두 번째 기본 형태

Second fundamental form

미분 기하학에서 두 번째 기본 형태(또는 형상 텐서)는 3차원 유클리드 공간에서 매끄러운 표면접선면에 있는 이차적 형태로서, ("2"로 읽음) 번째 기본 형태와 함께, 그것은 표면의 외적 불변성인 주요 곡선을 정의하는 역할을 한다. 보다 일반적으로, 그러한 2차적 형태는 리만 다지관에 매끄럽게 담근 하위 매니폴드를 위해 정의된다.

표면(R3)

두 번째 기본 형태의 정의

동기

R에서3 파라메트릭 표면 S의 두 번째 기본 형태는 가우스에 의해 도입되고 연구되었다. 먼저 표면이 두 번 연속적으로 서로 다른 함수 z = f(x,y)의 그래프이며 평면 z = 0이 원점에서 표면에 접선된다고 가정한다. 그런 다음 fxy에 대한 부분파생상품은 (0,0)에서 사라진다. 따라서 (0,0)에서 테일러의 f 확장2차 항으로 시작한다.

그리고 좌표의 원점에 있는 두 번째 기본 형태(x,y)2차 형태다.

S의 매끄러운 점 P의 경우 좌표 z 평면이 P에서 S에 접하도록 좌표계를 선택하고 동일한 방법으로 두 번째 기본 형태를 정의할 수 있다.

고전 표기법

일반 파라메트릭 표면의 두 번째 기본 형태는 다음과 같이 정의된다. r = r(u,v)R에서3 표면의 정규 파라메트리화(parametrization)로 하고 여기서 r은 두 변수의 부드러운 벡터함수다. uv에 관한 r의 부분파생상품을 ru rv 나타내는 것이 일반적이다. 파라메트리제이션의 정규성은 ru rv r의 영역에 있는 어떤 (u,v)에 대해 선형적으로 독립되어 있다는 것을 의미하며, 따라서 각 지점에서 접선면을 S까지 확장한다. 동등하게, 교차 제품 ru × rv 표면에 정규적인 0이 아닌 벡터다. 따라서 파라메트리제이션은 단위 정규 벡터 n:

두 번째 기본 형식은 보통 다음과 같이 쓰여진다.

접선 평면의 기준 {ru, rv}에 있는 행렬은

파라메트릭 Uv-plane의 특정 지점에서 계수 L, M, N은 해당 지점에서 r의 두 번째 부분파생상품의 투영에 의해 S에 대한 정상선상에 제공되며 다음과 같이 도트 제품의 도움으로 계산할 수 있다.

헤시안 H서명된 거리 필드의 경우, 두 번째 기본 형태 계수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

물리학 표기법

일반 파라메트릭 표면 S의 두 번째 기본 형태는 다음과 같이 정의된다.

r = r(u1,u2)R에서3 표면의 정규 파라메트리화(parametrization)로 하고 여기서 r은 두 변수의 부드러운 벡터함수다. rα, α = 1, 2. uα 대한 r의 부분파생물을 나타내는 것이 일반적이다. 파라메트리제이션의 정규성은 r1 r2 r의 영역에 있는 (u1,u2)에 대해 선형적으로 독립되어 있다는 것을 의미하며, 따라서 각 지점에서 접선면을 S까지 확장한다. 동등하게, 교차 제품 r1 × r2 표면에 정규적인 0이 아닌 벡터다. 따라서 파라메트리제이션은 단위 정규 벡터 n:

두 번째 기본 형식은 보통 다음과 같이 쓰여진다.

위의 방정식은 아인슈타인 종합 관례를 사용한다.

파라메트릭 uu-plane의12 특정 지점에서 계수 bαβ 그 지점에서 r의 두 번째 부분파생상품의 투영에 의해 S에 대한 정규선 상에 제공되며, 다음과 같이 정상 벡터 n의 관점에서 계산할 수 있다.

리만 다지관의 하이퍼어페이스

유클리드 공간에서는 두 번째 기본 형태가 주어진다.

여기서 ν가우스 지도이며, 벡터미분 형태로 간주되는 ν미분이며, 괄호는 유클리드 공간의 미터법 텐서(metric tensor)를 나타낸다.

더 일반적으로, 리만 다지관에서, 두 번째 기본 형태는 초지형의 형상 연산자(S로 표기됨)를 설명하는 동등한 방법이다.

여기서 vw는 주변 다지관의 공변량 파생물n 과외면의 정상 벡터 필드를 나타낸다. (어핀 연결비틀림 없는 경우, 두 번째 기본 형태가 대칭이다.)

두 번째 기본 형태의 부호는 n의 방향 선택(초음면의 공동 방향화라고 함)에 따라 달라진다(유클리드 공간의 표면에 대해, 는 표면 방향의 선택에 의해 동등하게 주어진다.

임의 코디네이션 일반화

두 번째 기본 형태는 임의의 코디네이션으로 일반화할 수 있다. 이 경우 정규 번들에 값이 있는 접선 공간의 2차 형태로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 ( )⊥{\공변량 파생상품 orth v v 직교 투영 투영을 나타낸다.

유클리드 공간에서 서브매니폴드곡률 텐서(tensor)는 다음 공식으로 설명할 수 있다.

이것을 가우스식이라고 하는데, 가우스 이론의 에그레기움의 일반화로 볼 수도 있기 때문이다.

일반적인 리만 매니폴드의 경우 주변 공간의 곡률을 추가해야 한다. N이 리만 매니폴드(M,g)에 내장되어 있는 다지관일 경우 유도 지표가 있는 N의 곡률 텐서 RN 두 번째 기본 형태와 RM, 즉 M의 곡률 텐서를 사용하여 표현할 수 있다.

참고 항목

참조

  • Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces". Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7.
  • Kobayashi, Shoshichi & Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.

외부 링크