판제르 재귀

The Panjer recursion is an algorithm to compute the probability distribution approximation of a compound random variable ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$ where both ${\displaystyle N\,}$ and ${\displaystyle X_{i}\,}$ are random variables and of special types.더 일반적인 경우에 S의 분포는 복합적인 분포다.검토된 특별 사례에 대한 재귀는 해리 팬저(Distued Emeritude, University of Waterloo^[2])의 논문에서 소개되었다.그것은 보험수리적 과학에서 많이 사용된다(시스템적 위험 참조).

예선

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{복합}}}$ 랜덤 변수 $S{\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{N}}}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i $displaystyle$ S$=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\},$ $여기$서 N ${\$ 및$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}${\$displaysty X_{i}\}\}}}$는 다음과 같은 전제조건을 충족한다$$.

크레임크기분포

We assume the ${\displaystyle X_{i}\,}$ to be i.i.d. and independent of ${\displaystyle N\,}$. Furthermore the ${\displaystyle X_{i}\,}$ have to be distributed on a lattice ${\displaystyle h\mathbb {N} _{0}\,}$ with latticewidth ${\displaystyle h>0\,}$.

${\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].\,}$

보험수리적 실무에서 ${\displaystyle {Xi}_{}}$ $displaystyle X_{i}\,}$은(는) 클레임 밀도함수(상단, 하단...)의 분석을 통해 얻는다$$.

클레임번호분포

클레임 수 N은 "클레임 수 분포"가 있다고 하며, 값 0, 1, 2, .... 등을 취할 수 있는 랜덤 변수다."Panjer 재귀"의 경우, N의 확률 분포는 (a,b,0) 분포로 알려진 팬저 클래스의 멤버여야 한다.이 세분류는 다음 관계를 충족하는 모든 계산 랜덤 변수로 구성된다.

${\displaystyle P[N=k]=p_{k}=\왼쪽(a+{\frac {b}{k}\오른쪽)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\,}$

for some ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ which fulfill ${\displaystyle a+b\geq 0\,}$. The initial value ${\displaystyle p_{0}\,}$ is determined such that ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,}$

판제르 재귀는 이 반복 관계를 이용하여 S의 확률 분포를 구성하는 재귀적 방법을 명시한다.다음 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\$에서 N의 확률 생성 함수를 나타냄$$: 여기에 대한 (a,b,0) 분포의 표를 참조하십시오.

클레임 번호가 알려진 경우, De Pril 알고리즘을 참고하십시오.^[3]이 알고리즘은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 이산$$ 랜덤 변수의 총 분포를 계산하는 데 적합하다.^[4]

재귀

알고리즘은 이제 g ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle P}$[ ${\displaystyle S}$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$을(를) 계산하는 재귀성을 부여한다$.$

시작 값은 ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\$ 특별한$$ 경우

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\cdot {\text{{}}}}\cdot {exp(f_{0}b)\properties{{}}}}}\cditut{$

그리고

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}:{1-f_{0}a)^{1+b/a}\committee {\text{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 계속 진행하다

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}\sum _{j=1}^{k}\좌측(a+{\frac {b\cdot j}{k}\오른쪽)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}\,},},},}$

예

The following example shows the approximated density of ${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ where ${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$ and ${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{F$격자 폭 h = 0.04를 갖는$$ $recet1}(1.7,1)$(프레셰 분포 참조)

관찰한 바와 같이 재귀 초기화 시 문제가 발생할 수 있다.Guégan과 Hassani(2009)는 이 문제를 해결하기 위한 해결책을 제안했다.^[5]

참조

외부 링크

• Panjer 재귀 및 사용할 수 있는 분포