LIBOR 시장 모델

BGM 모델(Brace Gatareck Mussiela Model, 일부 발명가의 이름을 참조)이라고도 하는 LIBOR 시장 모델은 금리의 금융 모델이다.^[1] 그것은 특히 버무단 스와핑, 래칫 상한 및 바닥과 같은 이국적인 파생상품, 목표 상환권, 오토캡, 제로 쿠폰 스와핑, 지속적인 만기 스왑 및 스프레드 옵션의 가격 책정에 사용된다. (히스-자로우-모턴 프레임워크에서와 같이) 짧은 비율이나 순간적인 선도 비율이 아닌 모델링된 수량은 선도율(전방 LIBOR라고도 함)의 집합으로, 시장에서 직접 관측할 수 있다는 장점이 있고, 그 유동성이 트레이드 계약과 자연스럽게 연계되어 있다. 각 선도이자율은 그것의 선도적 측정, 즉 이자율 상한에 대한 블랙 공식으로 이어지는 블랙 모델과 같은 대수 정규 공정에 의해 모델링된다. 이 공식은 내재된 휘발성 측면에서 상한 가격을 인용하기 위한 시장 표준이며, 따라서 "시장 모델"이라는 용어는 다음과 같다. LIBOR 시장 모델은 다양한 선도이자율에 대한 선도 LIBOR 역동성의 집합으로 해석될 수 있으며, 각 선도이자율은 표준 만기에 대한 블랙 금리상한제와 일관된다. 공통의 가격책정에 따라 다른 요율역학(예: 선호되는 단일 만기에 대한 선도적 조치)을 작성할 수 있으며, 이 경우 선도 요율은 일반적으로 고유한 측정치에 따라 대수 정규적이지 않기 때문에 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 수치적 방법이나 동결 드리프트 어스펌프와 같은 근사치가 필요하게 된다.티온

모델 동적

LIBOR 시장 모델은 $로그{\displaystyle }$ 정규 공정으로$$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle$ n$}$의 선도$$ 비율 L $j{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle j}$= ${\displaystyle 1}$, n${\displaysty j=1,\ldots ,n}$을(를) 모델링한다. 각각의 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 아래에서 -전방$$ 측정 Q ${\displaystyle {T_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j{}_{}}_{}}$+ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$ ${\$

${\displaystyle dL_{j}(t)=\mu _{j}(t)L_{j}(t)dt+\sigma _{j}(t)L_{j}(t)dW^{Q_{T_{j+1}}(t){\text{.}}}$^[2]

여기서 우리는 ${\displaystyle {\mu j}_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu _{j}(t)=0,\forall$ t$}($중심 $프로세스$)을 고려할 수 있다. 여기서 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 기간의 전진 속도${\displaystyle }$[${\displaystyle T_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle T_{}}$j + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [T_{j},T_{j+1$}]이다$.$ 각 단일 전진 속도마다 모델은 블랙 모델에 해당한다.

참신함은 블랙 모델과 대조적으로 LIBOR 시장 모델은 공통의 척도로 전체 선도율 계열의 역동성을 기술한다는 것이다. 이제 문제는 다른 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ - Forward$$ 조치 사이에서 어떻게 전환하느냐 하는 것이다. 다변량 기르사노프의 정리를 통해서는 그것을 보여줄^[3][4] 수 있다.

${\displaystyle dW^{Q_{T_{j}}(t)={\begin{case}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\dW^{Q_{T_{p}}(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qqquad \quad \quad \quad \quad \quadW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad \quad j>p\\\end{cases}}}$

그리고

${\displaystyle dL_{j}(t)={\begin{case}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\quad \qquad j>p\\\end{cases}}}$

참조

문학

• 브레이스, A, Gatareck, D. et Musiela, M.(1997): 「금리 역학의 시장 모델」, 수학적 금융, 7(2), 127-154.
• Miltersen, K, Sandmann, K. et Sondermann, D, (1997): „ 정상 금리가 있는 기간 구조 유도체를 위한 폐쇄형 폼 솔루션", Journal of Finance, 52(1), 409-430.
• Wernz, J. (2020): "은행 관리 및 통제", 스프링거 네이처, 85-88

외부 링크

• LIBOR 시장 모델 및 몬테카를로 방식에 따른 가격 책정용 자바 애플릿
• 교정과 스왑, 제품 평가 등 LIBOR 시장 모델의 Jave 소스 코드 및 스프레드시트
• 다미아노 브리고의 보코니대 고정소득과정 LIBOR 시장모델에 대한 강의 노트