하이퍼볼라이제이션 정리

기하학에서 Thurston의 기하학 정리 또는 하이퍼볼라이제이션 정리는 닫힌 아토로이드 하켄 다지관이 쌍곡선이며, 특히 Thurston 추측을 만족시킨다는 것을 암시한다.

성명서

Thurston의 기하학적 정리 중 한 형태는 다음과 같이 명시되어 있다.만약 M이 경계가 0 오일러 특성을 갖는 소형 무환원성 아토로이드 하켄 다지관이라면, M의 내부는 유한 부피의 완전한 쌍곡선 구조를 가지고 있다.

모스토우 강성 정리는 최소 3차원의 다지관이 유한 부피의 쌍곡 구조를 가지고 있다면 본질적으로 고유하다는 것을 암시한다.

쌍곡 다지관에는 이러한 특성이 있기 때문에 다지관 M이 환원할 수 없고 아토로이드여야 하는 조건이 필요하다.그러나 다지관이 하켄이라는 조건은 불필요하게 강하다.Thurston의 과대볼화 추측에 따르면 무한 기본 집단을 가진 닫힌 무적화 아토로이드 3-매니폴드는 쌍곡선이며 이는 Thurston 기하학적 추측에 대한 Perelman의 증거에서 나온 것이다.

경계가 있는 다지관

Thurston(1982년, 2.3년)은 소형 3 다지관이 원시적이고 균질하게 무원형이며 비원형 경계를 가지고 있다면, 경계 T가² 있는 특정 다지관(T²×[0,1]/Z/2Z에 대한 동형성이 아닌 한 완전한 쌍곡 구조를 가지고 있다는 것을 보여주었다.

콤팩트한 방향의 3-매니폴드 내부의 쌍곡 구조물은 쌍곡 구조가 있지만 유한 부피가 없는 다지관 T²×[0,1]를 제외하고 모든 경계 구성요소가 tori인 경우에만 유한 부피를 가진다(Thurston 1982, 페이지 359).

교정쇄

Thurston은 그의 주장의 일부가 Thurston(1986, 1998a, 1998b)에 포함되어 있음에도 불구하고 (Thurston 1994)에서 설명한 이유로 그의 정리에 대한 완전한 증거를 결코 발표하지 않았다.월(1984년)과 모건(1984)은 서스턴의 증거에 대한 요약을 했다.오탈(1996)은 다지관의 경우 원 위에 섬유질이 있다는 증거를, 오탈(1998)과 카포비치(2009)는 원 위에 섬유질이 없는 다지관의 일반적인 경우에 대한 증거를 제시했다.Thurston의 기하학적 정리 또한 보다 일반적인 Thurston 기하학적 추측 추측의 Ricci 흐름을 이용한 Perelman의 증거에서 따온 것이다.

원 위의 섬유 다지관

이 사건에 대한 Thurston의 원래 주장은 Sullivan(1979) harvtxt error: no target: CITREFSulliban1979 (도움말)에 의해 요약되었다.오탈(1996)은 다지관의 경우 원 위에 섬유질이 있다는 증거를 제시했다.

이 특수한 경우에 서스턴의 기하학적 정리에서는 M이 원 위에 있는 섬유질 3-매니폴드이고 그 모노드롬이 사이비 아노소프 차이점형이라면, M의 내부는 유한 부피의 완전한 쌍곡선 지표를 갖는다고 되어 있다.

원 위로 섬유질하지 않는 다지관

오탈(1998년)과 카포비치(2009년)는 서클 위에 섬유질을 하지 않는 다지관의 일반적 사례에 대해 서스턴의 정리 증거를 제시했다.

증거의 아이디어는 새로운 다지관 N을 얻기 위해 압축 불가능한 표면을 따라 Haken 다지관 M을 절단하는 것이다.유도에 의해 N의 내부가 쌍곡 구조를 가지고 있다고 가정하고, 문제는 N의 경계까지 확장되어 함께 접착될 수 있도록 수정하는 것이다.Thurston은 이것이 스키닝 맵이라고 불리는 Teichmuller 공간의 지도를 위한 고정된 지점이 존재함에서 따른다는 것을 보여주었다.기하학 정리 증명의 핵심은 N이 표면 위의 구간다발이 아니고 M이 아토로이드라면 스키닝 맵은 고정점이 있다는 것을 증명하는 것이다. (N이 구간다발이라면 스키닝 맵은 고정점이 없기 때문에 M이 원을 넘어 섬유를 할 때 별도의 주장이 필요하다.)맥멀런(1990)은 스키닝 맵의 고정된 지점이 존재한다는 새로운 증거를 제시했다.

참조

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외부 링크

• Kapovich, M., Geometrization theorem (PDF)