등방성 다지관

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수학에서 등방성 다지관은 기하학이 방향에 의존하지 않는 다지관이다.Formally, we say that a Riemannian manifold ${\displaystyle (M,g)}$ is isotropic if for any point ${\displaystyle p\in M}$ and unit vectors ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$, there is an isometry ${\displaystyle \varphi }$ of ${\displaystyle M}$ with ${\displaystyle$$\varphi (p)=p}$ and ${\displaystyle \varphi _{\ast }(v)=w}$. Every connected isotropic manifold is homogeneous, i.e. for any ${\displaystyle p,q\in M}$ there is an isometry ${\displaystyle \varphi }$ of ${\displaystyle M}$ with ${\displaystyle \varphi (p)=q.}$$$ This can be seen by considering a geodesic ${\displaystyle \gamma :[0,2]\to M}$ from ${\displaystyle p}$ to ${\displaystyle q}$ and taking the isometry which fixes ${\displaystyle \gamma (1)}$ and maps ${\displaystyle \gamma '(1)}$ to ${\displaystyle -\g$$암마$$'(1)$$}$

예

단순하게 연결된 공간 형식(n-sphere, 쌍곡선 공간 및 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은 등방성이다.일반적으로 일정한 곡률 다지관이 등방성이라는 것은 사실이 아니다. 예를 들어 평면 $토러스{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{\mathbb{}}^{}}$ ${\$ T$=\mathb {R} ^{2}/\mathb {Z} ^{$2}}은 등방성이 아니다$$.This can be seen by noting that any isometry of ${\displaystyle T}$ which fixes a point ${\displaystyle p\in T}$ must lift to an isometry of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ which fixes a point and preserves ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$; thus the group of isometries of ${\displayst$$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 수정하는$$ $yle T}$은(는) 개별적이다.더욱이 일정한 곡률과 음의 오일러 특성을 가진 어떤 방향의 표면도 등방성인 것과 같은 방법으로 볼 수 있다.

또한 푸비니-스터디 메트릭이 장착된 복합 투사 공간 C ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$> ${\displaystyn>1$과 같이 일정한 곡률을 가지지 않는 등방성 다지관이 있다.실로 모든 상수 곡률 manifolds 그들의 보편적인 방어가 없는 구체, 혹은 쌍곡선 공간, 또는 Rn{\displaystyle \mathbb{R}^{n}},지만 CPn{\displaystyle \mathbb{CP}^{n}로 homotop 예를 들어 볼 수 있}이 아니라 구체(n을을 위해;1{\displaystyle n> 1}),simply-connected다.ygro$긴{\displaystyle }$ 정확한 진동 ${\displaystyle \mathrm{U}}$(1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 정확한 시퀀스에서 계산.

Further examples of isotropic manifolds are given by the rank one symmetric spaces, including the projective spaces ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$, and ${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$, as well as그들의 비복합적 쌍곡선 유사점

다지관은 제품 메트릭스와의$$ 플랫 토러스 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 또는$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R} \times S^{2}}$와 같이 균일하지만 등방성이 아닐 수 있다.

참고 항목

• 우주론 원리
• 산술의 등방성 다지관.StackExchange(2013년 7월)

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