제3원본형

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차등 기하학에서 세 번째 기본 형태는 $I{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle I\mathrm{}}$ ${\$로 표시된 지표면 메트릭이다.$I\!I}$ 두 번째 기본 형태와는 달리 표면 정상과는 무관하다.

정의

S를 형상 연산자로 하고 M을 매끄러운 표면으로 한다.또한 u와_p v를_p 접선 공간 T_p(M)의 요소가 되게 한다.세 번째 기본 형식은 다음에 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I}(\mathbf {u} _{p},\mathbf {v} _{p})=S(\mathbf {u} _{p})\cdot S(\mathbf {v} _{p})\,}$

특성.

세 번째 기본 형태는 첫 번째 기본 형태와 두 번째 기본 형태 측면에서 전체적으로 표현할 수 있다.H를 표면의 평균 곡률로 하고 K를 표면의 가우스 곡률로 하면

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} -2H\수학사 {I\!I} +K\mathrm {I} =0\,.}$

형상 연산자가 자가 적응하기 때문에 u,v t_p T(M)를 찾을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I}(u,v)=\langle Su, Sv\rangle =\langle u, S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle \,}$

참고 항목

• 미터법 텐서
• 첫 번째 기본 형태
• 두 번째 기본 형태
• Tautological 단일 형식