두 번째 기본 형태
Second fundamental form미분 기하학에서 두 번째 기본 형태(또는 형상 텐서)는 3차원 유클리드 공간에서 매끄러운 표면의 접선면에 있는 이차적 형태로서, ("2"로 읽음) 첫 번째 기본 형태와 함께, 그것은 표면의 외적 불변성인 주요 곡선을 정의하는 역할을 한다. 보다 일반적으로, 그러한 2차적 형태는 리만 다지관에 매끄럽게 담근 하위 매니폴드를 위해 정의된다.
표면(R3)
동기
R에서3 파라메트릭 표면 S의 두 번째 기본 형태는 가우스에 의해 도입되고 연구되었다. 먼저 표면이 두 번 연속적으로 서로 다른 함수인 z = f(x,y)의 그래프이며 평면 z = 0이 원점에서 표면에 접선된다고 가정한다. 그런 다음 f와 x와 y에 대한 부분파생상품은 (0,0)에서 사라진다. 따라서 (0,0)에서 테일러의 f 확장은 2차 항으로 시작한다.
그리고 좌표의 원점에 있는 두 번째 기본 형태(x,y)는 2차 형태다.
S의 매끄러운 점 P의 경우 좌표 z 평면이 P에서 S에 접하도록 좌표계를 선택하고 동일한 방법으로 두 번째 기본 형태를 정의할 수 있다.
고전 표기법
일반 파라메트릭 표면의 두 번째 기본 형태는 다음과 같이 정의된다. r = r(u,v)을 R에서3 표면의 정규 파라메트리화(parametrization)로 하고 여기서 r은 두 변수의 부드러운 벡터 값 함수다. u와 v에 관한 r의 부분파생상품을 r과u r로v 나타내는 것이 일반적이다. 파라메트리제이션의 정규성은 r과u r이v r의 영역에 있는 어떤 (u,v)에 대해 선형적으로 독립되어 있다는 것을 의미하며, 따라서 각 지점에서 접선면을 S까지 확장한다. 동등하게, 교차 제품 ru × r은v 표면에 정규적인 0이 아닌 벡터다. 따라서 파라메트리제이션은 단위 정규 벡터 n:
두 번째 기본 형식은 보통 다음과 같이 쓰여진다.
접선 평면의 기준 {ru, rv}에 있는 행렬은
파라메트릭 Uv-plane의 특정 지점에서 계수 L, M, N은 해당 지점에서 r의 두 번째 부분파생상품의 투영에 의해 S에 대한 정상선상에 제공되며 다음과 같이 도트 제품의 도움으로 계산할 수 있다.
헤시안 H의 서명된 거리 필드의 경우, 두 번째 기본 형태 계수는 다음과 같이 계산할 수 있다.
물리학 표기법
일반 파라메트릭 표면 S의 두 번째 기본 형태는 다음과 같이 정의된다.
r = r(u1,u2)을 R에서3 표면의 정규 파라메트리화(parametrization)로 하고 여기서 r은 두 변수의 부드러운 벡터 값 함수다. rα, α = 1, 2. u에α 대한 r의 부분파생물을 나타내는 것이 일반적이다. 파라메트리제이션의 정규성은 r과1 r이2 r의 영역에 있는 (u1,u2)에 대해 선형적으로 독립되어 있다는 것을 의미하며, 따라서 각 지점에서 접선면을 S까지 확장한다. 동등하게, 교차 제품 r1 × r은2 표면에 정규적인 0이 아닌 벡터다. 따라서 파라메트리제이션은 단위 정규 벡터 n:
두 번째 기본 형식은 보통 다음과 같이 쓰여진다.
위의 방정식은 아인슈타인 종합 관례를 사용한다.
파라메트릭 uu-plane의12 특정 지점에서 계수 b는αβ 그 지점에서 r의 두 번째 부분파생상품의 투영에 의해 S에 대한 정규선 상에 제공되며, 다음과 같이 정상 벡터 n의 관점에서 계산할 수 있다.
리만 다지관의 하이퍼어페이스
유클리드 공간에서는 두 번째 기본 형태가 주어진다.
여기서 ν은 가우스 지도이며, dν 벡터 값 미분 형태로 간주되는 ν의 미분이며, 괄호는 유클리드 공간의 미터법 텐서(metric tensor)를 나타낸다.
더 일반적으로, 리만 다지관에서, 두 번째 기본 형태는 초지형의 형상 연산자(S로 표기됨)를 설명하는 동등한 방법이다.
여기서 ∇vw는 주변 다지관의 공변량 파생물과 n 과외면의 정상 벡터 필드를 나타낸다. (어핀 연결이 비틀림 없는 경우, 두 번째 기본 형태가 대칭이다.)
두 번째 기본 형태의 부호는 n의 방향 선택(초음면의 공동 방향화라고 함)에 따라 달라진다(유클리드 공간의 표면에 대해, 이는 표면 방향의 선택에 의해 동등하게 주어진다.
임의 코디네이션 일반화
두 번째 기본 형태는 임의의 코디네이션으로 일반화할 수 있다. 이 경우 정규 번들에 값이 있는 접선 공간의 2차 형태로서 다음과 같이 정의할 수 있다.
여기서 ( )⊥{\은 공변량 파생상품 orth v v 의 직교 투영 투영을 나타낸다.
유클리드 공간에서 서브매니폴드의 곡률 텐서(tensor)는 다음 공식으로 설명할 수 있다.
이것을 가우스식이라고 하는데, 가우스 이론의 에그레기움의 일반화로 볼 수도 있기 때문이다.
일반적인 리만 매니폴드의 경우 주변 공간의 곡률을 추가해야 한다. N이 리만 매니폴드(M,g)에 내장되어 있는 다지관일 경우 유도 지표가 있는 N의 곡률 텐서 R은N 두 번째 기본 형태와 RM, 즉 M의 곡률 텐서를 사용하여 표현할 수 있다.
참고 항목
참조
- Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces". Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7.
- Kobayashi, Shoshichi & Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
- Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.
외부 링크
- Steven Verpoort (2008) 제2차 기본 형태의 기하학: Katholieke Universityit Leuven의 곡률 특성 및 변동 측면