유사권

기하학에서 의사권은 일정한 음의 가우시안 곡률을 갖는 표면입니다.

$\mathbb {R} ^{3}$ 3 {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 에서 반지름 $R$ 의 유사구면은 $각 2$ 점에서 $곡률$ 이 -1 $/$ R인 $\mathbb {R} ^{3}$ 표면입니다 $.$ 그것의 이름은 곡률 $1 / R$ 의² 표면인 반지름 $R$ 의 구와 유사한 것에서 왔습니다. 이 용어는 에우제니오 벨트라미가 1868년 쌍곡기하학 모형에 관한 논문에서 소개했습니다.^[1]

트랙로이드

동일한 표면은 트랙트릭스의 점근선을 중심으로 회전한 결과로도 설명될 수 있습니다. 이러한 이유로 가성권은 트랙로이드라고도 불립니다. 예를 들어, (반쪽) 유사권(반지름이 1인)은^[2] 다음에 의해 매개변수화된 트랙트릭스의 회전 표면입니다.

t\maps to \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty.

그것은 특이 공간(적도는 특이점)이지만 특이점에서 벗어나 일정한 음의 가우시안 곡률을 가지므로 쌍곡면과 국소적으로 등각입니다.

구면이 일정한 양의 가우시안 곡률을 가진 표면을 가지고 있는 것처럼, "가우시안"이라는 이름은 일정한 음의 가우시안 곡률을 가진 2차원 표면을 가지고 있기 때문에 생겨났습니다. 구면이 모든 점에 돔의 양의 곡선 기하학을 가지고 있는 것처럼, 전체 유사권은 모든 점에 안장의 음의 곡선 기하학을 가지고 있습니다.

일찍이 1693년에 크리스티아누 호이겐스는 회전축을 따라 모양이 무한히 ^[3]확장되었음에도 불구하고 유사권의 부피와 표면적이 유한하다는 것을 발견했습니다. 주어진 간선 반지름 $R$ 의 경우, 넓이는 구와 마찬가지로 $4$ πR이고, $부피$ 는 2/3 πR이므로 구 반지름의 절반입니다.

범용 피복 공간

곡률 -1의 절반 유사권은 호로사이클의 내부에 의해 덮여 있습니다. Poincaré 반평면 모형에서 $한$ 가지 편리한 선택은 y ≥ $1인$ 반평면의 부분입니다. 그런 다음 피복 지도는 기간 2 π의 x 방향으로 주기적이며 호로사이클 y = c를 유사권의 자오선으로, 수직 측지학 x = c를 유사권을 생성하는 트랙스로 가져갑니다. 이 매핑은 로컬 등각이므로 상위 반평면의 $부분$ $y$ ≥ 1을 유사권의 보편적인 피복 공간으로 표시합니다. 정확한 맵핑은

(x,y)\map to {\big(}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big)}

어디에

t\map to {\big(}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big)}

위 트랙트릭스의 매개변수화입니다.

쌍곡선

쌍곡면의 쌍곡면 모델을 사용하는 일부 소스에서는 쌍곡면을 의사권(pseudosphere)이라고 합니다.^[7] 이 단어의 사용은 쌍곡선이 민코프스키 공간에 포함된 가상의 반지름의 구로 생각될 수 있기 때문입니다.

유사구면

유사구면은 유사구면의 일반화입니다. 일정한 음의 곡률을 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ R $\mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $3}}$ 에 조각별로 부드럽게 침지된 표면은 유사구면입니다. 트랙트로이드는 가장 간단한 예입니다. 다른 예로는 Dini 표면, 브리더 표면 및 Kuen 표면이 있습니다.

사인-고든 방정식의 해에 대한 관계

유사구면은 Sine-Gordon 방정식의 해로부터 구성할 수 있습니다.^[8] 스케치 증명은 트랙로이드를 가우스-코다찌 방정식을 사인-고든 방정식으로 다시 쓸 수 있는 좌표로 다시 매개변수화하는 것으로 시작됩니다.

특히 트랙로이드의 경우 가우스-코다찌 방정식은 정적 솔리톤 해에 적용되는 사인-고든 방정식이므로 가우스-코다찌 방정식은 만족됩니다. 이 좌표에서 첫 번째와 두 번째 기본 형태는 사인-고든 방정식의 해에 대해 가우스 곡률이 -1임을 분명히 하는 방식으로 작성됩니다.

그러면 사인-고든 방정식에 대한 모든 해는 가우스-코다찌 방정식을 만족하는 첫 번째와 두 번째 기본 형태를 지정하는 데 사용될 수 있습니다. $\mathbb {R} ^{3}$ 다음 이러한 초기 데이터 집합을 사용하여 R $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 에서 적어도 국부적으로 몰입 표면을 지정할 수 있다는 정리가 있습니다 $\mathbb {R} ^{3}$

Sine-Gordon 용액과 해당 표면의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

정적 1-솔리톤: 의사권
1-솔리톤 이동: 디니 표면
브리더 솔루션: 브리더 표면
2솔리톤:쿠엔면

참고 항목

참고문헌

^ Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea" [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Gior. Mat. (in Italian). 6: 248–312.
(또한;
Beltrami, Eugenio (1869). "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne" [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Annales de l'École Normale Supérieure (in French). 6: 251–288. Archived from the original on 2016-02-02. Retrieved 2010-07-24.)
^ Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X.Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X.5장 108페이지
^ Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (revised, 3rd ed.). Springer Science & Business Media. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8.345쪽 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (revised, 3rd ed.). Springer Science & Business Media. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8.초본
^ Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (2 ed.). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5.Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (2 ed.). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5.40장 154페이지
^ Weisstein, Eric W. "Pseudosphere". MathWorld.
^ Thurston, William, Three-dimensional geometry and topology, vol. 1, Princeton University Press, p. 62.
^ Hasanov, Elman (2004), "A new theory of complex rays", IMA J. Appl. Math., 69: 521–537, doi:10.1093/imamat/69.6.521, ISSN 1464-3634, archived from the original on 2013-04-15
^ Wheeler, Nicholas. "From Pseudosphere to Sine-Gordon equation" (PDF). Retrieved 24 November 2022.

Stillwell, J. (1996). Sources of Hyperbolic Geometry. Amer. Math. Soc & London Math. Soc.
Henderson, D. W.; Taimina, D. (2006). "Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History". Aesthetics and Mathematics (PDF). Springer-Verlag.
Kasner, Edward; Newman, James (1940). Mathematics and the Imagination. Simon & Schuster. pp. 140, 145, 155.

외부 링크

비유클리드
쌍곡면 크로체팅: 데이비드 헨더슨과 다이나 타이미나의 인터뷰
노먼 와일드버거 강의 16, 뉴사우스웨일스 대학교 수학사. 유튜브 2012년 5월
가상 수학 박물관의 유사구면.

[1] Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea" [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Gior. Mat. (in Italian). 6: 248–312.
(또한;
Beltrami, Eugenio (1869). "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne" [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Annales de l'École Normale Supérieure (in French). 6: 251–288. Archived from the original on 2016-02-02. Retrieved 2010-07-24.)

[2] Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X.Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X.5장 108페이지

[3] Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (revised, 3rd ed.). Springer Science & Business Media. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8.345쪽 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (revised, 3rd ed.). Springer Science & Business Media. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8.초본

[4] Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (2 ed.). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5.Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (2 ed.). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5.40장 154페이지

[5] Weisstein, Eric W. "Pseudosphere". MathWorld.

[6] Thurston, William, Three-dimensional geometry and topology, vol. 1, Princeton University Press, p. 62.

[7] Hasanov, Elman (2004), "A new theory of complex rays", IMA J. Appl. Math., 69: 521–537, doi:10.1093/imamat/69.6.521, ISSN 1464-3634, archived from the original on 2013-04-15

[wheeler-8] Wheeler, Nicholas. "From Pseudosphere to Sine-Gordon equation" (PDF). Retrieved 24 November 2022.

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