자코비 필드

리만 기하학에서 자코비 장은 리만 다지관의 지오데틱 ${\displaystyle \gamma }$을 따라 있는 벡터 필드로서, 지오데틱과 "적외적으로 가까운" 지오데틱의 차이를 설명한다. 즉, 지오디컬을 따라 있는 자코비 장은 모든 지오디컬의 공간에서 지오디컬에 접선 공간을 형성한다. 그것들은 칼 자코비의 이름을 따서 지어졌다.

정의 및 속성

자코비 밭은 다음과 같은 방법으로 얻을 수 있다. $\gamma {\displaystyle {}_{}}$$${0}=\$displaystyle \gamma$_{\$tau$}}}을$$(를) 사용하여 부드러운 한 파라미터 제품군인 지질학$$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \gamma$ _{$0}=\gamma },$

$J(t)=\왼쪽.{\frac {\tu \property \prote _{\tau }}{\pair \tau }}\오른쪽 _{\tau =0}}}$

Jacobi 분야로서, 주어진 지질학적 $\gamma {\displaystyle }${\$displaystyle \gamma}$의 극소수 근방에서 지질학의 행동을 설명한다$.$

지오데틱 ${\displaystyle \gamma}$을 따라가는 벡터 필드 J는 자코비 방정식을 만족하면 자코비 필드라고 한다$$.

${\displaystyle {\frac{D^{2}}{dt^{2}}J(t)+R(J(t),{\dot{\gamma }}(t){\dot {\dot }}(t)=0,}$

여기서 D는 Levi-Civita 연결에 관한 공변량 파생물을 나타내며, R the Riemann 곡률 텐서,${\displaystyle \stackrel{}{}}\gamma {\displaystyle \stackrel{}{}}$(${\displaystyle }$t ) = ${\displaystyle dt(}$t ) / ${\displaystyle d}$ $t$ {\$dot {\gamma }}}}}\d\gamma$ (t$)/$dt}의$$ 접선 벡터 $필드의 매개변수다.$ 완전한 리만 다지관에는, 어떤 자코비 분야에 대해서도, 그 분야를 기술하는$$ 지질학 ${\$이 있다(앞 단락과 같다.

자코비 방정식은 선형 2차 일반 미분 방정식이며, 특히$\gamma$의 한 $지점$에서 J ${\$$dtyle J$$}$과 $D{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{dt}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\dt}{$$dt$$}J}$의 값이 자코비 필드를 고유하게$$ 결정한다. 더욱이 주어진 지오데틱을 따라 이루어진 자코비장 세트는 다지관의 두 배 치수의 실제 벡터 공간을 형성한다.

자코비 분야의 사소한 예로 $\gamma {\displaystyle \stackrel{}{}}$($){\displaystyle {\dot {\gamma }}$과 $t{\displaystyle }$ $){\dot{\dot {\gamma }}$을(를$)$ 들 수 있다$.$ These correspond respectively to the following families of reparametrisations: ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)}$ and ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)}$.

Any Jacobi field ${\displaystyle J}$ can be represented in a unique way as a sum ${\displaystyle T+I}$, where ${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$ is a linear combination of trivial Jacobi fields and ${\displaystyle I(t)}$ is orthogonal to ${\displaystyle \stackrel{}{\gamma }}$(${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {\dot {\$dot{\$dot}}(t$ 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyty t}$에 대해 $.$ 그러면$$ 필드 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 변경된 매개 변수만 사용하여 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$과(와) 동일한 지질학적 변동에 대응한다$.$

동기부여 사례

구체에서 북극을 통과하는 지오데틱스는 위대한 원이다. 자연 파라미터가 $있는$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \gamma _{0}$ 및$$ ${\$${\displaystyle \mathrm{gamma}}$ $_{\tau }}$을(를$)$ 각도 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \t$$\in [0,\pi$ $})$로 구분한 두 개의 지오디렉티브를 고려하십시오$.$

${\displaystyle d(\displaystyle _{0}(t)),\display _{\tau }(t)\,}$

이다

${\displaystyle d(\displaystyle _{0}(t),\display _{\tau }(t)=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {1+\coses ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}{\bigg )}}.}$

이것을 계산하기 위해서는 지오디컬을 알아야 한다. 가장 흥미로운 정보는 단지

${\displaystyle d}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle \pi }$ ) ,${\displaystyle {\gamma }_{}}$ (${\displaystyle \pi }$ ) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle d(\pi$ _{0}(\$pi ),\display _{\tau }(\pi$)=$0$ 모든 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$ $\}.$

대신 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle \tau }$의 τ ${\$$displaystyle \tau$ =$0}$에 대한 파생상품을 고려할 수 있다$.$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau}}}{\bigg }_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t)=J(t) =\sin t.}}$

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle t=\pi }$에서 지오데틱의 교차점을 감지한다는 점에 유의하십시오$.$ 이 파생 모델을 계산하기 위해 실제로 알 필요가 없다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle d}$ (${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\$ d$(\property _{0}(t),\property _{\tau }(t)\,},$ $,,$

오히려 우리가 해야 할 일은 방정식을 푸는 것이다.

${\displaystyle {}^{}\mathrm{y}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$+ ${\displaystyle y}$= 0 ${\$ y$'+y=0$

일부 초기 데이터에 대해 조사하십시오.

자코비 분야는 임의의 리만 다양체에게 이 현상을 자연적으로 일반화시킨다.

자코비 방정식 해결

Let ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/ {\dot {\gamma }}(0) }$ and complete this to get an orthonormal basis ${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$ at ${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$. Parallel transport it to get a basis ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ all along ${\displaystyle \gamma }$. This gives an orthonormal basis with ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/ {\dot {\gamma }}(t) }$. The Jacobi field can be written in co-ordinates in terms of this basis as $J{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= y ${\displaystyle k^{}}$(${\displaystyle }$t ) ${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)},$ 따라서$$ sis as J ( ${\displaystyle t}$) = y k ( t ) e ${\displaystyle k_{}}$ (${\displaystyle t}$)}

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{dy^{k}}{dt}e_{k}(t),\quad {\frac{D^{d^{2}}}J=\{k}{d^{d^{2}y^{k}}}{dt^{d^}}}e_{k}}}},}}}}}}}}}}}}$

그리고 자코비 방정식은 시스템으로서 다시 쓰일 수 있다.

${\dxyle{\frac{d^{2}y^{k}}{dt^{2}}+{dot{2}}+{{2}\sum _{j}(t)\langle R(e_{j}(t), e_{1}(t), e_{k}(t)}e_{k}(t)\0}$

$각{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$에 대해$.$ 이렇게 해서 우리는 선형 일반 미분 방정식을 얻는다. 이 ODE는 부드러운 계수를 가지고 있으므로, 모든 $t{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle t}$에 대해 솔루션이 존재하며$$, 모든 $k$에 $대해{\displaystyle {}^{}}$$$y ${\displaystyle k^{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ y$^{k}(0)$ 및$$ $y{\displaystyle {{}^{}}^{}}$ k$($가 주어지는 고유한 특성을 갖는다$.$

예

Consider a geodesic ${\displaystyle \gamma (t)}$ with parallel orthonormal frame ${\displaystyle e_{i}(t)}$, ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/ {\dot {\gamma }} }$, constructed as above.

• $){\$$displaystyle \gamma}{\$$dot {\gamma}}}$과 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma \stackrel{}{}}$($){\dot {\gamma }}}$이(가) 주어지는 벡터 필드는 자코비 필드다$$.
• 유클리드 공간(영원한 단면 곡률이 일정한 공간뿐만 아니라)에서 자코비 필드는 $단순히{\displaystyle }$ t$${\$displaystyle t}$의 선형에 해당하는 필드들이다$.$
• For Riemannian manifolds of constant negative sectional curvature ${\displaystyle -k^{2}}$, any Jacobi field is a linear combination of ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ and ${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t$$)\},$ 서 > 1 ${\displaystyle$ i$>1$
• For Riemannian manifolds of constant positive sectional curvature ${\displaystyle k^{2}}$, any Jacobi field is a linear combination of ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$ and $$${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t$ 서 > 1 ${\displaystyle$ i$>1$
• 킬링 벡터 필드를 지오데틱으로 제한하는 것은 리만 다지관의 자코비 필드다.

참고 항목

• 결합점
• 지오데틱 편차 방정식
• 라우치 비교 정리
• 엔자코비장

참조

• 만프레도 페르디강 두 카르모. 리만 기하학. 프란시스 플레허티가 포르투갈어 제2판을 번역했다. 수학: 이론 & 응용 프로그램. 1992년 Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. 시브+300 pp. ISBN0-8176-3490-8
• 제프 치거와 데이비드 G. 에빈. 리만 기하학의 비교 이론. 1975년 원본의 개정판. AMS 첼시 출판사, 프로비던스, RI, 2008. x+168 pp. ISBN 978-0-8218-4417-5
• 고바야시 쇼시치와 노미즈 가쓰미. 차동 지오메트리의 기초. 제2권 1969년 원본의 재인쇄. 와일리 클래식 라이브러리. 와일리-인터사이언스 출판물. 존 와일리 & 선즈 주식회사, 1996년 뉴욕. 16+468 페이지 ISBN 0-471-15732-5
• 배럿 오닐 반-리만 기하학. 상대성 이론에 응용하는 것. 순수 및 응용 수학, 103. Architective Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, Publishers, Publishers, 1983년 뉴욕] xii+468 페이지 ISBN 0-12-526740-1