위치 및 운동량 공간

물리학과 기하학에는 두 개의 밀접하게 연관된 벡터 공간이 있는데, 보통 3차원이지만 일반적으로 유한한 차원이 있다.위치 공간(실제 공간 또는 좌표 공간)은 공간 내의 모든 위치 벡터 r의 집합이며 길이의 치수를 가집니다. 위치 벡터는 공간 내의 점을 정의합니다.(점 입자의 위치 벡터가 시간에 따라 달라지면 입자의 경로, 궤적을 추적합니다.)운동량 공간은 물리적 시스템이 가질 수 있는 모든 운동량 벡터 p의 집합입니다. 입자의 운동량 벡터는 [질량][길이][시간]⁻¹ 단위로 운동량에 해당합니다.

수학적으로, 위치와 운동량 사이의 이중성은 폰트랴긴 이중성의 한 예이다.특히 위치 공간 f(r)에서 함수가 주어지면 그 푸리에 변환은 운동량 공간에서의 함수 θ(p)를 구한다.반대로 운동량 공간 함수의 역 푸리에 변환은 위치 공간 함수이다.

이러한 양과 아이디어는 모든 고전 및 양자 물리학을 초월하며, 물리적 시스템은 구성 입자의 위치 또는 그 모멘타 중 하나를 사용하여 기술될 수 있으며, 두 공식 모두 동등하게 시스템에 대한 동일한 정보를 고려합니다.또 다른 양은 파동의 맥락에서 정의하는 데 유용합니다.파동 벡터 k(또는 단순히 "k-벡터")는 역방향 길이의 치수를 가지며, 역방향 시간 차원을 갖는 각 주파수 θ의 아날로그가 된다.모든 파형 벡터의 세트는 k-공간입니다.일반적으로 r은 k보다 직관적이고 단순하지만, 그 반대의 경우도 고체 물리학에서와 같이 참일 수 있다.

양자역학은 위치와 운동량 사이의 이중성의 두 가지 기본적인 예를 제공한다: 위치와 운동량을 임의의 정밀도로 동시에 알 수 없다는 하이젠베르크 불확도 원리 δxδp δ/2와 자유 입자의 운동량과 파동 벡터를 나타내는 드 브로글리 관계 p = δk이다.서로.^[1]이 맥락에서 모호하지 않은 경우에는 "모멘텀"과 "파장 벡터"라는 용어를 서로 바꾸어 사용합니다.그러나 결정체에서는 드 브로글리 관계가 사실이 아니다.

고전 역학의 위치 및 운동량 공간

라그랑주 역학

라그랑지안 역학에서 라그랑지안 L(q, dq/dt, t)은 구성 공간에 있으며, 여기서 q = (q₁₂_n, q, ..., q)는 일반화 좌표의 n-튜플이다.오일러-라그랑주 운동 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle\frac{dt}{\frac L}{\partial\dot {q}_{i}}=partial frac {{dot L}{i},\frac {dq_i},}

(1개의 오버닷은 1개의 타임파생물을 나타냅니다).각 일반화 좌표에 대한 표준 운동량 정의 소개

{\displaystyle p_{i}=parential frac {\dot {q}_{i}},},

오일러-라그랑주 방정식은 형식을 취한다

(\displaystyle\dot {p}_{i}=partial q_{i}),}

라그랑지안은 ^[2]운동량 공간 Lδ(p, dp/dt, t)로도 표현될 수 있다. 여기서 p = (p₁, p₂, ..., p_n)는 일반화 모멘타의 n-튜플이다.Legendre 변환은 일반화 좌표 공간 Lagrangian의 총 미분 변수를 변경하기 위해 수행된다.

\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left\frac {\partial L}{\partial q_{i}+{\frac {\partial L}{\dot {q}_{i}}+{\frac {\partial L} {\fright}

여기서 일반화 운동량의 정의와 오일러-라그랑주 방정식이 L의 편도함수를 대체했다.미분에^{[nb 1]} 대한 곱셈 규칙은 일반화 모멘타의 미분과 그 시간 도함수에 대한 일반화 좌표 및 속도의 미분 교환을 허용한다.

{p}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}_{i})-q_{i}ddt{p}_{i}}dt{p}_{i}

p_{i}dpdp_{i}=display\dot {q}_{i}-{dot {q}_{i}dp_{i}

치환 후 단순화하고 재배치한다.

d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}+{\dot {q}_{i}_{i}\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}_i}+{i}{dot})

이제 운동량 공간 라그랑지안 LΩ의 총 미분 값은 다음과 같습니다.

dL'=\sum _{i=1}^{n}\left\frac {\partial p_{i}+{\frac {\partial {p}_{i}}dp_{i}+{\frac {partial}_{i}\frac {partial}+{partial {partial L

그래서 라그랑지안, 모멘타, 그리고 그들의 시간 미분들의 비교에 의해, 운동 공간 라그랑지안 L l와 L the에서 도출된 일반화 좌표는 각각 다음과 같다.

L'=L-\sum _{i}^{n}(q_{i})+{\dot {q}_{i},\dot {q}_{i},\dot - {q}_{i}=frac {\dot L'}{\partial p_i},{i},\dotsq} - {i}

마지막 두 방정식을 결합하면 운동량 공간 오일러-라그랑주 방정식을 얻을 수 있다.

\displaystyle\frac{dt}{\frac{p}_{i}}=\frac{partial p_{i}},}

Legendre 변환의 장점은 새로운 함수와 오래된 함수의 관계와 이들 변수의 변수를 프로세스에서 얻을 수 있다는 것입니다.방정식의 좌표 및 운동량 형식은 모두 동일하며 시스템의 역학에 대한 동일한 정보를 포함합니다.이 형태는 운동량 또는 각운동량이 라그랑지안에 진입할 때 더 유용할 수 있습니다.

해밀턴 역학

해밀턴 역학에서, 모든 좌표나 모멘타를 사용하는 라그랑지안 역학과는 달리, 해밀턴 운동 방정식은 좌표와 모멘타를 동등한 위치에 둡니다.해밀턴 H(q, p, t)를 갖는 시스템의 경우, 방정식은 다음과 같다.

\displaystyle \dot {q} _ {i} = partial p_{i} , \dot {p} _ {i} = - {\frac {\dot H} {\partial q_{i} ,}

양자역학에서의 위치 및 운동량 공간

양자역학에서 입자는 양자 상태에 의해 설명된다.이 양자 상태는 기저 상태의 중첩(즉, 가중치 합계로 선형 결합)으로 표현될 수 있다.원칙적으로 공간에 걸쳐 있는 한 기본 상태 집합을 자유롭게 선택할 수 있습니다.위치 연산자의 고유함수를 기저함수의 집합으로 선택하면, 위치 공간에서의 파동함수 $δ$ ( $r)$ 로서 상태를 말한다(길이에 관한 우리의 일반적인 공간 개념).위치 r의 관점에서 친숙한 슈뢰딩거 방정식은 위치 ^[3]표현에서의 양자 역학의 한 예이다.

다른 연산자의 고유함수를 기저함수의 집합으로 선택함으로써 동일한 상태의 여러 다른 표현에 도달할 수 있다.운동량 연산자의 고유함수를 기저함수 집합으로 선택하면 그 결과 생기는 파동함수 $\phi (\mathbf {k} )$ ( $)$ { $displaystyle \phi(\mathbf {k})}$ 가 $\phi (\mathbf {k} )$ 운동량 ^[3]공간에서의 파동함수라고 한다.

양자역학의 특징은 위상공간이 이산변수, 회전자, 연속변수 등 다양한 유형으로 나타날 수 있다는 것입니다.다음 표는 세 가지 유형의 위상 ^[4]공간에 관련된 몇 가지 관계를 요약한 것입니다.

이산 가변(DV), 회전자(ROT) 및 연속 가변(CV) 위상 공간의 켤레 변수 간 관계 비교 및 요약(arXiv:1709.04460에서 취득).물리적으로 관련된 대부분의 위상 공간은 이들 3개의 조합으로 구성됩니다.각 위상 공간은 위치 및 운동량으로 구성되며, 가능한 값은 국소적으로 컴팩트한 아벨 군과 그 듀얼에서 가져옵니다.양자역학적 상태는 어느 하나의 변수에 의해 완전히 표현될 수 있으며, 위치와 운동량 공간 사이를 이동하기 위해 사용되는 변환은 세 가지 경우 각각 푸리에 변환의 변형이다.이 표에는 표준 정류 관계(CCR)를 설명하는 수학 용어뿐만 아니라 브래지어-킷 표기법이 사용됩니다.

공간과 역공간의 관계

파동 함수의 운동량 표현은 푸리에 변환 및 주파수 영역의 개념과 매우 밀접하게 관련되어 있습니다.양자 기계 입자는 운동량에 비례하는 주파수를 가지고 있기 때문에(위의 드 브로글리 방정식), 운동량 성분의 합으로 설명하는 것은 주파수 성분의 합으로 설명하는 것과 같습니다(^[5]즉 푸리에 변환).어떻게 하면 하나의 표현에서 다른 표현으로 바꿀 수 있는지 자문해 보면 알 수 있습니다.

위치 공간의 함수 및 연산자

위치 공간 $θ$ ( $r)$ 에 3차원 파동 함수가 있다고 가정하면, 이 함수를 직교 기저 함수 θ( $r j)$ 의 가중치 합계로 쓸 수 있습니다.

\displaystyle \psi(\mathbf {r})=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r})}

또는 연속적인 경우, 적분으로서

\displaystyle \psi(\mathbf {r})=\int _{\mathbf {k}\phi (\mathbf {k})\psi _{\mathbf {r}\mathbf {d}^{3}\mathbf {k}}

함수

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

(

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

) _

displaystyle \psi

_

{\mathbf {k}

( mathbf {r}

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

)를

\phi (\mathbf {k} )

연산자의 고유 함수 집합으로 지정하면 함수

\phi (\mathbf {k} )

(

\phi (\mathbf {k} )

(

\phi (\mathbf {k} )

) \

displaystyle \phi

( \

mathbf {k}

)는

\phi (\mathbf {k} )

재구성에 필요한 모든 정보를 보유하므로

대체

함수가 됩니다

.

(\displaystyle\psi

를

\psi

합니다.

양자역학에서 운동량 연산자는 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar {frac} {\displaystyle \mathbf {r} }

(분모 표기법은 행렬 미적분 참조) 적절한 영역 포함.고유 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \psi _{\mathbf {k}(\mathbf {r}) = e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}} }

및 고유값 δk.그렇게

\displaystyle \psi (\mathbf {r} ) = spacefrac {1} {{\mathbf {k} {\text {-space}} int _ {\mathbf {k} \phi } e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbfr} ^3rmathbf {rm}

운동량 표현은 푸리에 ^[6]변환에 의한 위치 표현과 관련이 있음을 알 수 있습니다.

운동량 공간의 기능 및 연산자

반대로 운동량 $\phi (\mathbf {k} )$ 에서의 3차원 파동함수 $\phi (\mathbf {k} )$ ( $\phi (\mathbf {k} )$ ) \ $displaystyle$ $\phi _{j}(\mathbf {k} )$ \ $phi$ ( \ $mathbf$ $\phi _{j}(\mathbf {k} )$ { $k$ } )는 $\phi (\mathbf {k} )$ 직교 기저함수 $\phi _{j}(\mathbf {k} )$ ( $\phi _{j}(\mathbf {k} )$ k ) \ $displaystyle$ \ $phi$ _ { $j$ （ \ $mathbf$ { k $}$ $\phi _{j}(\mathbf {k} )$

\displaystyle \phi(\mathbf {k})=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k})}

또는 적분으로서

\displaystyle \phi (\mathbf {k})=\int _{\mathbf {r}\psi (\mathbf {r})\phi _{\mathbf {k}\mathbf {d}^{3}\mathbf {r}.

위치 연산자는 다음과 같이 지정됩니다.

\displaystyle \mathbf {r} = i\hbar {\frac} {\frac\mathbf {p}} = i440frac {\fac} {\displaystyle \mathbf {k} }

고유함수를 가지고

\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k}) = e^{-i\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} }

및 고유값.따라서 이 연산자의 고유함수(역 푸리에 ^[6]변환으로 판명된)에 대해

\phi (\mathbf {k} )

(

\phi (\mathbf {k} )

\phi (\mathbf {k} )

{

displaystyle \phi (\mathbf {k})}

의

\phi (\mathbf {k} )

유사한 분해를 할 수 있습니다.

\displaystyle \phi (\mathbf {k}) = spacefrac {1} {{\mathbf {r} {\text {-space}} \psi (\mathbf {r} ) e^{-i\mathbf {k} \cd ^rmathbf {r} }

위치와 운동량 연산자 간의 단일 등가성

r 및 p 연산자는 단일 연산자가 명시적으로 푸리에 변환, 즉 발진기 해밀턴에 의해 생성된 위상 공간의 4분의 1 사이클 회전에 의해 주어지는 등가입니다.따라서, 같은 스펙트럼을 가지고 있습니다.물리 언어에서 운동량 공간 파동 함수에 작용하는 p는 위치 공간 파동 함수에 작용하는 r과 동일합니다(푸리에 변환 이미지 아래).

역공간과 결정

결정의 전자(또는 다른 입자)의 경우, k 값은 거의 항상 정상 운동량이 아닌 결정 운동량과 관련됩니다.따라서 k와 p는 단순히 비례하는 것이 아니라 서로 다른 역할을 합니다.예시는 k·p 섭동 이론을 참조한다.결정 운동량은 파형이 단위 셀마다 어떻게 달라지는지를 설명하는 파동 외피와 같지만 각 단위 셀 내에서 파동이 어떻게 달라지는지에 대한 정보는 제공하지 않습니다.

k가 진정한 운동량 대신 결정 운동량과 관련될 때, k-공간 개념은 여전히 의미 있고 매우 유용하지만, 위에서 설명한 비결정 k-공간과는 여러 면에서 다르다.예를 들어, 결정의 k-공간에는 k = 0에 대해 "등가"인 역격자라고 불리는 무한한 점 집합이 있습니다(이것은 앨리어싱과 유사합니다.마찬가지로, "첫 번째 브릴루인 구역"은 k-공간의 유한한 부피이며, 따라서 모든 가능한 k가 이 영역의 정확히 한 점에 "동등"합니다.

「」를 참조해 주세요.

각주

^ 두 $함수$ $u$ 와 v의 경우, 제품의 차이는 $d (uv)$ = $udv$ + $vdu$ 이다.

레퍼런스

^ Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
^ Hand, Louis N; Finch, Janet D (1998). Analytical Mechanics. p. 190. ISBN 978-0-521-57572-0.
^ ^a ^b Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Quantum Mechanics (Schaum's Outline Series) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162358-2.
^ Albert, Victor V; Pascazio, Saverio; Devoret, Michel H (2017). "General phase spaces: from discrete variables to rotor and continuum limits". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 50 (50): 504002. arXiv:1709.04460. doi:10.1088/1751-8121/aa9314. S2CID 119290497.
^ Abers, E. (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
^ ^a ^b R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.

[3] 두 $함수$ $u$ 와 v의 경우, 제품의 차이는 $d (uv)$ = $udv$ + $vdu$ 이다.

[1] Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.

[2] Hand, Louis N; Finch, Janet D (1998). Analytical Mechanics. p. 190. ISBN 978-0-521-57572-0.

[peleg-4] Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Quantum Mechanics (Schaum's Outline Series) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162358-2.

[phasespaces-5] Albert, Victor V; Pascazio, Saverio; Devoret, Michel H (2017). "General phase spaces: from discrete variables to rotor and continuum limits". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 50 (50): 504002. arXiv:1709.04460. doi:10.1088/1751-8121/aa9314. S2CID 119290497.

[6] Abers, E. (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.

[Penrose-7] R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.

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목차

고전 역학의 위치 및 운동량 공간

라그랑주 역학

해밀턴 역학

양자역학에서의 위치 및 운동량 공간

공간과 역공간의 관계

위치 공간의 함수 및 연산자

운동량 공간의 기능 및 연산자

위치와 운동량 연산자 간의 단일 등가성

역공간과 결정

「」를 참조해 주세요.

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