정상좌표

미분 기하학에서 대칭 어핀 연결이 장착된 가변 다지관의 p 지점에서의 정상 좌표는 p의 접선 공간에 지수 지도를 적용하여 얻은 p의 근방에 있는 국부 좌표계다.정상 좌표계에서는 연결의 크리스토펠 기호가 p 지점에서 사라지기 때문에 국소 계산을 단순화하는 경우가 많다.리만 다지관의 Levi-Civita 연결과 관련된 정상 좌표에서는 미터법 텐서가 p 지점의 Kronecker 델타이고, p vanish 지점에서의 미터법 최초의 부분파생상품이라는 것을 추가로 배열할 수 있다.

차동 기하학의 기본 결과는 한 점에 있는 정상 좌표가 대칭 아핀 연결을 가진 다지관에 항상 존재한다는 것을 나타낸다.그러한 좌표에서 공변량 파생상품은 부분파생상품으로 감소하며(p에만 해당), p를 통한 지오데믹스는 t의 국소 선형함수(어핀 매개변수)이다.이 생각은 일반 상대성 이론에서 알버트 아인슈타인에 의해 근본적인 방법으로 구현되었다: 동등성 원리는 관성 프레임을 통한 정상 좌표를 사용한다.리만 또는 사이비-리만 다지관의 Levi-Civita 연결에는 항상 정상 좌표가 존재한다.이와는 대조적으로, 일반적으로 핀슬러 다지관의 정상 좌표를 지수도가 2배 구별되는 방식으로 정의할 수 있는 방법은 없다(Busemann 1955).

측지 정상 좌표

지오데틱 정상 좌표는 지수 지도를 통해 정의한 아핀 연결부가 있는 다지관의 국부좌표다.

${\displaystyle \exp _{p:T_{p}M\supset V\오른쪽 화살표 M}$

그리고 이형성

${\displaystyle E:\mathb {R}^{n}\오른쪽 화살표 T_{p}M}$

고정된 기준점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$에서 접선 공간의 어떤 기준으로 주어진다$.$ 만일 리만 측량계의 추가 구조가 부과된다면, E에 의해 정의된 기준이 정형외에도 요구될 수 있으며, 그 결과 좌표계를 리만 정상 좌표계라고 한다.

정상 좌표는 M 지점의 p 지점의 정상 부근에 존재한다.정상적인 근린 U는 접선 공간 TM에_p 발원지의 적절한 근린 V가 있을 정도로 M의 부분집합이며_p, exp는 U와 V의 차이점형성의 역할을 한다.M에서 p의 일반 근린 U에서 차트는 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle \varphi :=E^{-1}\circle \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathb{R} ^{n}}$

이형성 E, 따라서 도표는 결코 독특하지 않다.

특성.

정상 좌표의 특성은 종종 계산을 단순화한다.다음에서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 p ${\displaystyle p}$에 있는 일반 근린이고 x ${\displaystyle i^{}}$ ${\$이(가) $U{\displaystyle }$ ${\displaysty U}$의 일반 좌표라고 가정해 보십시오$.$

• Let ${\displaystyle V}$ be some vector from ${\displaystyle T_{p}M}$ with components ${\displaystyle V^{i}}$ in local coordinates, and ${\displaystyle \gamma _{V}}$ be the geodesic with ${\displaystyle \gamma _{V}(0)=p}$ and ${\displaystyle \gamma _$${V}'(0)=V}$. Then in normal coordinates, ${\displaystyle \gamma _{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})}$ as long as it is in ${\displaystyle U}$. Thus radials paths in normal coordinates are exactly the geodesics through ${\displaystyle p}$.
• $점{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 좌표는${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$.${\displaystyle }$. ,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,...,0)}$이다.
• p $지점{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$에 있는 Riemanian 정상 좌표에서 Riemanian 미터법 g ${\displaystyle i_{}}$j {\$displaystyle$ g_${ij$}}의 $구성요소$는 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j$${\$displaystyle \delta_{$$ij$$$즉 ${\displaystyle g_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}{j}_{}}$ ${\$$_{ij}.$
• The Christoffel symbols vanish at ${\displaystyle p}$, i.e., ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}(p)=0}$. In the Riemannian case, so do the first partial derivatives of ${\displaystyle g_{ij}}$, i.e., ${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij$$}}{{\cHB x^{k}}}(p)=0,\,\all i,j,k}$.

명시적 공식

In the neighbourhood of any point ${\displaystyle p=(0,\ldots 0)}$ equipped with a locally orthonormal coordinate system in which ${\displaystyle g_{\mu \nu }(0)=\delta _{\mu \nu }}$ and the Riemann tensor at ${\displaystyle p}$ takes the value ${\d$$isplaystyle R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)}$${\displaystyle p^{}}$${\displaystyle }$ ${\$ x$^{\mu }}}$을(를) 조정하여 메트릭$$ 텐서 구성 요소가 p ${\displaystyle p}$에서 떨어지도록$$ 할 수 있다.

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\frac {1}{3}R_{\}}}{\mu \sigma \x^{}}x^{\x^{}+O(x{3})}$

해당 Levi-Civita 연결 Christoffel 기호는 다음과 같다.

${\displaystyle {\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\frac {1}{3}}(R_{\lambda \nu \mu \tau }(0)+R_{\lambda \mu \nu \tau }(0))x^{\tau }+O( x ^{2}).}$

비슷하게 우리는 지역적인 코프레임을 만들 수 있다.

${\displaystyle e_{\mu }^{*a}(x)=\delta _{a\mu }-{\frac {1}{6}R_{a\sigma \tau }}x^{}\x^{}x^{},}+O(x^{2}),}}$

스핀 연결 계수가 값을 취함

${\displaystyle{\omega^}_{b\mu }(x)=-{{\frac{1}{1}{2}}:{R^{a}_{b\mu \tau }{0)x^{\tau }+O(x ^{2}).}$

극좌표

리만 다지관에서는 p에서의 정상 좌표계가 극좌표라고 알려진 구형 좌표계의 도입을 용이하게 한다.유클리드 공간 TM에_p 표준 구형 좌표계를 도입하여 얻은 M 상의 좌표들이다.즉, TM에_p 표준 구형 좌표계(r,φ)를 도입하는데, 여기서 r 0 0은 방사형 매개변수이고 φ = (φ₁, ...,φ_n−1)는 (n-1)-sphere의 매개변수화다.지수 p의 역수를 갖는 (r, ,)의 구성은 극좌표계다.

극좌표는 리만 기하학에서 많은 기본 도구를 제공한다.반지름 좌표는 가장 중요하다: 기하학적으로 그것은 근처 지점의 p에 대한 지오데틱 거리를 나타낸다.가우스의 보조정리자는 r의 구배가 단순히 부분파생 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \partial /\partial r}$이라고 주장한다$.$ 즉,

${\displaystyle \langledf,dr\rangele ={\frac {\frac {\reason f}{\reason r}}}$

매끄러운 기능 ƒ에 대하여.그 결과 극좌표계의 측정기준은 블록 대각선 형태를 가정한다.

${\displaystyle g={\bmatrix}1&#0&\cdots \0\0&\\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\0&\end{bmatrix}}.}$

참조

• Busemann, Herbert (1955), "On normal coordinates in Finsler spaces", Mathematische Annalen, 129: 417–423, doi:10.1007/BF01362381, ISSN 0025-5831, MR 0071075.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 (New ed.), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• 체른, S. S.; 첸, W. H.; 람, K. S.; 세계 과학, 2000년 미분 기하학 강의

참고 항목

• 가우스 보조정리
• 페르미 좌표
• 로컬 기준 프레임