몬테카를로 전자 운송 방법

전자 운송을 위한 몬테카를로 방법은 반도체 운송을 모델링하는 반전설 몬테카를로(MC) 접근법이다.캐리어 모션이 산란 메커니즘에 의해 중단되는 자유 비행으로 구성된다고 가정할 때 컴퓨터가 고전역학을 사용하는 전기장의 영향을 받아 장치를 가로질러 이동할 때 입자의 궤적을 시뮬레이션하는 데 이용된다.산란 이벤트와 입자 비행 지속시간은 무작위 숫자의 사용을 통해 결정된다.

배경

볼츠만 운송 방정식

볼츠만 운송 방정식 모델은 반도체 운송 분석에서 사용된 주요 도구였다.BTE 방정식은 다음과 같이 주어진다^{[citation needed]}.

{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)\nabla _{r}f+{\frac {qF(r)}{\hbar }}\nabla _{k}f=\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{\mathrm {collision} }

v={\frac {1}{\hbar }}}\nabla _{k}E(k)

분포 함수 f는 모든 관측 가능한 관심사를 추출하기 위해 사용되며 실제 공간과 k-공간 모두에서 전자 분포를 완전히 묘사하는 데 사용되는 치수 없는 함수다.또한 위치 r 및 시간 t에서 에너지 k의 입자 점유 확률을 물리적으로 나타낸다.또한 7차원 정수차등식(위상공간에서 6차원, 시간에서 1차원)이기 때문에 BTE에 대한 해법은 번거롭고 매우 특별한 제약 하에서 폐쇄적인 분석 형태로 해결할 수 있다.수치로 BTE에 대한 용액은 결정론적 방법 또는 확률적 방법을 사용하여 사용된다.결정론적 방법 솔루션은 구형 고조파 접근법과 같은 격자 기반 수치적 방법에 기초하는 반면, 몬테카를로는 BTE를 해결하기 위해 사용되는 확률적 접근법이다.

몬테카를로법

세미콜라스틱 몬테카를로 방법은 복잡한 밴드 구조와 산란 과정을 포함하는 볼츠만 운송 방정식에 정확한 용액을 산출하기 위해 사용되는 통계적 방법이다.이 접근방식은 산란 메커니즘이 페르미의 황금률을 사용하여 기계적으로 양자 처리되는 반면, 산란 이벤트 간의 이동은 고전적인 입자 개념을 사용하여 처리되는 이유로 반전파적이다.본질적으로 몬테카를로 모델은 각 자유 비행에서 입자 궤적을 추적하고 그에 상응하는 산란 메커니즘을 확률적으로 선택한다.세미콜라스틱 몬테카를로의 큰 장점 중 두 가지는 산란 조건 내에서 다양한 구별되는 산란 메커니즘에 대한 정확한 양자 기계적 처리를 제공할 수 있는 능력과 에너지 또는 k-공간에서의 반송파 분포 형태에 대한 가정이 없다는 점이다.전자의 움직임을 설명하는 반전위 방정식은

{\frac {dr}{dt}={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)

{\frac {dk}{dt}={\frac {qF(r)}{\hbar }}

여기서 F는 전기장, E(k)는 에너지 분산 관계, k는 모멘텀파 벡터다.위의 방정식을 풀려면 밴드 구조에 대한 강한 지식(E(k)이 필요하다.E(k) 관계는 상태(DOS)의 밀도 및 입자 속도 등 전송에 필요한 유용한 정보를 설명하는 것 외에 입자가 기기 내부에서 어떻게 움직이는지를 설명한다.전체 대역 E(K) 관계는 반감기 유사성 방법을 사용하여 얻을 수 있다.^[1]

유체역학 및 표류확산법

드리프트 확산(DD)과 유체역학(HD) 모델은 모두 긴 채널 장치에 유효한 단순 근사치를 사용하여 볼츠만 운송 방정식(BTE)의 순간에서 도출할 수 있다.DD 체계는 가장 고전적인 접근법이며 일반적으로 표류 및 확산 구성요소를 고려한 운송업체의 포아송 방정식과 연속성 방정식을 해결한다.이 접근방식에서 충전 전송 시간은 에너지 완화 시간에 비해 매우 큰 것으로 가정한다.^[2]반면 HD 방식은 BTE의 순간에서 얻은 에너지 밸런스 방정식으로 DD 방식을 해결한다.^[3]^[4]따라서 캐리어 가열 및 속도 오버슈트 효과와 같은 물리적 세부사항을 포착하고 계산할 수 있다.HD 시뮬레이션에서는 통치 방정식이 강하게 결합되어 있고 DD 방식에 비해 많은 수의 변수를 처리해야 하기 때문에 정확한 탈부착 방법이 필요하다는 것은 두말할 필요도 없다.

세미콜라스틱 모델 비교

80nmo의 평균 반송파 속도(a) Vds= 0.3V(b) Vds=0.6v

트랜지스터 구조의 핵심 단채널 효과(SCE)인 고전 속도 오버슈트 문제를 어떻게 처리하는지 조사하여 BTE를 기반으로 반전파 모델의 정확도를 비교한다.본질적으로 속도 오버슈트는 크기가 조정된 장치의 비 국부적 효과로, 이는 현재 구동력 및 전도의 실험적으로 관찰된 증가와 관련이 있다.^[5]채널 길이가 작아질수록 속도는 더 이상 고장 영역에서 포화 상태가 아니라 예측 포화 속도를 초과한다.이 현상의 원인은 통신사 중계시간이 에너지 이완시간에 상당하게 되고, 따라서 이동 통신사가 짧은 채널 소자에 산란하여 적용된 전기장과 평형을 이루기에 충분한 시간이 없기 때문이다.^[6]DD 및 HD 모델을 사용한 시뮬레이션 결과 요약(Illinois Tool: MOCA)은 옆에 있는 그림에 나와 있다.그림 (a)에서 필드가 전체 채널 영역에서 속도 오버슈트 효과를 일으킬 정도로 높지 않은 경우를 나타낸다.이러한 한계에서 DD 모델의 데이터는 오버슈트가 아닌 영역의 MC 모델에 잘 맞지만 HD 모델은 해당 영역의 속도를 과대평가한다는 점에 유의하십시오.속도 오버슈트는 MC 데이터의 배수 분기점 근처에서만 관찰되며 HD 모델은 해당 영역에 잘 적합한다.MC 데이터를 통해 HD 모델에 제대로 포함되지 않은 하이필드 영역에서 속도 오버슈트 효과가 갑작스럽다는 것을 알 수 있다.그림 (b)에 나타낸 것과 같은 높은 필드 조건의 경우, 속도 오버슈트 효과 거의 모든 채널과 HD 결과 및 MC 결과는 채널 영역에서 매우 가깝다.

반도체 수송용 몬테카를로

밴드 구조

밴드 구조는 에너지(E)와 파동 벡터(k)의 관계를 설명한다.밴드 구조는 전기장의 작용, 산란율, 충돌 후의 최종 상태에서의 캐리어 이동량을 계산하는 데 사용된다.실리콘 밴드 구조와 그 브릴루인 존은 아래 그림과 같이 나타나지만 브릴루인 존 전체를 만족시키는 분석적 표현은 없다.일부 근사치를 사용함으로써 밴드 구조에 대한 두 가지 해석 모델, 즉 포물선과 비 포물선 모드가 있다.

포물선 밴드 구조

밴드 구조의 개념에 있어서 포물선 에너지 밴드는 일반적으로 단순성을 위해 가정된다.전자는 적어도 평형에 가까울 때 E(k) 관계의 미니마에 가깝게 존재한다.그러면 E(k) 관계는 다음과 같이 Taylor 시리즈로 확장될 수 있다.

[\displaystyle E(k)=E(0)+\왼쪽.{\frac {\partial E(k)}{\partial k}}\오른쪽 _{\mathrm {k=0}\cdot k+{1}{1}2}}:{\frac {\partial ^{2}E(k){\partial k^{2}}}\cdot k^{2}}:

첫 번째 파생상품은 최소 대역에서 사라지기 때문에 E(k)의 구배는 k = 0에서 0이다.그러므로,

E(k)={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}:{2m^{*}}}}}}}

유효 질량 텐서의 정의를 내리는데

{\displaystyle {\frac {1}{m^{*}}={\frac {1}{\hbar ^{2}}:{\frac {\partial ^{2}E(k)}{\partial k^{2}}:

이 표현은 등방성 유효 질량을 가진 반도체(예: GaAs)에 적용된다.실리콘의 경우 전도 대역 미니마는 k = 0에 있지 않으며 유효 질량은 최소의 결정학적 방향에 따라 달라진다.

E(k)={\frac {\hbar ^{2}}:{{2}}:{{k_{l}^{2}}:{m_{l}^{*}}}}+{\frac {2k_{t}^{2}}:{m_{t}^{*}}}\오른쪽)}

여기서 $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ , $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ ${\$ 각각 세로 및 가로 유효 질량을 설명한다 $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ .

비 포물선 밴드 구조

더 높은 적용 분야의 경우, 통신사가 최소값 이상 상주하며 분산 관계 E(k)는 위에서 설명한 단순 포물선 표현을 만족시키지 못한다.이 비 포물선은 일반적으로 다음과 같이 설명된다.

E(1+\alpha E)={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}:{2m^{*}}}}}}}}

여기서 $\alpha$ $\alpha$ 은 $\alpha$ (는) 다음에 의해 주어지는 비패러블성의 계수다.

\alpha ={\frac {(1-m^{*}/m_{0}}^{2}}:{E_{g}}}}}}

여기서 $m_{0}$ $m_{0}$ ${\$ 은 진공상태의 $m_{0}$ 전자질량이며, Eg는 에너지 갭이다.^[7]

풀밴드 구조

많은 애플리케이션의 경우, 비 포물선 밴드 구조는 합리적인 근사치를 제공한다.그러나, 필드 운송이 매우 높은 경우, 전체 밴드 구조의 더 나은 물리적 모델을 필요로 한다.전체 대역 접근의 경우 E(k)의 숫자적으로 생성된 표를 사용한다.몬테카를로 시뮬레이션을 위한 풀밴드 접근법은 일리노이 대학교의 Urbana-Champaign에서 Karl Hess에 의해 처음 사용되었다.이 접근방식은 코헨과 버그스트레서가 제안한 경험적 유사성 방법에 기초한다[18].풀밴드 접근방식은 계산적으로 비용이 많이 들지만, 연산력의 발달에 따라 보다 일반적인 접근방식으로 사용될 수 있다.^[8]

몬테카를로 시뮬레이션의 종류

원입자 몬테카를로

이러한 유형의 시뮬레이션을 위해, 하나의 캐리어를 주입하고 그 동작이 접촉을 통해 빠져나갈 때까지 도메인에서 추적된다.그리고 나서 다른 캐리어를 주입하고 궤도의 앙상블을 시뮬레이션하는 과정을 반복한다.이 접근방식은 필드의 함수로서 정상 상태 표류속도와 같은 대량 특성을 연구하는 데 대부분 유용하다.

앙상블 몬테카를로

단일 캐리어 대신 대형 캐리어 앙상블이 동시에 시뮬레이션된다.이 절차는 병렬화와 벡터화를 적용할 수 있기 때문에 분명히 슈퍼컴퓨팅에 적합한 방법이다.또한, 이제 앙상블 평균을 직접 수행할 수 있게 되었다.이 접근방식은 일시적인 시뮬레이션에 적합하다.

자생 앙상블 몬테카를로

이 방법은 앙상블 몬테카를로 절차를 포아송의 방정식과 결합하여 기기 시뮬레이션에 가장 적합하다.전형적으로 포아송의 방정식은 캐리어의 이동으로 인한 전하 내부의 재분배를 반영하기 위해 내부 필드를 업데이트하기 위해 고정된 간격으로 해결된다.

무작위 비행 선택

dt 주 t에서 전자가 다음 번 충돌할 확률은 다음과 같다.

{\dplaystyle p(t)\,dt=P[k(t)]\exp[-\int_{0}^{0}^P[k(t')\,dt]\,dt}

여기서 P[k(t)dt는 상태 k의 전자가 dt 시간 동안 충돌을 겪을 확률이다.지수에서 적분자의 복잡성 때문에, 위의 방정식의 분포로 확률적 자유 비행을 생성하는 것은 비현실적이다.이 어려움을 극복하기 위해 사람들은 가공의 "자기 과시" 계획을 사용한다.이렇게 함으로써 이 자기비산율을 포함한 총 산란율은 일정하고 예를 들어 $\Gamma$ ${\디스플레이스타일 \감마 }$ 과 같다 $\Gamma$ 임의로 선택해서 자기비산법을 선택하면 충돌 후 k′은 k와 같고 운반자는 동요하지 않고 비행을 계속한다.상수 $P(k)=\tau _{0}^{-1}$ $P(k)=\tau _{0}^{-1}$ ) $P(k)=\tau _{0}^{-1}$ = $P(k)=\tau _{0}^{-1}$ 0 $P(k)=\tau _{0}^{-1}$ - $P(k)=\tau _{0}^{-1}$ ${\$ 를 도입하면 위 방정식은 다음과 같이 감소한다 $P(k)=\tau _{0}^{-1}$

p(t)={\frac {1}{0}\tau _{0}\expectt/\tau _{0}).

무작위 번호 r은 확률적 자유 비행을 생성하는 데 매우 단순하게 사용될 수 있으며, 지속시간은 t $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$ = - $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$ 0 $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$ $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$ ( r $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$ ) $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$ 에 의해 주어진다 $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$ 자가 스캐닝에 사용되는 컴퓨터 시간은 자유 비행 기간 계산의 단순화에 의해 보상되는 시간 이상이다.^[9]자유 비행 시간 계산의 속도를 높이기 위해, "콘스탄트 기법"과 "피스 와이즈 기법"과 같은 여러 가지 체계를 사용하여 자기 범위 지정 이벤트를 최소화한다.

산란 메커니즘

솔리드 스테이트 물리학의 일반 배경

옴의 법칙으로부터의 이탈도 및 캐리어 이동성의 포화도와 같은 반도체 소자의 중요한 전하 전송 속성은 산란 메커니즘의 직접적인 결과물이다.따라서 반도체 소자 시뮬레이션이 그러한 메커니즘의 물리학을 포착하는 것은 매우 중요하다.이 범위에서 반도체 몬테카를로 시뮬레이션은 거의 모든 종류의 산란 메커니즘이 포함될 수 있는 용이성과 정밀성을 위한 매우 강력한 도구다.자유 비행의 지속시간은 산란율에 의해 결정된다.각 비행이 끝날 때, 산란 운반체의 최종 에너지 또는 동등하게 새로운 운동량과 산란 각도를 결정하기 위해 적절한 산란 메커니즘을 선택해야 한다.이러한 의미에서 자연적으로 파생되는 두 가지 광범위한 산란 메커니즘을 구별할 수 있을 것이다. 두 신체의 충돌에 대한 고전적인 운동 이론이다.

탄성 산란, 입자의 에너지가 흩어진 후에 보존되는 곳.탄성 산란은 따라서 입자의 운동량 방향만 바꿀 것이다.불순물 산란과 표면 산란은 상당한 근사치를 가지고 탄력 산란 과정의 두 가지 좋은 예다.

비탄성 산란, 에너지가 산란 입자와 산란 중심 사이에서 전달된다.전자폰 상호작용은 한정된 에너지의 음소가 산란된 입자에 의해 방출되거나 흡수되기 때문에 본질적으로 비탄성적이다.더 큰 수학적 세부사항으로 산란 메커니즘을 특성화하기 전에 반도체 몬테카를로 시뮬레이션을 실행할 때, 다음과 같은 유형의 산란 이벤트를 주로 처리해야 한다는 점을 유념해야 한다.^[9]

음향 포논:전하 캐리어는 결정 격자 내 원자의 진동 음향 모드로 에너지를 교환한다.음향 포논은 주로 수정 격자의 열 방출에서 발생한다.

극 광학:충전 캐리어는 결정 격자의 극광학 모드 중 하나와 에너지를 교환한다.이러한 모드는 공밸런스 반도체에는 존재하지 않는다.광학 포논은 가장 작은 단위 세포에 둘 이상의 원자가 있을 때 서로 다른 유형의 원자에 대한 진동에서 발생하며, 대개 빛에 의해 흥분된다.

비극 광학:에너지는 광학 모드와 교환된다.비극 광학 포논은 일반적으로 공동 가치 반도체와 GaAs의 L-밸리에서 고려되어야 한다.

등가 인터벌리 포논:음소와의 상호 작용으로 인해 충전 캐리어는 서로 다르지만 동등한 계곡에 속하는 초기 상태에서 최종 상태로 전환된다.일반적으로 이러한 유형의 산란 메커니즘은 한 X-밸리에서 다른 X-밸리로 또는 한 L-밸리에서 다른 L-밸리로 전자의 전환을 설명한다.^[10]

등가 인터벌리 포논:서로 다른 유형의 계곡 간에 충전 캐리어의 전환을 포함한다.

압전 포논:저온용.

이온화 불순물: 결정 격자의 이온화 불순물과의 쿨롱 상호작용에 의한 입자의 탄도 궤적을 반영한다.전자의 질량은 불순물의 질량에 비해 상대적으로 작기 때문에 쿨롱 단면은 초기 상태와 최종 상태의 운동량 차이에 따라 급격히 감소한다.^[9]따라서 불순물 산란 이벤트는 대부분 밸리 내 산란, 밀수품 내 산란 및 소소한 범위 내에서 대역 간 산란을 고려한다.

캐리어-캐리어: (전자-전자, 홀-홀 및 전자-홀 상호 작용).반송파 농도가 높을 때 이러한 유형의 산란 유형은 전하 반송파 사이의 정전기 교호작용을 반영한다.이 문제는 앙상블 시뮬레이션에서 입자의 수가 증가함에 따라 계산적으로 매우 빠르게 집중된다.이 스코프에서 입자의 단거리 및 장거리 상호작용을 주변 전하 기체와 구별하는 입자-입자-입자-입자-메쉬(P3M) 알고리즘은 반도체 몬테카를로 시뮬레이션에 반송파-캐리어 상호작용을 포함하는데 효율성이 입증되었다.^[11]매우 자주, Cloud-in-Cell 방법을 사용하여 반송파의 전하를 그리드에 할당하며, 여기서 주어진 입자의 전하의 일부는 특정 중량 인수를 가진 주어진 수의 가장 가까운 격자점에 할당된다.

Plasmon:충전 캐리어의 집단 진동이 주어진 입자에 미치는 영향을 반영한다.

몬테카를로에서의 산란 메커니즘의 포함

몬테카를로 시뮬레이션에서 산란을 포함하기 위한 계산적으로 효율적인 접근방식은 개별 메커니즘의 산란율을 표에 저장하는 데 있다.정밀한 입자 상태에 대한 다른 산란 속도를 고려할 때, 자유 비행이 끝날 때 무작위로 산란 과정을 선택할 수 있다.이러한 산란율은 흔히 Born 근사치를 사용하여 도출되는데, 이 근사치에서 산란 이벤트는 관련 반송파의 두 모멘텀 상태 사이의 전환일 뿐이다.II-I절에서 논의한 바와 같이, 캐리어의 주변 환경(포논, 전자, 구멍, 플라스몬, 불순물 등)과의 상호작용에서 발생하는 양자 다체 문제는 퀘이피사 근사치를 이용하여 2체 문제로 축소할 수 있으며, 이는 나머지 결정에서 관심 캐리어를 분리한다.^[9]이러한 근사치 내에서 페르미의 황금률은 첫 번째 순서로 상태 $|k\rangle$ $|k\rangle$ $k\rangele$ 에서 상태 $|k'\rangle$ $|k'\rangle$ $k'\rangele$ 까지의 $|k\rangle$ 산란 메커니즘에 대한 단위 시간 당 전환 확률을 제공한다 $|k'\rangle$

S(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }\왼쪽 \langle k'k'\angle \rigle \rigle ^{2}\cdot \delta (E-E')}

여기서 'H'는 충돌을 나타내는 섭동 해밀턴식이고 E와 E는 각각 반송파와 전자 및 음운온 가스로 구성된 시스템의 초기 및 최종 에너지다.Dirac $\delta$ $\delta$ - 함수는 $\delta$ 에너지 보존을 의미한다.또한 일반적으로 $\langle k|H'|k'\rangle$ $\langle k|H'|k'\rangle$ 라고 하는 $\langle k|H'|k'\rangle$ referred k $\langle k|H'|k'\rangle$ H $\langle k|H'|k'\rangle$ $\langle k|H'|k'\rangle$ ${$ {\ $displaystyle$ \ $langle$ k $H'$ k $'\angle }$ 이라는 용어는 캐리어 초기 및 최종 파형 함수의 내적 산물을 수학적으로 나타낸다.^[12]

\langle k'k'\rangle ={\frac {1}{Vol}\int _{\mathrm {Vol}}\psi _{k}(r)H'\psi _{k'}^{*(r)\,dr

결정 격자에서 파장 기능 $\psi _{k}(r)$ ( $\psi _{k}(r)$ ) $\psi _{k}(r)$ 및 $\psi _{k}(r)$ ψ $\psi _{k'}(r)$ $\psi _{k'}(r)$ ( $\psi _{k'}(r)$ $\psi \{k'}(r)$ 은 단순히 $\psi _{k'}(r)$ Bloch파일 뿐이다.그것이 가능할 때, 매트릭스 원소의 분석적 표현은 불순물 산란이나 음향 포논 산란의 경우처럼 푸리에가 해밀턴 H'를 확장하는 것에 의해 흔히 발견된다.^[14]파동 벡터 q와 주파수 $q$ 의 포논으로 인해 에너지 상태 E에서 에너지 상태 E'로 전환되는 중요한 경우 $,$ 에너지 및 $운동량$ 변화는 다음과 같다 $\omega _{q}$

E'-E=E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}\,

k'-k\pm q={\begin{case}0&{{\text{}\\\r&{\text{Umklapp-process}\end{case}}}}}

여기서 R은 상호 격자 벡터다.엄클랩 공정(또는 U-공정)은 산란 후 입자의 운동량을 변화시켜 반도체 결정의 전도를 제한하고 있다.물리적으로 U-과정은 입자의 최종 운동량이 첫 번째 브릴루인 영역을 가리킬 때 발생한다.상태 k에서 상태 k'까지의 단위 시간 당 산란 확률을 알게 되면, 주어진 산란 과정의 산란율을 결정하는 것이 흥미롭다.산란 속도는 상태 k에서 상호 공간 내의 다른 상태까지 산란할 단위 시간 당 확률을 제공한다.따라서 산란율은

\lambda(k)=\sum _{k'S(k,k')

3-3절에서 설명한 대로 자유 비행 시간과 산란 과정을 결정하기 위해 쉽게 사용할 수 있다.이 산란율은 물질의 밴드 구조에 따라 달라진다(매트릭스 요소에서 의존성이 발생한다).

산란 모드 및 산란 궤적의 선택

자유 비행이 끝나면 산란 모드와 각도를 무작위로 선택해야 한다.산란 메커니즘을 결정하려면 simulation $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ o t(t s ) $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ = $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ , $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ 과 $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ 된 메커니즘의 $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ 모든 산란율 $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ , $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ ${\$ $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ $}$ 을 $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ 해야 $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ . ${\displaystyle \lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ $}}$ 그 후 산란 메커니즘을 선택하면 $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ 균일하게 분포된 무작위 번호 0 < r < 1을 생성하고 다음 규칙을 참조한다.

{\begin{aligned}r&<{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}1\\r&<{\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}2\\&{}\ \vdots \\r&<{\frac {\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}n\end{aigned}

산란 메커니즘을 선택하기 위한 계산적으로 효율적인 접근방식은 $\lambda _{\mathrm {tot} }$ $\lambda _{\mathrm {tot} }$ $\lambda _{\mathrm {tot} }$ $\lambda _{\mathrm {tot} }$ ${\$ 이(가) 시간이 지남에 따라 일정하게 $\lambda _{\mathrm {tot} }$ 유지되도록 "void" 산란 메커니즘을 추가하는 데 있다.이 메커니즘에 따라 입자가 산란되면 산란 후 탄도 궤적을 유지하게 된다.새로운 궤적을 선택하기 위해서는 먼저 산란 후 입자의 에너지(또는 운동량)를 도출해야 한다.

E(k')=E(k)\pm \hbar \omega_{q}\pm \Delta E_{C}\,

여기서 term $\hbar \omega _{q}$ $\hbar \omega _{q}$ ${\$ 라는 용어는 음소 방출 또는 흡수를 설명하며 $\hbar \omega _{q}$ , $\Delta E_{C}$ $\Delta E_{C}$ $\Delta E_{C}$ ${\$ 는 밸리 간 산란에서 null이 아니다 $\Delta E_{C}$ .최종 에너지(및 밴드 구조)는 새로운 모멘텀 k'의 계수를 직접 산출한다.이때 산란된 입자에 대해 새로운 방향(또는 각도)만 선택하면 된다.포논 산란과 포물선 분산 관계와 같은 간단한 경우, 산란 각도는 무작위로 반경 k'의 구에 고르게 분포한다.구면 좌표를 사용하여 각도를 선택하는 과정은 $\theta$ $\theta$ 과 $\theta$ $\psi$ $\psi$ 의 두 각도를 무작위로 선택하는 것과 같다 $\psi$ 각도가 $p(\theta ,\psi )$ p $p(\theta ,\psi )$ $p(\theta ,\psi )$ , $p(\theta ,\psi )$ ) ${\displaystyle p(\ta,\psi )$ 로 분포된 경우 각도의 균일한 분포 확률이다 $p(\theta ,\psi )$ 구의 포인트는

p(\theta ,\pi )\,d\d\theta d\pi ={\frac {\sin \d\theta \,d\theta \},d\pi }}}

이 경우 두 변수를 분리하는 것이 가능하다. $\psi$ $\psi$ 을(를) 기반으로 $\psi$ 통합한 후 $\theta$ $\theta$ 을 $\theta$ 를) 통해 통합하면 찾을 수 있음

p(\theta )={\frac {\sin \theta }{2}}:

p(\pi )={\frac {1}{2\pi }}

그런 다음, 두 개의 구면 각도를 균일한 경우, 다음과 같이 두 개의 난수 0 < r₁, r₂ < 1을 생성하여 선택할 수 있다.

r_{1}=\int _{0}^{}p(\pi ')\,d\pa '={\fract {}{2\pi}}}}}

r_{2}=\int _{0}^{}p(\theta ')\,d\theta '={\fract{1-\cos \theta }}}}

몬테카를로 시뮬레이션을 위한 양자 보정

효과 양자 보정

현재의 반도체 소자 축소 추세로 인해 물리학자들은 소자 거동에 대한 철저한 이해를 얻기 위해 양자역학 문제를 통합할 수밖에 없었다.나노 스케일 장치의 동작을 시뮬레이션하려면 특히 양자 효과를 무시할 수 없는 경우 전체 양자 전송 모델을 사용해야 한다.그러나 이러한 복잡성은 현대의 MOSFET와 같은 실용적인 장치의 경우 세미클래식 프레임워크 내에서 양자 보정을 채택함으로써 피할 수 있다.그런 다음 세미클래식 몬테카를로 모델을 사용하여 기기 특성을 시뮬레이션할 수 있다.양자 보정은 단순히 시뮬레이션된 입자가 보는 고전적 정전기 전위에 중첩된 양자 전위 항을 도입함으로써 몬테카를로 시뮬레이터에 통합될 수 있다.그림 옆에 있는 그림은 이 기법의 본질적인 특징을 묘사하고 있다.구현에 사용할 수 있는 다양한 양자 접근방식은 다음 절에 설명되어 있다.

위그너 기반 보정

위그너 전송 방정식은 위그너 기반 양자 보정의 기초를 형성한다.^{[citation needed]}

{\frac {\partial f}{\partial t}}+r\cdot \nabla _{r}f-{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f+\sum _{\alpha =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\alpha +1}}{\hbar 4^{\alpha }(2\alpha +1)!}}}\time (\nabla _{r}\nabla _{k}^{2\알파 +1}Vf=\왼쪽({\frac {\partial f}{\partial t}\right)_{c}}}}}

여기서, k는 결정 운동량, V는 고전적 잠재력, RHS에 대한 용어는 충돌의 효과, LHS에 대한 네 번째 용어는 비 국소 양자 기계적 효과를 나타낸다.표준 볼츠만 운송 방정식은 LHS의 비 국부적 용어가 느린 공간적 변화 한계에서 사라질 때 얻어진다.단순화( $\alpha =0$ = $\alpha =0$ ${\displaystyle \alpha =0$ 퀀텀 보정 BTE는

{\frac {\partial f}{\partial t}+r\cdot \nabla _{r}f-{1}{\hbar }}}}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f=\partial trig)_{c}}}}}}

$V_{\omega }$ 서 퀀텀 전위는 V $V_{\omega }$ {\ $displaystyle$ V_ ${\omega$ }} 용어에 포함되어 $V_{\omega }$ 있다(오류: $V_{\omega }$ $V_{\omega }$ ${\$

유효전위교정

양자교정을 위한 이 방법은 1965년 파인만과 히브스가 개발했다.^{[citation needed]}이 방법에서 유효 전위는 입자의 고전적 경로 주변의 양자 변동의 경로 적분 기여도를 계산하여 도출한다.이 계산은 첫 번째 주문에 대한 시험 전위를 사용하는 변동 방법에 의해 수행된다.각 경로의 평균 지점에서 유효한 고전적 잠재력은

V_{\mathrm {eff}={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}\int _{-\npty }^{-{\v(x')e^{2}}:{2a^{2}}dx'

a^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{12m^{*}k_{B}T}

슈뢰딩거 기반 보정

이 접근방식은 자체 정전기 전위 입력을 사용하여 시뮬레이션에서 Schrödinger 방정식의 주기적 해결을 포함한다.정전기 전위 용액과 관련된 정확한 에너지 수준과 파동 기능은 양자 전위를 계산하기 위해 사용된다.이 방법의 기초에서 얻은 양자 보정은 다음 방정식으로 시각화할 수 있다.

V_{\mathrm {schr}}}(z)=-k_{B}T\cdot \log(n_{q}(z)-V_{p}(z)+V_{0}

는 푸아송 용액으로부터 어디 Vschr은 양자 수정 가능성, z방향의 인터페이스에, 융합 몬테카를로 농도에 해당합니다는 슈뢰딩거 방정식에서 nq은 양자 밀도 면과 직각인 경우 Vp 있는 잠재성, V0은 임의의 기준이 멀리 떨어진 양자 지역과 같이에서 가능성이 있다. 그 심장.반-반-반-반-반-반자동행동의 영역에서는 무효가 된다.위에서 언급한 양자교정의 잠재력은 계산방법과 기본적인 가정이 다르지만, 몬테카를로 시뮬레이션에 포함될 경우 모두 동일한 방식으로 통합된다.

참고 항목

참조

^ Karl Hess, ed. (1991). Monte Carlo Device Simulation: Full Band and Beyond. Springer US. doi:10.1007/978-1-4615-4026-7. ISBN 978-1-4615-4026-7.
^ S. M. Sze; Kwok K. Ng (2007). Physics of Semiconductor Devices (third ed.). John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-14323-9.
^ Choi, W.S.; Ahn, J.-K.; Park, Y.-J.; Min, H.-S.; Hwang., C.-G. (1994). "A time dependent hydrodynamic device simulator SNU-2D with new discretization scheme and algorithm". IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 13 (7): 899–908. doi:10.1109/43.293947. ISSN 0278-0070.
^ Forghieri, A.; Guerrieri, R.; Ciampolini, P.; Gnudi, A.; Rudan, M.; Baccarani, G. (1988). "A new discretization strategy of the semiconductor equations comprising momentum and energy balance". IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 7 (2): 231–242. doi:10.1109/43.3153. ISSN 0278-0070.
^ Sai-Halasz, G.A.; Wordeman, M.R.; Kern, D.P.; Rishton, S.; Ganin, E. (1988). "High transconductance and velocity overshoot in NMOS devices at the 0.1-μm gate-length level". IEEE Electron Device Letters. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 9 (9): 464–466. doi:10.1109/55.6946. ISSN 0741-3106.
^ Song, J.H.; Park, Y.J.; Min, H.S. (1996). "Drain current enhancement due to velocity overshoot effects and its analytic modeling". IEEE Transactions on Electron Devices. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 43 (11): 1870–1875. doi:10.1109/16.543021. ISSN 0018-9383.
^ "6.3 Silicon Band Structure Models".
^ Cohen, Marvin L.; Bergstresser, T. K. (1966-01-14). "Band Structures and Pseudopotential Form Factors for Fourteen Semiconductors of the Diamond and Zinc-blende Structures". Physical Review. American Physical Society (APS). 141 (2): 789–796. doi:10.1103/physrev.141.789. ISSN 0031-899X.
^ ^a ^b ^c ^d Jacoboni, Carlo; Reggiani, Lino (1983-07-01). "The Monte Carlo method for the solution of charge transport in semiconductors with applications to covalent materials". Reviews of Modern Physics. American Physical Society (APS). 55 (3): 645–705. doi:10.1103/revmodphys.55.645. ISSN 0034-6861.
^ "2.5.2.4 Intervalley Phonon Scattering".
^ R. Hockney, J. Eastwood, "입자를 이용한 컴퓨터 시뮬레이션" McGraw Hill, 10장 (1981)
^ D.K. 페리 "퀀텀 메카니즘:장치물리학자와 전기공학자를 위한 소개, ed. 1, 페이지 186(1995)
^ K. Hess, "반도체 소자의 고급 이론" Wiley, ed. 1, pp.94–95 (1999년)
^ K. Hess, "반도체 소자의 고급 이론" Wiley, 1, 페이지 97–99(1999)

[Hess-1] Karl Hess, ed. (1991). Monte Carlo Device Simulation: Full Band and Beyond. Springer US. doi:10.1007/978-1-4615-4026-7. ISBN 978-1-4615-4026-7.

[Sze-2] S. M. Sze; Kwok K. Ng (2007). Physics of Semiconductor Devices (third ed.). John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-14323-9.

[Choi-3] Choi, W.S.; Ahn, J.-K.; Park, Y.-J.; Min, H.-S.; Hwang., C.-G. (1994). "A time dependent hydrodynamic device simulator SNU-2D with new discretization scheme and algorithm". IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 13 (7): 899–908. doi:10.1109/43.293947. ISSN 0278-0070.

[Forghieri-4] Forghieri, A.; Guerrieri, R.; Ciampolini, P.; Gnudi, A.; Rudan, M.; Baccarani, G. (1988). "A new discretization strategy of the semiconductor equations comprising momentum and energy balance". IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 7 (2): 231–242. doi:10.1109/43.3153. ISSN 0278-0070.

[Sai-5] Sai-Halasz, G.A.; Wordeman, M.R.; Kern, D.P.; Rishton, S.; Ganin, E. (1988). "High transconductance and velocity overshoot in NMOS devices at the 0.1-μm gate-length level". IEEE Electron Device Letters. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 9 (9): 464–466. doi:10.1109/55.6946. ISSN 0741-3106.

[Song-6] Song, J.H.; Park, Y.J.; Min, H.S. (1996). "Drain current enhancement due to velocity overshoot effects and its analytic modeling". IEEE Transactions on Electron Devices. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 43 (11): 1870–1875. doi:10.1109/16.543021. ISSN 0018-9383.

[iue-7] "6.3 Silicon Band Structure Models".

[Cohen-8] Cohen, Marvin L.; Bergstresser, T. K. (1966-01-14). "Band Structures and Pseudopotential Form Factors for Fourteen Semiconductors of the Diamond and Zinc-blende Structures". Physical Review. American Physical Society (APS). 141 (2): 789–796. doi:10.1103/physrev.141.789. ISSN 0031-899X.

[Jacoboni-9] Jacoboni, Carlo; Reggiani, Lino (1983-07-01). "The Monte Carlo method for the solution of charge transport in semiconductors with applications to covalent materials". Reviews of Modern Physics. American Physical Society (APS). 55 (3): 645–705. doi:10.1103/revmodphys.55.645. ISSN 0034-6861.

[iue55-10] "2.5.2.4 Intervalley Phonon Scattering".

[Hockney-11] R. Hockney, J. Eastwood, "입자를 이용한 컴퓨터 시뮬레이션" McGraw Hill, 10장 (1981)

[Ferry-12] D.K. 페리 "퀀텀 메카니즘:장치물리학자와 전기공학자를 위한 소개, ed. 1, 페이지 186(1995)

[Hess94-13] K. Hess, "반도체 소자의 고급 이론" Wiley, ed. 1, pp.94–95 (1999년)

[Hess97-14] K. Hess, "반도체 소자의 고급 이론" Wiley, 1, 페이지 97–99(1999)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[14]

Search