따른다.

$자유{\displaystyle {}_{}}$ 분해능은 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$이 자유인$$ 경우 길이 ≤ n으로 제한된다.이 경우 k > n마다 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= S ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle L_{n}=S_{n}},$ ${\displaystyle L_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L_{k}=0}($제로 모듈)을 취할 수 있다.

이를 통해 힐버트의 시지 정리정돈을 다시 할 수 있다.$R{\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$, x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots,x_{n}}}$이(가) 필드 K 위에 n개 미만으로 이루어진 다항식 링이라면, 모든 자유 분해능은 최대 n개 길이로 제한된다.

정류형 노메트리안 링의 글로벌 치수는 무한하거나, 모든 자유 분해능이 최대 n의 길이에 한정되는 최소 n이다.노메테리아 링은 지구적 차원이 유한하면 규칙적이다.이 경우 글로벌 차원은 Krull 차원과 동일하다.그래서 힐버트의 시지 정리(syzygy orgin)는 많은 수학을 감추고 있는 매우 짧은 문장으로 재작성될 수도 있다.들판 위의 다항식 링은 일반 링이다.

사소한 관계

정류 링 R에서는 항상 ab–ba = 0을 가진다.이것은 (b, –a)가 a와 b 사이의 선형 관계라는 것을 사소한 것으로 암시한다.따라서 이상적인 I의 생성$$ 집합 ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$를 지정하면, 두 생성 요소 사이의 이러한 사소한 관계에 의해 생성되는 syzy 모듈의 모든 요소를 사소한 관계나 사소한 syzy라고 부른다.더 정확히 말하면, 사소한 시지기의 모듈은 관계에 의해 생성된다.

${\displaystyle r_{i,j}=(x_{1},\reason,x_{r})}$

이러한$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle x_{i}=g_{j},}$ $x$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{j}=-g_{i},$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{h}=0},$ 그렇지 않은$$ 경우.

역사

시지라는 단어는 아서 케일리의 연구와 함께 수학에 들어왔다.^[1]그 논문에서 케일리는 그것을 결과론 및 차별 이론에 사용하였다.^[2]시지라는 단어는 행성들 사이의 선형 관계를 나타내기 위해 천문학에서 사용되었으므로, 케일리는 이것을 2×3 행렬의 경우처럼 행렬의 미성년자 사이의 선형 관계를 나타내기 위해 사용했다.

${\displaystyle a\,{\put{vmatrix}b&c\e&f\end{vmatrix}-b\d&f\end{vmatrix}a&c}+c\,{\put{vmatrix}a&b\d&e\{vmatrix}=0.}$

그 후 다항식, 힐베르트의 시지 정리, 힐베르트의 기본 정리, 힐베르트의 널스텔렌사츠에 대한 세 가지 근본적인 정리들을 담고 있는 데이비드 힐베르트의 1890년 논문에서 시지라는 단어가 대중화되었다.

캐일리는 그의 글에서 수학자 장루이 코즐에 의해 차등 기하학에서 비슷한 구조를 만든 후, 후에^[3] 코즐 콤플렉스라고 불렸던 것을 특별한 경우에 사용한다.

메모들

참조

• Cox, David; Little, John; O’Shea, Donal (2007). "Ideals, Varieties, and Algorithms". Undergraduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-0-387-35651-8. ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN 0172-6056.
• Cox, David; Little, John; O’Shea, Donal (2005). "Using Algebraic Geometry". Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b138611. ISBN 0-387-20706-6.
• Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• 데이비드 아이젠버드, 《시지스의 기하학》, 《수학 대학원 텍스트》, 제229권, 《스프링거》, 2005.