첫 번째 기본 형태

미분 기하학에서 첫 번째 기본 형태는 R의³ 도트 제품에서 표준적으로 유도되는 3차원 유클리드 공간 표면의 접선 공간에 있는 내부 제품이다. 길이 및 면적과 같은 표면의 곡률 및 미터법 특성을 주변 공간과 일치하는 방식으로 계산할 수 있다. 첫 번째 기본 형태는 로마 숫자 1로 표시된다.

${\displaystyle \mathrm {I}(x,y)=\langle x,y\angle .}$

정의

X(u, v)를 파라메트릭 표면으로 한다. 그러면 두 개의 접선 벡터의 내적 생산물은

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}$

여기서 E, F, G는 첫 번째 기본 형태의 계수다.

첫 번째 기본 형태는 대칭 행렬로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {I}(x,y)=x^{\mathsf{T}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}y}$

추가 표기법

첫 번째 기본 형태가 오직 하나의 주장으로 쓰여질 때, 그것은 그 벡터의 내적 산물을 그 자체로 나타낸다.

${\displaystyle \mathrm {I}(v)=\langle v,v\rangele = v ^{2}}$

첫 번째 기본 형태는 종종 미터법 텐서의 현대식 표기법으로 쓰여진다. 계수는 g:로 기록할_ij 수 있다.

${\displaystyle \left(g_{ij}\오른쪽)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}\nd{pmatrix}={\begin{pmatrix}E>F\\F&G\end{pmatrix}}$

이 텐서의 성분은 접선 벡터 X와₁ X의₂ 스칼라 곱으로 계산된다.

${\displaystyle g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}}}$

i의 경우, j = 1, 2 아래 예제를 참조하십시오.

길이 및 면적 계산

첫 번째 기본 형식은 표면의 메트릭 속성을 완전히 설명한다. 따라서 표면의 곡선의 길이와 표면의 면적 등을 계산할 수 있다. 선 요소 ds는 첫 번째 기본 형태의 계수에 대해 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,}$

dA = X_u × X_v du dv에 의해 주어지는 고전적 영역 요소는 라그랑주의 정체성의 도움을 받아 첫 번째 기본 형태의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle dA= X_{u}\times X_{v} \ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$

예제: 구의 곡선

단위 구면의 구면 곡선의 경우 R은³ 다음과 같이 파라메트리할 수 있다.

${\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\\sin u\nd{bmatrix}},\(u,v)\in[0,2\pi]\time [0,\pi ]}$

u 및 v 수율과 관련하여 X(u,v) 구분

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{정렬}}}$

첫 번째 기본 형태의 계수는 부분파생상품의 도트 산출물을 취함으로써 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end}}}}}$

그래서:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

구의 곡선 길이

구의 적도는 에 의해 주어지는 파라메트리화된 곡선이다.

${\displaystyle(u(t),v(t)=(t),{\tfrac {\pi }{2}})}$

0에서 2인치까지의 범위 내에서. 선 요소는 이 곡선의 길이를 계산하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left \sin v\right dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }$

구면 지역

면적 요소는 구의 면적을 계산하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi }$

가우스 곡률

표면의 가우스 곡률은 다음과 같다.

${\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I}{}{\det \mathrm{I}}}}}}={\frac {LN-M^{2}}:{EG-F^{2}},}}$

여기서 L, M, N은 두 번째 기본 형태의 계수다.

가우스 이론은 표면의 가우스 곡면성은 첫 번째 기본 형태와 그 파생상품의 관점에서만 표현될 수 있기 때문에 K는 사실 표면의 내적 불변성이라고 말한다. 첫 번째 기본 형태 측면에서 가우스 곡률에 대한 명시적 표현은 브리오스키 공식에 의해 제공된다.

참고 항목

• 미터법 텐서
• 두 번째 기본 형태
• 제3원본형
• Tautological 단일 형식

외부 링크

• 첫 번째 기본 양식 - 울프램 수학 월드의 제품